Intuição sobre divergência- Parte 2

RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no segundo vídeo da nossa série sobre divergência. No último vídeo, nós iniciamos a intuição sobre o cálculo da divergência, introduzindo conceitos de forma bem visual para que entendamos tanto a parte gráfica relacionada ao conceito de divergência, quanto o cálculo da grandeza em si. Na ocasião, nós imaginamos este campo vetorial com várias partículas de fluído. E conforme estas partículas se movem em direção a outros vetores, estes outros vetores imprimem diferentes velocidades nestas partículas. E a pergunta a chave que fizemos neste último vídeo foi, se analisarmos uma região específica, as partículas tendem a fluir para dentro dessa região ou para fora? Isto é, as partículas divergem ou convergem nesta determinada região? E o que faremos neste vídeo aqui é nos aprofundar neste conceito de divergência de uma forma um pouco mais matemática, quase como se quiséssemos descobrir nós mesmos uma fórmula para a divergência. Já que em última instância é exatamente isso que estamos tentando fazer. Achar uma fórmula para descrever este conceito que apresentamos primeiro vídeo. Então, o campo vetorial como este aqui de cima é dado por uma função multivariável com duas variáveis de entrada "x" e "y", e duas funções de saída que chamamos geralmente de P(x, y) e Q(x, y). Onde "P" é a função que nos dá a componente horizontal de cada vetor. E "Q" a componente vertical de cada vetor. E a divergência de uma função denotada apenas por "div" é, de certa forma, bem parecida com uma derivada, já que se lembrarmos, a derivada pega a nossa função original e transforma em uma função diferente. Com os mesmos parâmetros, com a mesma parametrização que descreve outra grandeza. E não é diferente para divergência, já que teremos como entrada um campo vetorial e na saída uma função que denota a divergência em cada região. E lembrando que a divergência é um número escalar, beleza? Não é uma grandeza vetorial. E mais importante que isso, o número dado por esta fórmula nos dá a intensidade desta divergência. Então, o que faremos agora, é imaginar os possíveis casos onde a divergência é positiva, onde a divergência é negativa ou, por fim, onde a divergência é nula. Beleza? Então, por exemplo, vamos imaginar aqui, primeiramente, casos em que a divergência de um campo vetorial é positiva em um determinado ponto (x, y). Como podemos imaginar visualmente este caso? A primeira possibilidade para isso acontecer é quando a partícula está parada. Ou seja, o vetor atrelado a ela é zero e todos os outros vetores próximos a este ponto apontam para fora. Este é um exemplo extremo de divergência. E é, justamente, a animação que utilizamos lá no primeiro vídeo, onde todos os vetores do campo apontam para fora, para o sentido contrário do ponto analisado. E, olhando a animação, vemos mais uma vez que as partículas se movem para fora da região circulada. Podemos dizer que este aqui é um exemplo muito essencial de divergência. Beleza? Um exemplo fundamental. Mas para haver divergência em um ponto, não necessariamente todas as partículas têm que se mover para fora da região estudada. Podemos também ter um caso onde há um pouco de movimento no ponto (x, y). Há também o movimento de convergência para este ponto. Ou seja, existe de fato a entrada de partículas nesta região analisada. Porém, a saída de partículas é dada de forma muito mais rápida do que a entrada, configurando também o ponto de divergência positiva. Então, aqui avançando um pouco, nós iremos agora pensar exemplos onde a divergência é negativa. Ou seja, há convergência de partículas em determinado campo vetorial, há um aumento de densidade na região estudada. Então, em primeira instância aqui, temos novamente o exemplo essencial e extremo. Beleza? Aquele mesmo que utilizamos no vídeo passado, onde todas as partículas convergem para um determinado ponto. Porém, este não é o único exemplo onde há convergência de partículas. Podemos novamente ter um determinado ponto que já possui um vetor atrelado a ele. Ou seja, há movimento neste determinado ponto. E temos vetores que apontam para fora também. Ou seja, existe a saída de partículas desta determinada região. Porém, a quantidade de vetores ou a quantidade de partículas que entram nesta região é muito maior do que as que saem. Criando, basicamente, um congestionamento de partículas, digamos, aumentando bastante a densidade de partículas na região analisada. Temos exemplificado aqui os casos de divergência positiva e negativa. E agora falta apenas um dos casos, onde a divergência em determinado ponto é zero. Bem parecido com o primeiro exemplo, que utilizamos nesta série. Temos o exemplo de quando as partículas fluem laminarmente, digamos assim. Pensando no nosso exemplo de fluxo de fluído. Não há mudança brusca, nem concentração de partículas em um determinado ponto. Porém, temos um segundo caso onde a divergência é zero, que é onde as partículas entram por determinada direção, mas elas acabam por sair em outra direção, equilibrando a quantidade de partículas aqui nesta região estudada. Então, temos aqui mais ferramentas visuais e conceituais que nós precisamos para chegar a uma fórmula para divergência. E, nos próximos vídeos, nós iremos olhar para as componentes "P" e "Q" do nosso campo vetorial, e começar a pensar como que as derivadas parciais deste campo vetorial, correspondem à grandeza que estamos procurando. Ou seja, a divergência. Então, é isso, galera da Khan Academy! Nos vemos no próximo vídeo.