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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 2: Gradiente e derivadas direcionais- Gradiente
- Cálculo de gradientes
- Gradientes e gráficos
- Gradiente visual
- Gradientes e mapas de contorno
- Derivadas direcionais
- Derivada direcional, definição formal
- Cálculo de derivadas direcionais
- Derivada direcional e inclinação
- Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.
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Derivadas direcionais
Derivadas direcionais dizem como uma função multivariável muda conforme você se move ao longo de um vetor no seu espaço de entrada. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre a derivada direcional, que é uma forma de estender
a ideia de uma derivada parcial. Se você se lembra bem, uma derivada parcial tem a ver com funções com algum
tipo de entrada multivariável. Aqui, eu vou usar apenas duas entradas, porque é mais fácil de pensar e que também tem apenas uma
única variável como saída. Ah, é bom deixar claro que poderíamos
ter saídas com várias variáveis vetoriais. Mas ainda não chegamos nisso, por isso que eu vou ficar apenas
com esta função de uma única saída e que seja um número real comum. Ok, temos, então, uma expressão de (x, y). Uma das formas de pensar nisso é considerar que o espaço
de entrada é o plano (x, y). Então este aqui eixo "x"
e esse aqui é o eixo "y". Ah, de alguma forma
isso resulta em uma reta, em uma reta com números reais. Talvez você esteja pensando
em uma transformação, na qual isso aqui é o espaço de entrada
e isso aqui é o espaço de saída. Aí, quando você calcula a derivada
parcial em algum tipo de ponto, eu vou escrever aqui a derivada parcial
de "f" em relação a "x" em um ponto (1, 2). Vamos pensar sobre esse ponto,
em que "x = 1" e "y = 2". Ao calcular a derivada em relação a "x", você meio que faz uma analogia disso pensando na ideia de como um pequeno
empurrãozinho que você dá no "x" vai gerar um pequeno empurrão
resultante no espaço de saída. A relação entre o tamanho
do empurrão resultante e um empurrão "x", ou seja, a proporção entre o parcial "f"
o parcial "x" é o valor que você deseja, é a sua derivada parcial. Aí, quando você faz isso em relação a "y", a ideia é a mesma, mas agora
em uma direção diferente. Você pensa no pequeno empurrão sendo
realizado na direção "y", talvez aqui para cima, e aí como isso influencia na saída. A questão aqui, com derivadas direcionais, é que se você tiver algum
tipo de vetor "v", eu vou colocar aqui essa setinha
acima do "v" porque ele é um vetor, e vamos dizer que esse vetor
tenha as componentes [-1, 2]. Assim, você estaria pensando nisso aqui
como um passo de -1 na direção "x" e depois, mais 2 passos positivos
na direção "y". Aí vai ser algo que acaba aí,
esse é o vetor "v", pelo menos se você está pensando
nesse vetor "v" como decorrente do ponto original. Agora tem uma pergunta
aqui muito interessante, principalmente porque eu já comecei
a falar sobre derivadas direcionais. A pergunta que eu quero
fazer aqui é a seguinte: o que um pequeno empurrão nessa
direção faz com a própria função? Lembre-se, originalmente, quando pensamos nesses pequenos empurrões
na direção "x" e na direção "y", não pensamos nisso como um grande passo, ou seja, a gente precisa pensar
nesse pequeno passo aqui no "x" como algo muito, muito pequeno. Então formalmente, a gente deve pensar
no limite disso ficando muito pequeno, algo tendendo a zero. E se isso fica muito, muito pequeno,
se aproximando de zero, a proporção dessas duas coisas
se aproxima do quê? É uma pergunta que provavelmente
você já sabe responder. Da mesma forma, a gente também
vai ter isso aqui com "y", um passo muito, muito
pequeno na direção "y". A forma de pensar na derivada
direcional é bem semelhante. Você não pensa no vetor real realmente
dando um passo longo, mas sim um pequeno
passo nessa direção. Por exemplo, para encontrar
esse pequeno passo, a gente multiplica esse vetor por "h". Não se esqueça que "h" pode
representar valores muito pequenos. Talvez aqui ele seja igual a 0,001. Enfim, ele tem que ser bem,
bem pequenininho, de forma que você estiver fazendo
essa multiplicação, você tem que pensar nisso aqui
em um limite quando "h" tende a zero. Então, a derivada direcional
