Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaIntuição sobre divergência- Parte 1
Podemos pensar no campos vetoriais como representações do escoamento de fluidos, e a divergência tem a ver com o estudo da mudança da densidade do fluido durante este escoamento. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui em mais uma
série de vídeos de cálculo multivariável. Desta vez, iremos abordar
o assunto divergência. E ao decorrer desta série de vídeos, iremos explicar como calculamos
a divergência de um campo vetorial e todos os conceitos matemáticos
por trás deste cálculo. Mas, primeiro, neste vídeo iremos
dar uma explicação visual do que esta divergência significa. Então, temos aqui uma representação
de um campo vetorial. E uma ótima forma de
entender um campo vetorial é imaginá-lo como o fluxo de um fluido. O que eu quero dizer com isso é que podemos pensar
em cada ponto no espaço como sendo uma partícula de um fluido. Talvez uma partícula de água
ou uma partícula de ar. E o que este campo vetorial faz é associar cada ponto
do passo a um vetor. Lembrando que toda vez que
representamos um campo vetorial, apenas alguns vetores são mostrados
nesta representação. Já que seria impossível ter
um gráfico claro e nítido com todos os vetores se sobrepondo. Mas, a princípio, temos que pensar
em todos os pontos e os seus vetores. E o fato destes vetores
estarem mudando, conforme você se move neste plano, significa que mostrar
apenas alguns vetores já nos dá uma boa ideia de como
este campo vetorial se comporta. Então, considerando
estas partículas de fluido e cada vetor associado
a estas partículas, podemos agora imaginar
o que aconteceria se deixássemos a coisa
progredir com o tempo. Ou seja, o que acontece se
as partículas se movimentarem? Onde em cada instante a velocidade
de uma partícula é dada pelo vetor associado a um
ponto em que a partícula se encontra. E conforme determinado
a partícula se move, ela acaba por atingir outro vetor fazendo com que haja mudança
na direção das velocidades, quase como se estes vetores
fossem caminhos determinados para estas partículas. Quando observamos todas as
partículas percorrendo estes caminhos, veremos que parecerá muito mesmo
o fluxo de um fluido. E felizmente, não teremos que
apenas imaginar este fluxo. Iremos utilizar aqui uma animação
para visualizar este movimento. Então, colocaremos algumas partículas
em determinados pontos do espaço para representar as partículas do fluido. E daremos um play na animação fazendo com que cada partícula se mova
através do vetor que está mais perto. Está aí a animação. E você pode ver que as partículas realmente descrevem o movimento imprimido pelo vetor velocidade
de cada ponto do espaço. Aqui nós podemos
voltar a animação e tentar focar apenas
em uma partícula. Esta circulada em amarelo. E dá para ver que esta
partícula em questão está diretamente atrelada a este vetor
que aponta para a direita. Então, podemos dizer que
neste determinado instante a partícula se moverá para
a direita puramente. E eu digo neste instante, porque note que conforme
esta partícula se move, haverá outro vetor atrelado a ela. Mudando um pouco a direção. E dependendo do campo vetorial
que você escolher, da parametrização até a própria
intensidade da velocidade. O módulo da velocidade
também pode mudar. E vamos dar play na nossa animação
e tentar seguir esta partícula aqui. Podemos ver que aquela partícula agora
se encontra aqui para baixo nosso espaço. Temos também o outro vetor
atrelado à partícula. E vendo esta animação, nós podemos ter uma ideia do
comportamento do campo vetorial. E você como estudante de matemática, pode estar se perguntando algumas
questões em relação a este fluxo. Por exemplo, podemos analisar
uma região específica e contar o número de partículas. E nos perguntar se ao
decorrer da animação, ao decorrer do movimento
das partículas, a quantidade de partículas nesta região
muda ou permanece constante. Neste exemplo, em particular, a gente vai dar play mais uma vez, dá para perceber que não há
mudança na quantidade de partículas. A mesma quantidade de
partículas que entra, sai. Caso fosse dado
a parametrização, ou seja, a função que determina
este campo vetorial, nós seríamos capazes
de dizer matematicamente o porquê não há mudança
de densidade destas partículas em determinada região. Mas se observarmos outro exemplo e focássemos apenas na região
da origem do plano, daria para prever se há mudança de
densidade de partículas na região da origem apenas observando os vetores ao redor. Dá para ver aqui que todos os
vetores apontam para fora. Ou seja, no sentido contrário
de onde está localizada a origem. E confirmando o que os vetores
sugerem com a nossa animação, há realmente uma diminuição
na densidade de partículas ao redor da origem do nosso plano. E já antecipando o tópico
que estamos abordando, nós podemos dizer aqui que as moléculas tendem
a divergir da origem. Ou seja, aqui temos uma grandeza
chamada divergência e, neste caso, ela é positiva. E nós veremos nos próximos vídeos
o que significa mais a fundo. ter uma divergência positiva. Em contrapartida, nós podemos
analisar também um campo vetorial inverso
a este que analisamos aqui. Agora, se nos perguntarmos
sobre a densidade de partículas ao redor da origem, você pode prever pelos vetores do campo que haverá um aumento
na densidade de partículas conforme deixamos
a animação rolar. E novamente dando um
play na animação, por apenas alguns instantes, você pode ver que
há realmente um aumento de densidade de partículas na região ao redor da origem. Então, não há divergência, mas sim uma convergência
de partículas neste trecho, uma divergência negativa. E este fato de convergir
ou divergir, possui um significado matemático para a função que representa este
campo vetorial ao redor deste ponto. Mesmo se o campo vetorial não
representasse o fluxo de um fluido, mas sim um campo magnético
ou um campo elétrico, há um certo significado para essa ideia
de divergir ou convergir um ponto. E outra maneira de pensar
sobre estes conceitos é, se voltarmos ao exemplo onde há
uma clara divergência de partículas, podemos pensar neste
ponto central aqui como uma fonte de fluido, no caso do nosso fluxo. Já que para manter o fluxo com uma
certa densidade de partículas, teria de haver uma fonte
provendo o fluido em questão. E o mesmo pensamento vale para
o fluxo que é um aumento de densidade. Podemos pensar neste ponto central como uma espécie de ralo, onde as partículas
de fluido estão caindo. E voltando ao exemplo original, onde não há variação
de densidade de partículas, podemos perceber que este sim
parece muito mais com o fluxo de água, de um determinado encanamento. Já que a água é caracterizada
por ser um fluido incompressível. Ou seja, não há variação
de densidade em seu fluxo. E eu acredito que a gente já conseguiu
ter uma ideia bem visual sobre a divergência. Com isso, no próximo vídeo, nós teremos uma aproximação um
pouco mais matemática ao redor deste tema aqui. Então, é isso, galera da Khan! Nos vemos no próximo vídeo.