Derivada direcional e inclinação

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a interpretação gráfica da derivada direcional eu tenho aqui o gráfico de uma função multivariável f de x e y que é igual a x ao quadrado vezes Y não se esqueça que nos últimos vídeos eu falei sobre o que é a derivada direcional E como você pode definir lá formalmente incluindo a ideia de como você pode calcular essa derivada usando o gradiente geralmente a configuração que você pode ter é você ter algum tipo de Vetor no espaço de entrada que nesse caso vai estar no plano XY a que eu vou pegar o vetor um Normalmente quando a gente está falando da derivada direcional a gente vai utilizar aqui o nabo é como uma representação que algo típico da simbologia do Gradiente Só que nesse caso a gente vai acrescentar o verdura aqui embaixo de forma subscrita e essa ser a derivada direcional da função f essa é uma espécie de medida de como a função muda quando a entrada se move nessa direção eu vou te mostrar o que eu quero dizer cortando esse gráfico aqui com algum tipo de plano mais um plano que não é necessariamente paralela usei x ou y a gente faz isso bar a derivada parcial nós pegamos um plano que representa o valor constante de x ou o valor constante de y Mas agora vamos pegar um plano que vai meio que te dizer como que é o movimento na direção que o seu vetor está sabendo disso vamos cortar aqui esse gráfico com esse plano E aí para deixar as coisas mais claras eu vou colocar uma linha vermelha que essa linha vai ilustrar onde o gráfico cruza esse corte essa aventura aqui esse pequeno ver está vivendo no plano XY e está determinando a direção desse plano que usamos para cortar o gráfico no plano XY tem esse Vector aqui um que aponta para a direção diagonal aí as Olá tudo plano nessa direção e o cortamos um gráfico se a gente quiser interpretar a derivada direcional aqui a gente preenche e isso aqui com o valor real por exemplo podemos fazer isso em menos um Olha eu acho que esse ponto não está no plano então é importante que a gente se certifique que a gente escolher um ponto que está nesse plano Então vamos pegar aqui o ponto -1 -1 você pode até pegar outro ponto que está na mesma direção aí é só deslizar o plano para frente ou para trás Estamos fazendo isso podemos interpretar isso como uma inclinação Mas você tem que tomar muito cuidado se você vai interpretar isso como uma inclinação tem que ser o caso em que você está lidando com o vetor unitário em que a magnitude do seu vetor é igual a um quer dizer não precisa ser assim você pode fazer isso depois mas é mais fácil pensar assim já de início se a gente estiver apenas pensando aqui em um vetor unitário Quando eu for aqui ao invés de dizer que é um eu vou dizer que temos é unitário na mesma direção Mas cada componente tem um comprimento que nesse caso é igual à raiz quadrada de 2 sobre 2 a gente chega esse valor porque esse vetor unitário tem uma direção diagonal ou seja ele tem uma magnitude igual a um mas ele aponta nessa direção se a gente estiver avaliando isso no ponto -1 -1 podemos desenhar isso aqui no gráfico e ver onde isso realmente está se você olhar de cima você vê que aqui é -1 -1 se a gente quiser a inclinação nesse ponto a gente precisa pensar em uma reta tangente passando por aqui a linha tangente a essa curva nesse ponto está representado aqui em verde o que a gente quer fazer aqui a calcular a derivada direcional Porque é ela que vai nos dizer a inclinação dessa reta e a gente calcular essa derivada direcional utilizando uma notação muito comum que é apenas colocando o parcial F sobre o parcial ver claro você pode pensar nisso como um pequeno empurrão na direção ver a provocar um pequeno empurrão resultante na função ou seja o valor resultante que muda na função à medida que essa variação Inicial se aproxima de zero e o resultado da avaliação também se aproxima de zero a promoção entre o parcial f e o parcial ver vai dar a inclinação dessa reta tangente conceitualmente o seu uma anotação um pouco mais agradável mas o motivo de usarmos essa outra anotação o na bula com o ver subscrito é que ela indica melhor as coisas que você precisa calcular você pega o gradiente DF apenas a função de valor vetorial E aí faz o produto escalar com o vetor vamos fazer isso para ver como que você vai se parecer eu vou fazer isso aqui com uma cor diferente Ok o gradiente de F1 vetor cheio de derivadas parciais temos a derivada parcial de f em relação AX e depois estamos a derivada parcial de f em relação à Y avaliando isso temos que a derivada parcial de f em relação AX é a ao fazer isso X é considerado uma variável e y é considerado uma constante assim temos que a derivada de x ao quadrado = 2x E aí multiplicamos isso com y assim temos aqui 2xy agora ao calcular a derivada parcial da função em relação à Y temos que considerar o y a variável eo x uma constante ao fazer isso tem um x ao quadrado sendo mantido Por que é uma constante E aí multiplicamos isso com a derivada de y que é um Assim ficamos apenas com x ao quadrado avaliando isso aqui no ponto -1 -1 temos na primeira componente duas vezes menos um vezes menos um que nesse caso é igual a dois positivo já na segunda componente tem um x ao quadrado ou seja - 1 ao quadrado que é igual a um Então esse é o gradiente nesse ponto o que significa que se a gente quiser avaliar o gradiente DF vezes ver a gente o cara aqui o 21 porque avaliamos o gradiente no ponto que nos interessa E aí Fazemos o produto escalar com o próprio eu tô nesse caso que a raiz de 2 sobre 2 raiz de 2 sobre 2 A que realizamos uma multiplicação desses vetores assim temos a primeira componente vezes a primeira componente que a 2 vezes a raiz de 2 sobre 2 Isso é apenas = raiz de 2 mais um vezes a raiz quadrada de 2 sobre 2 que a própria raiz quadrada de 2 sobre 2 e essa é a resposta para a nossa inclinação mas é importante deixar claro que isso só funciona se o seu vetor é um vetor unitário só que eu te mostrei no último vídeo onde conversamos sobre a definição formal da derivada direcional que se vocês calaram que o via por dois ou seja multiplicar o via por um escalar dois ao invés de fazer tudo isso que a gente fez aqui com ver a gente vai fazer com dois ver então deixa eu colocar aqui o 2 vias se e pulando a derivada direcional ao longo de dois vdf a maneira que calculamos isso aqui é pegar o gradiente DF e fazer um produto escalar com duas vezes o vetor ou seja com dois ver claro como é um produto escalar a gente pode colocar o 2 na frente o disso tudo assim isso vai dobrar o valor de tudo quando a gente tem o dobro de ver a derivada terá o dobro do valor também só que você não vai necessariamente querer isso porque olhando esse plano ao invés de fazer na direção de ver o vetor unitário você vai fazer isso na direção de dois de ver qual é o mesmo plano que você está pegando você que era a mesma inclinação então isso aqui vai acabar bagunçando tudo que a gente já fez isso é super importante se você está pensando sobre essas coisas em um contexto de inclinação assim uma coisa que você poderia fazer aqui na sua fórmula para inclinação de um gráfico na direção de ver é pegar a derivada direcional aquele produto escalar a viver e apenas dividir isso pela magnitude de ver pelo valor absoluto de ver isso é basicamente uma maneira de ter certeza que você está tomando a derivada direcional na direção de um certo o vetor unitário algumas pessoas costumam definir a derivada direcional normalizando esse comprimento do vetor eu realmente não gosto disso mas as pessoas que fazem isso estão pensando no contexto da inclinação elas estão pensando em taxas de variação como sendo a inclinação de um gráfico e uma coisa que eu gostaria de enfatizar é que o gráfico apresenta uma boa intuição visual e é sempre bom observar como as coisas acontecem nele é sempre bom encontrar uma forma de pensar sobre as coisas visualmente mas com funções multivariáveis o gráfico não é a única maneira de uma forma mais geral é legal pensar na ideia do empurrãozinho na direção ver E é em um contexto onde via não tem o comprimento um o empurrão não representa um tamanho real Mas é uma certa às vezes esse vi a tua você pode ver o vídeo da definição formal para derivada direcional para observar mais detalhes sobre isso mas eu acho essa uma boa forma de compreender as derivadas direcionais enfim eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima