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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaIntuição sobre divergência- Parte 2
Para nos prepararmos para calcular a fórmula da divergência, começamos com uma intuição sobre como os pontos de divergência positiva, negativa e zero se parecem. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no segundo vídeo
da nossa série sobre divergência. No último vídeo,
nós iniciamos a intuição sobre o cálculo da divergência, introduzindo conceitos de forma bem visual para que entendamos tanto a parte gráfica
relacionada ao conceito de divergência, quanto o cálculo da grandeza em si. Na ocasião, nós imaginamos este campo
vetorial com várias partículas de fluído. E conforme estas partículas
se movem em direção a outros vetores, estes outros vetores imprimem
diferentes velocidades nestas partículas. E a pergunta a chave que fizemos
neste último vídeo foi, se analisarmos uma região específica, as partículas tendem a fluir para dentro
dessa região ou para fora? Isto é, as partículas divergem ou
convergem nesta determinada região? E o que faremos neste vídeo aqui é nos aprofundar neste conceito
de divergência de uma forma um pouco mais matemática, quase como se quiséssemos descobrir
nós mesmos uma fórmula para a divergência. Já que em última instância é exatamente
isso que estamos tentando fazer. Achar uma fórmula para descrever este
conceito que apresentamos primeiro vídeo. Então, o campo vetorial como
este aqui de cima é dado por uma função multivariável com duas variáveis
de entrada "x" e "y", e duas funções de saída que chamamos
geralmente de P(x, y) e Q(x, y). Onde "P" é a função que nos dá
a componente horizontal de cada vetor. E "Q" a componente
vertical de cada vetor. E a divergência de uma função denotada
apenas por "div" é, de certa forma, bem parecida com uma derivada, já que se lembrarmos, a derivada pega a
nossa função original e transforma em uma função diferente. Com os mesmos parâmetros, com a mesma parametrização
que descreve outra grandeza. E não é diferente para divergência, já que teremos como entrada
um campo vetorial e na saída uma função que denota
a divergência em cada região. E lembrando que a divergência
é um número escalar, beleza? Não é uma grandeza vetorial. E mais importante que isso, o número dado por esta fórmula nos dá
a intensidade desta divergência. Então, o que faremos agora, é imaginar os possíveis casos
onde a divergência é positiva, onde a divergência é negativa ou, por fim, onde a divergência é nula. Beleza? Então, por exemplo, vamos imaginar aqui, primeiramente, casos em que a divergência
de um campo vetorial é positiva em um determinado
ponto (x, y). Como podemos imaginar
visualmente este caso? A primeira possibilidade
para isso acontecer é quando a partícula está parada. Ou seja, o vetor atrelado a ela é zero e todos os outros vetores próximos
a este ponto apontam para fora. Este é um exemplo
extremo de divergência. E é, justamente, a animação que
utilizamos lá no primeiro vídeo, onde todos os vetores do campo
apontam para fora, para o sentido contrário
do ponto analisado. E, olhando a animação, vemos mais uma vez que as partículas
se movem para fora da região circulada. Podemos dizer que este aqui é um exemplo
muito essencial de divergência. Beleza? Um exemplo fundamental. Mas para haver divergência
em um ponto, não necessariamente
todas as partículas têm que se mover para fora
da região estudada. Podemos também ter um caso onde há
um pouco de movimento no ponto (x, y). Há também o movimento de convergência
para este ponto. Ou seja, existe de fato a entrada
de partículas nesta região analisada. Porém, a saída de partículas é dada de forma muito mais rápida
do que a entrada, configurando também
o ponto de divergência positiva. Então, aqui avançando um pouco, nós iremos agora pensar exemplos
onde a divergência é negativa. Ou seja, há convergência de partículas
em determinado campo vetorial, há um aumento de densidade
na região estudada. Então, em primeira instância aqui, temos novamente o exemplo
essencial e extremo. Beleza? Aquele mesmo que
utilizamos no vídeo passado, onde todas as partículas convergem
para um determinado ponto. Porém, este não é o único exemplo
onde há convergência de partículas. Podemos novamente ter
um determinado ponto que já possui um vetor atrelado a ele. Ou seja, há movimento neste
determinado ponto. E temos vetores que apontam
para fora também. Ou seja, existe a saída de partículas
desta determinada região. Porém, a quantidade de vetores
ou a quantidade de partículas que entram nesta região
é muito maior do que as que saem. Criando, basicamente, um
congestionamento de partículas, digamos, aumentando bastante a densidade de partículas
na região analisada. Temos exemplificado aqui os casos
de divergência positiva e negativa. E agora falta apenas um dos casos, onde a divergência em
determinado ponto é zero. Bem parecido com o primeiro exemplo,
que utilizamos nesta série. Temos o exemplo de quando as
partículas fluem laminarmente, digamos assim. Pensando no nosso exemplo
de fluxo de fluído. Não há mudança brusca, nem concentração de partículas
em um determinado ponto. Porém, temos um segundo caso
onde a divergência é zero, que é onde as partículas entram
por determinada direção, mas elas acabam por sair
em outra direção, equilibrando a quantidade de partículas
aqui nesta região estudada. Então, temos aqui mais ferramentas
visuais e conceituais que nós precisamos para chegar
a uma fórmula para divergência. E, nos próximos vídeos, nós iremos olhar para
as componentes "P" e "Q" do nosso campo vetorial, e começar a pensar como que as derivadas parciais
deste campo vetorial, correspondem à grandeza
que estamos procurando. Ou seja, a divergência. Então, é isso, galera da Khan Academy! Nos vemos no próximo vídeo.