Derivadas direcionais

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a derivada direcional, que é uma forma de estender a ideia de uma derivada parcial. Se você se lembra bem, uma derivada parcial tem a ver com funções com algum tipo de entrada multivariável. Aqui, eu vou usar apenas duas entradas, porque é mais fácil de pensar e que também tem apenas uma única variável como saída. Ah, é bom deixar claro que poderíamos ter saídas com várias variáveis vetoriais. Mas ainda não chegamos nisso, por isso que eu vou ficar apenas com esta função de uma única saída e que seja um número real comum. Ok, temos, então, uma expressão de (x, y). Uma das formas de pensar nisso é considerar que o espaço de entrada é o plano (x, y). Então este aqui eixo "x" e esse aqui é o eixo "y". Ah, de alguma forma isso resulta em uma reta, em uma reta com números reais. Talvez você esteja pensando em uma transformação, na qual isso aqui é o espaço de entrada e isso aqui é o espaço de saída. Aí, quando você calcula a derivada parcial em algum tipo de ponto, eu vou escrever aqui a derivada parcial de "f" em relação a "x" em um ponto (1, 2). Vamos pensar sobre esse ponto, em que "x = 1" e "y = 2". Ao calcular a derivada em relação a "x", você meio que faz uma analogia disso pensando na ideia de como um pequeno empurrãozinho que você dá no "x" vai gerar um pequeno empurrão resultante no espaço de saída. A relação entre o tamanho do empurrão resultante e um empurrão "x", ou seja, a proporção entre o parcial "f" o parcial "x" é o valor que você deseja, é a sua derivada parcial. Aí, quando você faz isso em relação a "y", a ideia é a mesma, mas agora em uma direção diferente. Você pensa no pequeno empurrão sendo realizado na direção "y", talvez aqui para cima, e aí como isso influencia na saída. A questão aqui, com derivadas direcionais, é que se você tiver algum tipo de vetor "v", eu vou colocar aqui essa setinha acima do "v" porque ele é um vetor, e vamos dizer que esse vetor tenha as componentes [-1, 2]. Assim, você estaria pensando nisso aqui como um passo de -1 na direção "x" e depois, mais 2 passos positivos na direção "y". Aí vai ser algo que acaba aí, esse é o vetor "v", pelo menos se você está pensando nesse vetor "v" como decorrente do ponto original. Agora tem uma pergunta aqui muito interessante, principalmente porque eu já comecei a falar sobre derivadas direcionais. A pergunta que eu quero fazer aqui é a seguinte: o que um pequeno empurrão nessa direção faz com a própria função? Lembre-se, originalmente, quando pensamos nesses pequenos empurrões na direção "x" e na direção "y", não pensamos nisso como um grande passo, ou seja, a gente precisa pensar nesse pequeno passo aqui no "x" como algo muito, muito pequeno. Então formalmente, a gente deve pensar no limite disso ficando muito pequeno, algo tendendo a zero. E se isso fica muito, muito pequeno, se aproximando de zero, a proporção dessas duas coisas se aproxima do quê? É uma pergunta que provavelmente você já sabe responder. Da mesma forma, a gente também vai ter isso aqui com "y", um passo muito, muito pequeno na direção "y". A forma de pensar na derivada direcional é bem semelhante. Você não pensa no vetor real realmente dando um passo longo, mas sim um pequeno passo nessa direção. Por exemplo, para encontrar esse pequeno passo, a gente multiplica esse vetor por "h". Não se esqueça que "h" pode representar valores muito pequenos. Talvez aqui ele seja igual a 0,001. Enfim, ele tem que ser bem, bem pequenininho, de forma que você estiver fazendo essa multiplicação, você tem que pensar nisso aqui em um limite quando "h" tende a zero. Então, a derivada direcional está dizendo que quando você dá um ligeiro empurrão na direção desse vetor, vai ter uma pequena mudança resultante na saída. Para começar a pensar nisso, a gente precisa alterar um pouco esse vetor aqui, já que a gente está multiplicando ele por "h". A gente multiplica a primeira componente, -1 neste caso, por "h", assim