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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 2: Gradiente e derivadas direcionais- Gradiente
- Cálculo de gradientes
- Gradientes e gráficos
- Gradiente visual
- Gradientes e mapas de contorno
- Derivadas direcionais
- Derivada direcional, definição formal
- Cálculo de derivadas direcionais
- Derivada direcional e inclinação
- Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.
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Derivada direcional, definição formal
Aprenda a definição de limite de uma derivada direcional. Isso ajudará a deixar claro o que ela está fazendo de fato. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a definição formal da derivada direcional. Essa é a definição formal
da derivada parcial de uma função de duas
variáveis em relação a "x". O que eu quero fazer aqui é construir a definição formal
da derivada direcional da mesma função na direção
de algum vetor "v". Esse "v", com essa espécie
de seta aqui em cima é algum vetor no espaço de entrada. Ah, eu já fiz um vídeo sobre a
definição formal da derivada parcial, e se você quiser, vale
a pena conferir essa aula. Mas aqui, eu vou dar uma
passadinha muito rápida apenas como uma revisão, ok? E para isso, eu vou desenhar
um diagrama aqui. Eu já desenhei ele antes, mas vale a pena
desenhar novamente. Assim, se você pensar
no seu espaço de entrada, que é o plano "xy", e se você pensar nisso aqui
de alguma forma, neste plano aqui sendo mapeado e sendo levado aqui para esta reta
dos números reais, que é onde a sua função "f' vive, quando você estiver calculando
a derivada parcial em um ponto (a, b), você pode imaginar isso como se você estivesse realizando
um pequeno empurrãozinho na direção "x", e aí tentasse compreender
como isso influencia na função. Sendo assim, talvez seja aqui
que (a, b) venha parar, e talvez o resultado seja o empurrãozinho que é um pouquinho negativo. Isso seria uma derivada parcial negativa. Você pode pensar no tamanho
do empurrãozinho como sendo ∂x, e o tamanho do empurrão resultante
no espaço de saída como ∂F. Então, a maneira de ler
essa definição formal é pensar na variável "h"
como sendo o Δx, principalmente porque "h" é uma variável
comum de ser usada nesses casos. Sendo assim, você pensa nesse "h" como sendo uma variação em seu
espaço de entrada, aquele leve empurrão. Aí você observa como
isso influencia na função quando você só varia
a componente "x" aqui. Ou seja, você faz uma pequena variação
na componente "x" com um empurrão, e aí você observa como isso vai fazer "F"
sofrer uma variação, que, neste caso, é este parcial ∂F. Agora, que tal a gente escrever isso
só um pouquinho diferente utilizando uma notação vetorial? Eu vou colocar aqui novamente
o parcial ∂F e ∂x, mas de vez de colocar
a entrada sendo (a, b), como entrada bidimensional, eu vou colocar aqui o vetor, por isso, eu coloco
a seta em cima do "a", para dizer isso é um vetor. Aí, isso vai ser igual a, reescrevemos tudo isso aqui
colocando o limite com "h" tendendo a zero
de algo divido por "h". Agora, precisamos reescrever
tudo isso que está aqui em cima em termos de notação vetorial. Assim, temos aqui, "F" de, o ponto de partida original, que, neste caso, é o vetor "a", mais alguma coisa. Aqui em cima era claro que a gente
estava falando da primeira componente, então, bastou adicionar o "h"
na primeira componente. Mas agora, eu não estou escrevendo
em termos de componentes, então eu tenho que pensar
em termos de adição de vetor. Neste caso, eu devo adicionar o "h"
vezes o vetor unitário na direção "x", que é comum a gente usar esse "î" aqui para representar o vetor unitário
na direção "x". Quando eu faço isso, eu estou pegando a primeira
componente de "h" e multiplicando por 1 e multiplicando a segunda
componente de "h" com o zero, assim, sobra apenas
a primeira componente de "h". Depois, eu pego tudo isso, subtraio com o valor da função
na entrada original, que na forma original aqui em cima
eu estava com a entrada bidimensional. Agora, pensando em termos de vetores, eu coloco vetor "a". Quando eu escrevo essa
definição formal desta forma, fica mais claro essa ideia de variar
em direções diferentes, porque agora, todas as informações sobre
a direção que você está se movendo são capturadas com este vetor aqui, e que se aplica ao leve empurrão
que você realiza em sua entrada. Agora vamos reescrever isso aqui
no contexto da derivada direcional? Para isso, você deve escrever que a derivada direcional na direção
de algum vetor de "F", avaliado em um ponto, em que a gente pode pensar
no ponto de entrada como sendo o próprio vetor "a". Bem, deixe-me apagar isso aqui
para a gente ter mais espaço. Isso aqui será igual ao limite, afinal, quando pensamos em derivadas, não queremos uma variação qualquer, então, por isso temos que ter um limite
de alguma variável, que eu vou chamar de "h" tendendo a zero. Esta variável tem que
estar no denominador, aí, no numerador, colocamos
a variação da função. Assim, colocamos "F" de, o ponto de entrada que estamos avaliando, que, neste caso, é o vetor "a", mais o 'h", que é o valor
do empurrão que realizamos, multiplicando o vetor cuja direção
nós nos importamos, e aí subtraímos isso com
o "F" da entrada original "a". Então, isso aqui é a definição formal
para derivada direcional. E você vê como é muito fácil escrever
em notação vetorial, porque você está pensando
em sua contribuição como um vetor e sua saída como apenas um empurrãozinho
por alguma coisa. Sabendo disso, vamos dar uma
olhada aqui no que aconteceria, se em vez de pensar em "dx" e um
leve empurrão puramente na direção "x", você pensasse nesse
ponto como sendo "a". Só para deixar claro, como é um vetor, a gente pensaria nisso
começando na origem, e aí, a extremidade estaria
neste ponto aqui. Repare que a gente multiplica
o "h" com "v". Este "v" é um vetor
que possui uma direção que não é puramente "x",
nem puramente "y", mas quando você o reduz,
multiplicando-o por "h", vai ser apenas um pequeno
empurrãozinho na direção de ''v", aí como sempre, você se pergunta: "como esse empurrãozinho vai afetar
no empurrão resultante de saída?" A proporção entre o tamanho
do empurrão resultante para saída e o empurrão original
é a derivada direcional. E, o mais importante, é que conforme você determina
o limite para aquele empurrão original, ele vai ficando realmente muito,
muito pequeno. Isso vai fornecer o valor
da derivada direcional. Agora você já deve estar se antecipando e tentando interpretar isso graficamente
através da inclinação gráfico, não é? Bem, eu vou falar sobre isso
no próximo vídeo, mas você realmente tem que ter
um pouco de cuidado em relação a isso, porque chamamos isso de
derivada direcional, mas observe, se você escalar
o valor de "v" por 2, ou seja se você vier aqui
e colocar o 2 multiplicando "v", e aí ver como isso influencia nas coisas, teremos o dobro da variação aqui. Mesmo se você estiver escalando
pelo mesmo valor "h", o empurrãozinho inicial
que você deu vai dobrar, e aí com isso, o empurrão
resultante aqui também vai dobrar, mesmo que o denominador "h"
não tenha mudado. Então, quando você
está calculando a proporção, o que você está considerando é como o tamanho do seu
empurrão inicial vai influenciar. Sabendo disso, alguns autores
vão realmente mudar essa definição, eles vão acabar colocando
o valor absoluto aqui do vetor original, apenas para ter certeza que quando
você dimensionar por outra coisa, isso acabe não influenciando as coisas, e aí você se preocupa
apenas com a direção. Mas eu realmente não gosto disso. Eu acho que tem alguma utilidade
na definição como está aqui, e também, que existe uma
boa interpretação a ser dada para este caso, em que se você dobrar
o tamanho do seu vetor, isso vai dobrar o tamanho
da sua derivada. Mas a gente vai ver isso melhor
nos próximos vídeos. Enfim, essa aqui é a definição formal e eu espero que você tenha compreendido
tudo o que a gente conversou aqui. Mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço e falar que te encontro na próxima!