Notação de divergência

RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui no vídeo final da nossa série sobre divergência. E até aqui já aprendemos o que é, como interpretar e como calcular a divergência de um campo vetorial. Neste vídeo, iremos dar uma boa olhada na notação utilizada para representar a função divergência e iremos aprender também como se dá a divergência de campos vetoriais ou funções com mais dimensões do que apenas "x" e "y". Então, conforme aprendemos, se temos um campo vetorial V(x, y) definido horizontalmente por P(x, y) e verticalmente por Q(x, y), a divergência "div" deste campo se dará pela derivada parcial de "P" em relação a "x", somada à derivada parcial de "Q" em relação a "y". Porém, existe outra notação para representar esta divergência aqui. Uma notação que além de te ajudar a lembrar da fórmula, também te ajuda a descobrir a divergência para campos vetoriais com mais dimensões. E esta notação é nada mais nada menos do que o símbolo nabla ∇. Aquele triângulo invertido que também utilizamos para o gradiente. E pegamos este símbolo e fazemos o produto escalar com o próprio campo vetorial V(x, y). E conforme fazemos isso também para o gradiente, nós pensamos neste símbolo nabla como se fosse um vetor cheio de operadores derivativos. Pode até parecer algo complicado, mas não é. Vamos explicar. Neste exemplo aqui, o nosso símbolo nabla representaria, parcial, parcial "x" e parcial, parcial "y". Você pode pensar nisso como um operador que quer pegar funções e derivá-las parcialmente. E só para reforçar, isto aqui não é um vetor, é apenas um operador. Mas não há mal algum em pensar neste nabla como um vetor cheio de operadores de derivação. E continuando a nossa notação, você irá fazer o produto escalar destes operadores com as funções escalares dentro do nosso campo vetorial, que são P(x, y) e Q(x, y). E lembrando que o primeiro termo multiplica o primeiro termo, e o segundo termo multiplica o segundo termo. E fazendo este produto nós chegaremos a nossa fórmula para a divergência. Você pode ver que nós chegamos à mesma fórmula que apresentamos nos vídeos anteriores. Porém, esta notação funciona quase como uma regra mnemônica para divergência. Um outro benefício de utilizar essa notação aqui, é que de forma automática nós já sabemos a fórmula da divergência para qualquer que seja o número de dimensões da função. Por exemplo, se tivermos um campo vetorial com três dimensões V(x, y, z) definido por P(x, y, z), Q(x, y, z), e, por fim, R(x, y, z), mesmo sem termos abordado diretamente o tema campos vetoriais tridimensionais, com esta notação aqui dá para descobrir a fórmula para a divergência. Vamos agora fazer o produto escalar que apresentamos para descobrir esta fórmula. Então, o nosso nabla estará representando ∂, ∂x, ∂y e ∂z. Aqui do lado direito, teremos as nossas funções escalares P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z). E realizando o produto teremos que a divergência deste campo vetorial será dada pela derivada parcial de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q" em relação a "y", mais a derivada parcial de "R" em relação a "z". E mesmo que nós não tenhamos abordado diretamente este tema de campos vetoriais tridimensionais, nós conseguimos achar esta fórmula. E só para lembrar, já que talvez este último termo aqui não faça muito sentido para você, este termo está dizendo quanto que a função "R" varia conforme nós variamos a nossa variável "z". Esta noção vale para qualquer que seja o número de dimensões do campo vetorial ou função vetorial. Seja tridimensional, quatro dimensões ou cem dimensões. Aplicando este conceito do nabla vezes o campo vetorial, você obterá a fórmula para a função divergência. E é exatamente isso que faz com que aprender esta notação seja fundamental no estudo da divergência. Então, terminamos por aqui todos os conceitos e cálculos relacionados à noção de divergência de um campo vetorial. Então, até aqui nós aprendemos a visualizar, interpretar, calcular e, por fim, nós aprendemos uma notação que irá nos ajudar a lembrar das fórmulas de divergência. Então, é isso galera! Nos vemos aqui pela Khan Academy.