Derivadas direcionais

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui na casa dele Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a derivada direcional que é uma forma de estender a ideia de uma derivada parcial e se você se lembra bem uma derivada parcial tem a ver com funções com algum tipo de entrada multivariável aqui eu vou usar apenas duas entradas porque é mais fácil de pensar e que também tem apenas uma única variável como saída tá É bom deixar claro que poderíamos ter saído das com várias variáveis vetoriais mas ainda não chegamos nisso por isso que eu vou ficar apenas com essa função de uma única saída e que seja um número real comum Ok temos então uma expressão de x e y e uma das formas de pensar nisso a considerar que o espaço de entrada é o plano XY Então esse aqui é o eixo X e esse aqui é o eixo Y A dial a forma isso resulta em uma reta em uma reta com números reais talvez você esteja pensando em uma transformação na qual isso aqui é o espaço de entrada e isso aqui é o espaço de saída aí quando você calcula a derivada parcial em algum tipo de ponto eu vou escrever aqui a derivada parcial de f em relação a x em 1.112 Vamos pensar sobre esse ponto em que x = 1 e y = 2 ao calcular a derivada em relação a x você meio que faz uma analogia disso pensando na ideia de como um pequeno empurrãozinho que você dá no x vai gerar um pequeno empurrão resultante no espaço de saída a relação entre o tamanho do empurrão resultante um empurrão x ou seja a proporção entre o parcial efe o parcial X é o valor que você deseja é a sua derivada parcial aí quando você faz isso em relação a y a ideia é a mesma e agora em uma direção diferente você pensa no pequeno empurrão sendo realizado na direção Y tal vez aqui para cima e aí como isso influencia na saída A questão aqui o com derivadas direcionais é que se você tiver algum tipo de Vetor ver eu vou colocar aqui essa setinha acima do Via porque ele é um vetor e vamos dizer que esse Vector tag os componentes - 1 e 2 Assim você estaria pensando nisso aqui como um passo de um negativo na direção x e depois mais dois passos positivos na direção Y Ahí vai ser algo que acaba aí esse é o vetor V pelo menos se você está pensando nesse vetor ver como decorrente do ponto original agora tem uma pergunta que muito interessante principalmente porque eu já comecei a falar sobre derivadas direcionais a pergunta que eu quero fazer aqui é a seguinte o que um pequeno empurrão nessa direção faz com a própria função Len disse Originalmente Quando pensamos nesses pequenos empurrões é tão x e na direção Y não pensamos nisso como um grande passo Ou seja a gente precisa pensar nesse pequeno passo aqui no x como é algo muito muito pequeno então formalmente a gente deve pensar no limite disso ficando muito pequeno tá algo tendendo a zero Isso fica muito muito pequeno se aproximando de 0 a proporção dessas duas coisas se aproxima do que é uma pergunta que provavelmente você já sabe responder Da mesma forma a gente também vai ter isso aqui com y um passo muito muito pequeno na direção y a forma de pensar na derivada direcional é bem semelhante você não pensa no vetor real realmente dando um passo longo mas sem um pequeno passo nessa direção por exemplo para encontrar esse pequeno passo a gente multiplica esse vetor por h não se esqueça que H pode representar valores muito pequenos talvez aquele seja = 0,001 tem fim ele tem que ser bem bem pequenininho de forma se você estiver fazendo essa multiplicação você tem que pensar nisso aqui em um limite quando H tende a zero então a derivada direcional está dizendo que quando você dá um ligeiro empurrão na direção desse vetor vai ter uma pequena mudança resultante na saída para começar a pensar Nilson a gente precisa alterar um pouco esse vetor aqui já que a gente está multiplicando ele por h a gente multiplica a primeira componente menos um nesse caso por H assim teremos menos H multiplicando agora o dois com H teremos 2h assim a olhar o ponto a gente meio que deu um leve empurrãozinho na direção negativa de xeo2 leves empurrõezinhos na direção Y para qualquer empurrão na direção ver daremos um passo negativo em x e dois passos positivos em y a gente pode reescrever isso aqui utilizando uma outra anotação a gente coloca que o nabo do Gradiente mas aí a gente coloca o vetor aqui isso é a notação utilizada para derivar o canal na direção ao ver um detalhe importante é que existem outras notações para isso tem pessoas por exemplo que vão utilizar o parcial com pequeno vetor subscrito mas eu gosto de utilizar essa daqui a Claro não podemos esquecer que vamos aplicar este operador é uma função que nesse caso f de x e y o motivo de utilizar essa notação é porque isso é um indicativo de água ser calculado que eu vou mostrar daqui a pouquinho mas para esse exemplo em particular Isso vai ser igual a bem se a gente vai dar um passo negativo na direção X então teremos uma mudança na função que é causada por um passo na direção x aí eu colocamos aqui o sinal de negativo na frente disso não podemos esquecer que ainda temos a direção Y então a gente só ama isso com são dois passos na direção Y certo então vamos colocar os dois aqui na frente e multiplicar isso pela parcial F parcial y e pronto agora para ser mais geral eu O que é um vetor qualquer w Onde teremos os componentes A e B ao invés de números específicos a gente pode calcular a que a derivada direcional na direção WD Seja lá o que for nesse caso pode ser uma função aí eu só vai ser igual a avessos a derivada parcial de f em relação a x mais B vezes a derivada parcial de f em relação a y e pronto temos uma forma mais Geral agora basicamente Essa é a fórmula que você usa para derivada direcional que falando novamente você pensa nisso como um pequeno empurrão dado na direção x e na direção y e como isso afeta na saída então isso daqui faz total sentido a existem momentos que você vai ver isso aqui é inscrito não em termos das derivadas parciais e dos componentes A e B mas sim em relação ao Gradiente isso porque essa forma fica mais compacta principalmente se você tiver que lidar com mais de menções sendo assim podemos escrever isso o seguinte forma se você calcular o produto escalar entre as componentes do vetor A e B e as derivadas parciais você acaba tendo essa expressão que encontramos então podemos colocar aqui o vetor AB e aí podemos multiplicar isso com o Victor parcial F parcial x parcial F parcial Y aí Provavelmente você vai olhar para isso aqui agora e vai dizer o seguinte a e b não é o vetor original que nesse caso é w sim então isso aqui é o vetor da Bola E você está fazendo o produto entre cada componente desse vetor com as derivadas parciais que estão em cada componente do outro vetor que conforme Nós aprendemos em outros vídeos isso representa o gradiente DF sendo assim há que eu colocamos um na blá sem o w o subtendido Mas eu ainda pintura essa outra anotação é que porque ela é muito sugestiva sobre o caminho que você deve seguir para realizar os cálculos Tem sim é muito como você vê nos livros essas duas notas e a um detalhe é importante ver isso aqui como algo flexível para as dimensões o que se a gente tiver falando que só entrada que tem cinco dimensões o vetor direcional terá cinco componentes diferentes aí quando você realiza os cálculos o gradiente terá cinco componentes assim como o próprio Victor Então essa daqui a derivada direcional e Como você calcula a maneira como você interpreta isso é pensar que você está se movimentando ao longo desse vetor devido a um pequeno empurrão assim você multiplica-se vetor por um pequeno valor ao fazer isso você observa com o isso vai afetar a saída e qual é a proporção da variação resultante no próximo vídeo eu vou esclarecer isso um pouquinho mais com a definição formal da própria derivada direcional Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima