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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 9: DivergênciaNotação de divergência
Aprenda como a divergência é expressada usando o mesmo símbolo do triângulo de ponta cabeça usado para gradientes. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - E aí, galera da Khan Academy. Estamos aqui no vídeo final da nossa
série sobre divergência. E até aqui já aprendemos o que é, como interpretar e como calcular
a divergência de um campo vetorial. Neste vídeo, iremos dar uma boa
olhada na notação utilizada para representar a função divergência e iremos aprender também como se dá
a divergência de campos vetoriais ou funções com mais dimensões
do que apenas "x" e "y". Então, conforme aprendemos, se temos um campo vetorial V(x, y) definido horizontalmente por P(x, y) e verticalmente por Q(x, y), a divergência "div" deste campo se dará pela derivada parcial
de "P" em relação a "x", somada à derivada parcial de "Q"
em relação a "y". Porém, existe outra notação para
representar esta divergência aqui. Uma notação que além de te ajudar
a lembrar da fórmula, também te ajuda a descobrir a divergência
para campos vetoriais com mais dimensões. E esta notação é nada mais nada
menos do que o símbolo nabla ∇. Aquele triângulo invertido que também
utilizamos para o gradiente. E pegamos este símbolo e fazemos o produto escalar com
o próprio campo vetorial V(x, y). E conforme fazemos isso também
para o gradiente, nós pensamos neste símbolo nabla como se fosse um vetor cheio
de operadores derivativos. Pode até parecer algo complicado,
mas não é. Vamos explicar. Neste exemplo aqui, o nosso
símbolo nabla representaria, parcial, parcial "x"
e parcial, parcial "y". Você pode pensar nisso como um
operador que quer pegar funções e derivá-las parcialmente. E só para reforçar, isto aqui não é um vetor,
é apenas um operador. Mas não há mal algum
em pensar neste nabla como um vetor cheio de operadores
de derivação. E continuando a nossa notação, você irá fazer o produto
escalar destes operadores com as funções escalares dentro
do nosso campo vetorial, que são P(x, y) e Q(x, y). E lembrando que o primeiro termo
multiplica o primeiro termo, e o segundo termo multiplica
o segundo termo. E fazendo este produto nós chegaremos
a nossa fórmula para a divergência. Você pode ver que nós
chegamos à mesma fórmula que apresentamos nos vídeos anteriores. Porém, esta notação funciona quase
como uma regra mnemônica para divergência. Um outro benefício de utilizar
essa notação aqui, é que de forma automática nós já sabemos
a fórmula da divergência para qualquer que seja o número
de dimensões da função. Por exemplo, se tivermos um campo
vetorial com três dimensões V(x, y, z) definido por P(x, y, z),
Q(x, y, z), e, por fim, R(x, y, z), mesmo sem termos abordado diretamente
o tema campos vetoriais tridimensionais, com esta notação aqui dá para
descobrir a fórmula para a divergência. Vamos agora fazer o produto escalar que
apresentamos para descobrir esta fórmula. Então, o nosso nabla estará
representando ∂, ∂x, ∂y e ∂z. Aqui do lado direito, teremos as nossas funções
escalares P(x, y, z), Q(x, y, z) e R(x, y, z). E realizando o produto teremos que
a divergência deste campo vetorial será dada pela derivada parcial
de "P" em relação a "x", mais a derivada parcial de "Q"
em relação a "y", mais a derivada parcial de "R"
em relação a "z". E mesmo que nós não tenhamos
abordado diretamente este tema de campos
vetoriais tridimensionais, nós conseguimos achar esta fórmula. E só para lembrar, já que talvez este último termo aqui
não faça muito sentido para você, este termo está dizendo quanto
que a função "R" varia conforme nós variamos
a nossa variável "z". Esta noção vale para
qualquer que seja o número de dimensões do
campo vetorial ou função vetorial. Seja tridimensional, quatro dimensões
ou cem dimensões. Aplicando este conceito do nabla
vezes o campo vetorial, você obterá a fórmula
para a função divergência. E é exatamente isso que faz com
que aprender esta notação seja fundamental no estudo da divergência. Então, terminamos por aqui
todos os conceitos e cálculos relacionados à noção
de divergência de um campo vetorial. Então, até aqui nós
aprendemos a visualizar, interpretar, calcular e, por fim, nós aprendemos uma notação que irá nos ajudar a lembrar
das fórmulas de divergência. Então, é isso galera! Nos vemos aqui pela Khan Academy.