Intuição sobre divergência- Parte 1

RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui em mais uma série de vídeos de cálculo multivariável. Desta vez, iremos abordar o assunto divergência. E ao decorrer desta série de vídeos, iremos explicar como calculamos a divergência de um campo vetorial e todos os conceitos matemáticos por trás deste cálculo. Mas, primeiro, neste vídeo iremos dar uma explicação visual do que esta divergência significa. Então, temos aqui uma representação de um campo vetorial. E uma ótima forma de entender um campo vetorial é imaginá-lo como o fluxo de um fluido. O que eu quero dizer com isso é que podemos pensar em cada ponto no espaço como sendo uma partícula de um fluido. Talvez uma partícula de água ou uma partícula de ar. E o que este campo vetorial faz é associar cada ponto do passo a um vetor. Lembrando que toda vez que representamos um campo vetorial, apenas alguns vetores são mostrados nesta representação. Já que seria impossível ter um gráfico claro e nítido com todos os vetores se sobrepondo. Mas, a princípio, temos que pensar em todos os pontos e os seus vetores. E o fato destes vetores estarem mudando, conforme você se move neste plano, significa que mostrar apenas alguns vetores já nos dá uma boa ideia de como este campo vetorial se comporta. Então, considerando estas partículas de fluido e cada vetor associado a estas partículas, podemos agora imaginar o que aconteceria se deixássemos a coisa progredir com o tempo. Ou seja, o que acontece se as partículas se movimentarem? Onde em cada instante a velocidade de uma partícula é dada pelo vetor associado a um ponto em que a partícula se encontra. E conforme determinado a partícula se move, ela acaba por atingir outro vetor fazendo com que haja mudança na direção das velocidades, quase como se estes vetores fossem caminhos determinados para estas partículas. Quando observamos todas as partículas percorrendo estes caminhos, veremos que parecerá muito mesmo o fluxo de um fluido. E felizmente, não teremos que apenas imaginar este fluxo. Iremos utilizar aqui uma animação para visualizar este movimento. Então, colocaremos algumas partículas em determinados pontos do espaço para representar as partículas do fluido. E daremos um play na animação fazendo com que cada partícula se mova através do vetor que está mais perto. Está aí a animação. E você pode ver que as partículas realmente descrevem o movimento imprimido pelo vetor velocidade de cada ponto do espaço. Aqui nós podemos voltar a animação e tentar focar apenas em uma partícula. Esta circulada em amarelo. E dá para ver que esta partícula em questão está diretamente atrelada a este vetor que aponta para a direita. Então, podemos dizer que neste determinado instante a partícula se moverá para a direita puramente. E eu digo neste instante, porque note que conforme esta partícula se move, haverá outro vetor atrelado a ela. Mudando um pouco a direção. E dependendo do campo vetorial que você escolher, da parametrização até a própria intensidade da velocidade. O módulo da velocidade também pode mudar. E vamos dar play na nossa animação e tentar seguir esta partícula aqui. Podemos ver que aquela partícula agora se encontra aqui para baixo nosso espaço. Temos também o outro vetor atrelado à partícula. E vendo esta animação, nós podemos ter uma ideia do comportamento do campo vetorial. E você como estudante de matemática, pode estar se perguntando algumas questões em relação a este fluxo. Por exemplo, podemos analisar uma região específica e contar o número de partículas. E nos perguntar se ao decorrer da animação, ao decorrer do movimento das partículas, a quantidade de partículas nesta região muda ou permanece constante. Neste exemplo, em particular, a gente vai dar play mais uma vez, dá para perceber que não há mudança na quantidade de partículas. A mesma quantidade de partículas que entra, sai. Caso fosse dado a parametrização, ou seja, a função que determina este campo vetorial, nós seríamos capazes de dizer matematicamente o porquê não há mudança de densidade destas partículas em determinada região. Mas se observarmos outro exemplo e focássemos apenas na região da origem do plano, daria para prever se há mudança de densidade de partículas na região da origem apenas observando os vetores ao redor. Dá para ver aqui que todos os vetores apontam para fora. Ou seja, no sentido contrário de onde está localizada a origem. E confirmando o que os vetores sugerem com a nossa animação, há realmente uma diminuição na densidade de partículas ao redor da origem do nosso plano. E já antecipando o tópico que estamos abordando, nós podemos dizer aqui que as moléculas tendem a divergir da origem. Ou seja, aqui temos uma grandeza chamada divergência e, neste caso, ela é positiva. E nós veremos nos próximos vídeos o que significa mais a fundo. ter uma divergência positiva. Em contrapartida, nós podemos analisar também um campo vetorial inverso a este que analisamos aqui. Agora, se nos perguntarmos sobre a densidade de partículas ao redor da origem, você pode prever pelos vetores do campo que haverá um aumento na densidade de partículas conforme deixamos a animação rolar. E novamente dando um play na animação, por apenas alguns instantes, você pode ver que há realmente um aumento de densidade de partículas na região ao redor da origem. Então, não há divergência, mas sim uma convergência de partículas neste trecho, uma divergência negativa. E este fato de convergir ou divergir, possui um significado matemático para a função que representa este campo vetorial ao redor deste ponto. Mesmo se o campo vetorial não representasse o fluxo de um fluido, mas sim um campo magnético ou um campo elétrico, há um certo significado para essa ideia de divergir ou convergir um ponto. E outra maneira de pensar sobre estes conceitos é, se voltarmos ao exemplo onde há uma clara divergência de partículas, podemos pensar neste ponto central aqui como uma fonte de fluido, no caso do nosso fluxo. Já que para manter o fluxo com uma certa densidade de partículas, teria de haver uma fonte provendo o fluido em questão. E o mesmo pensamento vale para o fluxo que é um aumento de densidade. Podemos pensar neste ponto central como uma espécie de ralo, onde as partículas de fluido estão caindo. E voltando ao exemplo original, onde não há variação de densidade de partículas, podemos perceber que este sim parece muito mais com o fluxo de água, de um determinado encanamento. Já que a água é caracterizada por ser um fluido incompressível. Ou seja, não há variação de densidade em seu fluxo. E eu acredito que a gente já conseguiu ter uma ideia bem visual sobre a divergência. Com isso, no próximo vídeo, nós teremos uma aproximação um pouco mais matemática ao redor deste tema aqui. Então, é isso, galera da Khan! Nos vemos no próximo vídeo.