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Derivada direcional, definição formal

Aprenda a definição de limite de uma derivada direcional. Isso ajudará a deixar claro o que ela está fazendo de fato.   Versão original criada por Grant Sanderson.

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a definição formal da derivada direcional é a ser definição formal da derivada parcial de uma função de duas variáveis em relação a x e o que eu quero fazer aqui é construída a definição formal da derivada direcional da mesma função na direção de algum vetor ver esse ver com essas espécies de certo aqui em cima é algum vetor no espaço de entrada aí eu já fiz um vídeo sobre a definição formal da derivada parcial e se você quiser vale a pena conferir essa aula mais aqui eu vou dar uma passadinha muito rápida apenas como uma revisão aqui E para isso eu vou desenhar um diagrama aqui eu já desenhei ele antes mas vale a pena desenhar novamente assim se você pensar no seu espaço de entrada que é o plano XY e se você pensar não sei que de alguma forma nesse plano aqui sem o piado e sendo levado aqui para essa reta dos números reais que é onde a sua função f vive quando você estiver calculando a derivada parcial em um ponto AB você pode imaginar isso como se você estivesse realizando um pequeno empurrãozinho na direção x E aí tentasse compreender como isso influencia na função sendo assim talvez seja aqui que OAB venha parar e talvez O resultado é o empurrãozinho que é um pouquinho negativo isso seria uma derivada parcial negativa você pode pensar no tamanho do empurrãozinho como sendo parcial x e o tamanho do empurrão resultante no espaço de saída como eu passear UEFI é Então a maneira de ler essa definição formal é pensar na variável H como sendo o delta x principalmente porque H é uma variável comum de ser usada nesses casos Sendo assim você pensa nesse H como sendo uma variação e seu espaço de entrada aquele leve empurrão aí você observa como se influencia na função E você só varia a componente x aqui ou seja você faz uma pequena variação na componente x como empurrão E aí você observa como isso vai fazer é que sofrer uma variação que nesse caso é esse parcial F agora que tal a gente escrever eu sou um pouquinho diferente utilizando uma notação vetorial eu vou colocar aqui novamente o parcial F parcial x Mas em vez de colocar a entrada sendo AB com uma entrada bidimensional eu vou colocar aqui o vetor por isso eu coloco a certo aqui em cima do ar para dizer isso é um vetor aí isso vai ser igual a descrevemos tudo isso aqui colocando o limite com h tendendo a zero de algo / H agora precisamos reescrever tudo isso que está aqui em cima em termos de notação vetorial assim temos aqui FD o ponto de partida original que nesse caso o vetor a mais alguma coisa aqui em cima da Claro que a gente tava falando da primeira componente então bass o canário HQ na primeira componente Mas agora eu não estou escrevendo em termos de componentes Então eu tenho que pensar em termos de adição de Victor nesse caso eu devo adicionar o h vezes o vetor unitário na direção x que a comum a gente usar esse chapéu aqui para representar o vetor unitário na direção x quando eu faço isso eu estou pegando a primeira componente DH e multiplicando por um e o multiplicando a segunda componente DH com zero assim sobra apenas a primeira componente DH e depois eu pego tudo isso subtrai o com o valor da função na entrada original que na forma original aqui em cima eu estava com a entrada bidimensional agora pensando em termos de vetores eu coloco vetor a quando eu escrevo essa definição formal dessa forma fica mais claro essa ideia de variar em direções diferentes porque agora todas as informações sobre a direção que você está se movendo é capturada com esse vetor aqui e que se aplica o Que bom que você realize em sua entrada agora vamos reescrever isso aqui no contexto da derivada direcional para isso você deve escrever aqui é derivada direcional na direção de algum vetor DF avaliado em um ponto em que a gente pode pensar no ponto de entrada como sendo o próprio vetor ar bem deixa eu apagar isso aqui para gente ter mais espaço isso aqui será igual ao limite afinal quando pensamos em derivadas não queremos uma variação qualquer então por isso temos que ter um limite aqui de alguma variável que eu vou chamar DH tendendo a zero essa variável tem que estar no denominador aí no numerador colocamos a variação da função assim colocamos FD o ponto de entrada que estamos avaliando o que nesse caso é o Victor a mais o h que é o valor do empurrão que realizamos multiplicando o vetor cuja direção nós nos importamos E aí subtraímos isso com o f da entrada original A é então isso aqui é definição formal para derivada direcional bom e você ver como é muito fácil escrever em notação vetorial O que você está pensando em sua contribuição como um vetor e sua saída como apenas um empurrãozinho por alguma coisa sabendo disso vamos dar uma olhada aqui no que aconteceria se em vez de pensarem de x e um leve empurrão puramente na direção x você pensasse nesse ponto como sendo a e só para deixar claro como é um vetor a gente pensaria nisso Começando na origem e aí a extremidade estaria nesse ponto aqui repare que a gente multiplicar o h com ver esse ver é um vetor que possui uma direção que não é puramente x nem puramente Y mas quando você o reduz multiplicando ele por H ele vai ser apenas um pequeno empurrãozinho na direção de ver aí como sempre você se pergunta como esse empurrãozinho vai afetar no empurrão resultante de saída a proporção entre o tamanho do empurrão resultante para sair daí o empurrão original é a derivada direcional e o mais E conforme você determina o limite para aquele empurrão original ele vai ficando realmente muito muito pequeno isso vai fornecer o valor da derivada direcional agora você já deve estar sendo antecipando e tentando interpretar isso graficamente através da inclinação no gráfico não é bem eu vou falar sobre isso no próximo vídeo mas você realmente tem que ter um pouco de cuidado em relação é isso porque chamamos isso de derivada direcional mas Observe se você escalar o valor de ver por dois ou seja se você vir aqui e colocar o dois multiplicando ver E aí ver como isso influencia nas coisas Esperamos o dobro da variação aqui mesmo se você estiver instalando pelo mesmo valor h o empurrãozinho Inicial que você deu vai dobrar E aí qual Wilson empurrar o resultante aqui também vai dobrar mesmo que o denominador h não tenha mudado então quando você está calculando a proporção o que você está considerando é como o tamanho do seu empurrão inicial vai influenciar sabendo di os autores vão realmente mudar essa definição eles vão acabar colocando o valor absoluto aqui do vetor original apenas para ter certeza que quando você dimensionar por outra coisa e sua cabe não influenciando as coisas e aí você se preocupa apenas com a direção mas eu realmente não gosto disso eu acho que tem alguma utilidade na definição como está aqui e também que existe uma boa interpretação a ser dada para esse caso em que se você dobrar o tamanho do seu vetor isso vai dobrar o tamanho da sua derivada mas a gente vai ver isso melhor nos próximos vídeos enfim essa daqui a definição formal e eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e falar que te encontro na próxima