Derivada direcional, definição formal

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a definição formal da derivada direcional. Essa é a definição formal da derivada parcial de uma função de duas variáveis em relação a "x". O que eu quero fazer aqui é construir a definição formal da derivada direcional da mesma função na direção de algum vetor "v". Esse "v", com essa espécie de seta aqui em cima é algum vetor no espaço de entrada. Ah, eu já fiz um vídeo sobre a definição formal da derivada parcial, e se você quiser, vale a pena conferir essa aula. Mas aqui, eu vou dar uma passadinha muito rápida apenas como uma revisão, ok? E para isso, eu vou desenhar um diagrama aqui. Eu já desenhei ele antes, mas vale a pena desenhar novamente. Assim, se você pensar no seu espaço de entrada, que é o plano "xy", e se você pensar nisso aqui de alguma forma, neste plano aqui sendo mapeado e sendo levado aqui para esta reta dos números reais, que é onde a sua função "f' vive, quando você estiver calculando a derivada parcial em um ponto (a, b), você pode imaginar isso como se você estivesse realizando um pequeno empurrãozinho na direção "x", e aí tentasse compreender como isso influencia na função. Sendo assim, talvez seja aqui que (a, b) venha parar, e talvez o resultado seja o empurrãozinho que é um pouquinho negativo. Isso seria uma derivada parcial negativa. Você pode pensar no tamanho do empurrãozinho como sendo ∂x, e o tamanho do empurrão resultante no espaço de saída como ∂F. Então, a maneira de ler essa definição formal é pensar na variável "h" como sendo o Δx, principalmente porque "h" é uma variável comum de ser usada nesses casos. Sendo assim, você pensa nesse "h" como sendo uma variação em seu espaço de entrada, aquele leve empurrão. Aí você observa como isso influencia na função quando você só varia a componente "x" aqui. Ou seja, você faz uma pequena variação na componente "x" com um empurrão, e aí você observa como isso vai fazer "F" sofrer uma variação, que, neste caso, é este parcial ∂F. Agora, que tal a gente escrever isso só um pouquinho diferente utilizando uma notação vetorial? Eu vou colocar aqui novamente o parcial ∂F e ∂x, mas de vez de colocar a entrada sendo (a, b), como entrada bidimensional, eu vou colocar aqui o vetor, por isso, eu coloco a seta em cima do "a", para dizer isso é um vetor. Aí, isso vai ser igual a, reescrevemos tudo isso aqui colocando o limite com "h" tendendo a zero de algo divido por "h". Agora, precisamos reescrever tudo isso que está aqui em cima em termos de notação vetorial. Assim, temos aqui, "F" de, o ponto de partida original, que, neste caso, é o vetor "a", mais alguma coisa. Aqui em cima era claro que a gente estava falando da primeira componente, então, bastou adicionar o "h" na primeira componente. Mas agora, eu não estou escrevendo em termos de componentes, então eu tenho que pensar em termos de adição de vetor. Neste caso, eu devo adicionar o "h" vezes o vetor unitário na direção "x", que é comum a gente usar esse "î" aqui para representar o vetor unitário na direção "x". Quando eu faço isso, eu estou pegando a primeira componente de "h" e multiplicando por 1 e multiplicando a segunda componente de "h" com o zero, assim, sobra apenas a primeira componente de "h". Depois, eu pego tudo isso, subtraio com o valor da função na entrada original, que na forma original aqui em cima eu estava com a entrada bidimensional. Agora, pensando em termos de vetores, eu coloco vetor "a". Quando eu escrevo essa definição formal desta forma, fica mais claro essa ideia de variar em direções diferentes, porque agora, todas as informações sobre a direção que você está se movendo são capturadas com este vetor aqui, e que se aplica ao leve empurrão que você realiza em sua entrada. Agora vamos reescrever isso aqui no contexto da derivada direcional? Para isso, você deve escrever que a derivada direcional na direção de algum vetor de "F", avaliado em um ponto, em que a gente pode pensar no ponto de entrada como sendo o próprio vetor "a". Bem, deixe-me apagar isso aqui para a gente ter mais espaço. Isso aqui será igual ao limite, afinal, quando pensamos em derivadas, não queremos uma variação qualquer, então, por isso temos que ter um limite de alguma variável, que eu vou chamar de "h" tendendo a zero. Esta variável tem que estar no denominador, aí, no numerador, colocamos a variação da função. Assim, colocamos "F" de, o ponto de entrada que estamos avaliando, que, neste caso, é o vetor "a", mais o 'h", que é o valor do empurrão que realizamos, multiplicando o vetor cuja direção nós nos importamos, e aí subtraímos isso com o "F" da entrada original "a". Então, isso aqui é a definição formal para derivada direcional. E você vê como é muito fácil escrever em notação vetorial, porque você está pensando em sua contribuição como um vetor e sua saída como apenas um empurrãozinho por alguma coisa. Sabendo disso, vamos dar uma olhada aqui no que aconteceria, se em vez de pensar em "dx" e um leve empurrão puramente na direção "x", você pensasse nesse ponto como sendo "a". Só para deixar claro, como é um vetor, a gente pensaria nisso começando na origem, e aí, a extremidade estaria neste ponto aqui. Repare que a gente multiplica o "h" com "v". Este "v" é um vetor que possui uma direção que não é puramente "x", nem puramente "y", mas quando você o reduz, multiplicando-o por "h", vai ser apenas um pequeno empurrãozinho na direção de ''v", aí como sempre, você se pergunta: "como esse empurrãozinho vai afetar no empurrão resultante de saída?" A proporção entre o tamanho do empurrão resultante para saída e o empurrão original é a derivada direcional. E, o mais importante, é que conforme você determina o limite para aquele empurrão original, ele vai ficando realmente muito, muito pequeno. Isso vai fornecer o valor da derivada direcional. Agora você já deve estar se antecipando e tentando interpretar isso graficamente através da inclinação gráfico, não é? Bem, eu vou falar sobre isso no próximo vídeo, mas você realmente tem que ter um pouco de cuidado em relação a isso, porque chamamos isso de derivada direcional, mas observe, se você escalar o valor de "v" por 2, ou seja se você vier aqui e colocar o 2 multiplicando "v", e aí ver como isso influencia nas coisas, teremos o dobro da variação aqui. Mesmo se você estiver escalando pelo mesmo valor "h", o empurrãozinho inicial que você deu vai dobrar, e aí com isso, o empurrão resultante aqui também vai dobrar, mesmo que o denominador "h" não tenha mudado. Então, quando você está calculando a proporção, o que você está considerando é como o tamanho do seu empurrão inicial vai influenciar. Sabendo disso, alguns autores vão realmente mudar essa definição, eles vão acabar colocando o valor absoluto aqui do vetor original, apenas para ter certeza que quando você dimensionar por outra coisa, isso acabe não influenciando as coisas, e aí você se preocupa apenas com a direção. Mas eu realmente não gosto disso. Eu acho que tem alguma utilidade na definição como está aqui, e também, que existe uma boa interpretação a ser dada para este caso, em que se você dobrar o tamanho do seu vetor, isso vai dobrar o tamanho da sua derivada. Mas a gente vai ver isso melhor nos próximos vídeos. Enfim, essa aqui é a definição formal e eu espero que você tenha compreendido tudo o que a gente conversou aqui. Mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e falar que te encontro na próxima!