teremos "-h". Multiplicando agora o 2 com o "h", teremos 2h. Assim, ao olhar o ponto, a gente meio que deu um leve empurrãozinho na direção negativa de "x" e dois leves empurrõezinhos na direção "y". Para qualquer empurrão na direção "v", daremos um passo negativo em "x" e dois passos positivos em "y". A gente pode reescrever isso aqui utilizando uma outra notação. A gente coloca que o nabla do gradiente, mas aí a gente coloca o vetor aqui. Isso é a notação utilizada para a derivada direcional na direção ao "v". Um detalhe importante é que existem outras notações para isso. Tem pessoas, por exemplo, que vão utilizar o parcial com um pequeno vetor subscrito. Mas eu gosto de utilizar essa aqui. Ah, claro, não podemos esquecer que vamos aplicar este operador a uma função, que neste caso é f(x, y). O motivo de utilizar essa notação é porque isso é um indicativo de água ser calculado, que eu vou mostrar daqui a pouquinho. Mas para esse exemplo em particular, isso vai ser igual a, bem, se a gente vai dar um passo negativo na direção "x", então, teremos uma mudança na função que é causada por um passo na direção "x", aí, eu colocamos aqui o sinal de negativo na frente disso. Não podemos esquecer que ainda temos a direção "y", então, a gente soma isso com, são dois passos na direção "y", certo? Então vamos colocar o 2 aqui na frente e multiplicar isso pela ∂f/∂y. E pronto! Agora, para ser mais geral, eu posso colocar aqui um vetor qualquer "w", onde teremos as componentes [a, b] em vez de números específicos. A gente pode calcular aqui a derivada direcional na direção "w" de seja lá o que for. Neste caso, pode ser uma função. Aí, isso vai ser igual a a∂f/∂x + b∂f/∂y E pronto! Temos uma forma mais geral agora. Basicamente, essa é a fórmula que você usa para derivada direcional. E falando novamente, você pensa nisso como um pequeno empurrão dado na direção "x" e na direção "y" e como isso afeta na saída. Então isso aqui faz total sentido. Ah, existem momentos que você vai ver isso aqui escrito não em termos das derivadas parciais e das componentes [a, b], mas sim em relação ao gradiente. Isso porque essa forma fica mais compacta, principalmente se você tiver que lidar com mais dimensões. Sendo assim, podemos escrever isso daqui da seguinte forma: se você calcular o produto escalar entre as componentes do vetor [a, b] e as derivadas parciais, você acaba tendo esta expressão que encontramos. Então, podemos colocar aqui o vetor [a, b], e aí podemos multiplicar isso com o vetor [∂f/∂x, ∂f/∂y]. Aí, provavelmente você vai olhar para isso aqui agora e vai dizer o seguinte: [a, b] não é o vetor original, que nesse caso é "w"? Sim, então, isso aqui é o vetor "w". E você está fazendo o produto entre cada componente deste vetor com as derivadas parciais que estão em cada componente do outro vetor, que conforme nós aprendemos em outros vídeos, isso representa o gradiente de "f". Sendo assim, aqui colocamos o nabla, sem o "w" o subtendido. Mas eu ainda prefiro esta outra notação aqui porque ela é muito sugestiva sobre o caminho que você deve seguir para realizar os cálculos. Enfim, é muito comum você ver nos livros essas duas notações. Ah, um detalhe. É importante ver isso aqui como algo flexível para as dimensões, porque se a gente estiver falando que a sua entrada aqui tem 5 dimensões, o vetor direcional terá 5 componentes diferentes. Aí, quando você realiza os cálculos, o gradiente terá 5 componentes, assim como o próprio vetor. Então, esta aqui é a derivada direcional e como você calcula. A maneira como você interpreta isso é pensar que você está se movimentando ao longo desse vetor devido a um pequeno empurrão, assim, você multiplica esse vetor por um pequeno valor. Ao fazer isso, você observa como isso vai afetar a saída e qual é a proporção da variação resultante. No próximo vídeo, eu vou esclarecer isso um pouquinho mais com a definição formal da própria derivada direcional. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!