está dizendo que quando você dá um ligeiro empurrão
na direção desse vetor, vai ter uma pequena mudança
resultante na saída. Para começar a pensar nisso, a gente precisa alterar
um pouco esse vetor aqui, já que a gente está
multiplicando ele por "h". A gente multiplica a primeira componente,
-1 neste caso, por "h", assim teremos "-h". Multiplicando agora o 2 com o "h",
teremos 2h. Assim, ao olhar o ponto,
a gente meio que deu um leve empurrãozinho
na direção negativa de "x" e dois leves empurrõezinhos
na direção "y". Para qualquer empurrão na direção "v", daremos um passo negativo em "x" e dois passos positivos em "y". A gente pode reescrever isso aqui
utilizando uma outra notação. A gente coloca que o nabla do gradiente,
mas aí a gente coloca o vetor aqui. Isso é a notação utilizada para
a derivada direcional na direção ao "v". Um detalhe importante é que existem
outras notações para isso. Tem pessoas, por exemplo, que vão utilizar o parcial
com um pequeno vetor subscrito. Mas eu gosto de utilizar essa aqui. Ah, claro, não podemos esquecer que
vamos aplicar este operador a uma função, que neste caso é f(x, y). O motivo de utilizar essa notação é porque isso é um indicativo
de água ser calculado, que eu vou mostrar daqui a pouquinho. Mas para esse exemplo em particular, isso vai ser igual a, bem, se a gente vai dar um passo
negativo na direção "x", então, teremos uma mudança na função
que é causada por um passo na direção "x", aí, eu colocamos aqui o sinal
de negativo na frente disso. Não podemos esquecer que ainda
temos a direção "y", então, a gente soma isso com,
são dois passos na direção "y", certo? Então vamos colocar o 2 aqui na frente
e multiplicar isso pela ∂f/∂y. E pronto! Agora, para ser mais geral, eu posso colocar aqui
um vetor qualquer "w", onde teremos as componentes [a, b] em vez de números específicos. A gente pode calcular aqui
a derivada direcional na direção "w" de seja lá o que for. Neste caso, pode ser uma função. Aí, isso vai ser igual a
a∂f/∂x + b∂f/∂y E pronto! Temos uma forma mais geral agora. Basicamente, essa é a fórmula que
você usa para derivada direcional. E falando novamente, você pensa nisso como um pequeno empurrão dado
na direção "x" e na direção "y" e como isso afeta na saída. Então isso aqui faz total sentido. Ah, existem momentos
que você vai ver isso aqui escrito não em termos
das derivadas parciais e das componentes [a, b],
mas sim em relação ao gradiente. Isso porque essa forma fica mais compacta, principalmente se você tiver
que lidar com mais dimensões. Sendo assim, podemos escrever isso
daqui da seguinte forma: se você calcular o produto escalar
entre as componentes do vetor [a, b] e as derivadas parciais, você acaba tendo esta expressão
que encontramos. Então, podemos colocar
aqui o vetor [a, b], e aí podemos multiplicar isso
com o vetor [∂f/∂x, ∂f/∂y]. Aí, provavelmente você vai olhar para
isso aqui agora e vai dizer o seguinte: [a, b] não é o vetor original,
que nesse caso é "w"? Sim, então, isso aqui
é o vetor "w". E você está fazendo o produto
entre cada componente deste vetor com as derivadas parciais que estão em cada componente
do outro vetor, que conforme nós aprendemos
em outros vídeos, isso representa o gradiente de "f". Sendo assim, aqui colocamos
o nabla, sem o "w" o subtendido. Mas eu ainda prefiro
esta outra notação aqui porque ela é muito sugestiva sobre
o caminho que você deve seguir para realizar os cálculos. Enfim, é muito comum você ver
nos livros essas duas notações. Ah, um detalhe. É importante ver isso aqui
como algo flexível para as dimensões, porque se a gente estiver falando
que a sua entrada aqui tem 5 dimensões, o vetor direcional terá
5 componentes diferentes. Aí, quando você realiza os cálculos, o gradiente terá 5 componentes,
assim como o próprio vetor. Então, esta aqui é a derivada
direcional e como você calcula. A maneira como você interpreta isso é pensar que você está se
movimentando ao longo desse vetor devido a um pequeno empurrão, assim, você multiplica esse vetor
por um pequeno valor. Ao fazer isso, você observa como
isso vai afetar a saída e qual é a proporção
da variação resultante. No próximo vídeo, eu vou esclarecer
isso um pouquinho mais com a definição formal
da própria derivada direcional. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!