Derivada direcional e inclinação

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga, tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a interpretação gráfica da derivada direcional. Eu tenho aqui o gráfico de uma função multivariável f(x,y), que é igual a x² vezes "y". Não se esqueça que, nos últimos vídeos, falei sobre o que é a derivada direcional e como você pode defini-la formalmente, incluindo a ideia de como você pode calcular essa derivada usando o gradiente. Geralmente, a configuração que você pode ter é: você ter algum tipo de vetor no espaço de entrada, que neste caso vai estar no plano xy. Aqui eu vou pegar o vetor [1, 1]. Normalmente, quando a gente está falando da derivada direcional, a gente vai utilizar o nabla (∇) como uma representação, que é algo típico da simbologia do gradiente. Só que, neste caso, a gente vai acrescentar o vetor aqui embaixo, de forma subscrita. Esta será a derivada direcional da função "f". Esta é uma espécie de medida de como a função muda quando a entrada se move nessa direção. Eu vou te mostrar o que eu quero dizer cortando este gráfico aqui com algum tipo de plano, mas um plano que não é necessariamente paralelo aos eixos "x" ou "y". A gente faz isso para a derivada parcial. Nós pegamos um plano que representa o valor constante de "x" ou o valor constante de "y". Mas agora vamos pegar um plano que vai meio que te dizer como é o movimento na direção que o seu vetor está. Sabendo disso, vamos cortar este gráfico com esse plano. Para deixar as coisas mais claras, eu vou colocar uma linha vermelha aqui. Esta linha vai ilustrar onde o gráfico cruza esse corte. Este vetor aqui, este pequeno "v", está vivendo no plano xy. Está determinando a direção desse plano que usamos para cortar o gráfico. No plano xy tem este vetor aqui, [1, 1], que aponta para a direção diagonal. Aí a gente pela todo o plano nesta direção e cortamos o gráfico. Se a gente quiser interpretar a derivada direcional aqui, a gente preenche isto com um valor real. Por exemplo, podemos fazer isso em (-1, 1). Eu acho que esse ponto não está no plano. Então, é importante que a gente se certifique, que a gente escolha um ponto que esteja neste plano. Vamos pegar aqui o ponto (-1, -1). Você pode até pegar outro ponto que está na mesma direção, aí é só deslizar o plano para frente ou para trás. Se estamos fazendo isso, podemos interpretar isso como uma inclinação. Mas você tem que tomar muito cuidado. Se você vai interpretar isso como uma inclinação, tem que ser o caso em que você está lidando com um vetor unitário, em que a magnitude do seu vetor é igual a 1. Quer dizer, não precisa ser assim, você pode fazer isso depois. Mas é mais fácil pensar assim já de início. Se a gente estiver apenas pensando aqui em um vetor unitário, quando eu for aqui, ao invés de dizer que é [1, 1], um eu vou dizer que temos um vetor unitário na mesma direção. Mas cada componente tem um comprimento, que neste caso é igual à raiz quadrada de 2/2. A gente chega a esse valor porque este vetor unitário tem uma direção diagonal. ou seja, ele tem uma magnitude igual a 1, mas ele aponta nesta direção. Se a gente estiver avaliando isso no ponto (-1, -1), podemos desenhar isso aqui no gráfico e ver onde realmente está. Se olhar de cima, você vê que aqui é (-1, -1). Se a gente quiser a inclinação neste ponto, a gente precisa pensar em uma reta tangente passando por aqui. A linha tangente a esta curva, neste ponto, está representada aqui em verde. O que a gente quer fazer aqui é calcular a derivada direcional, porque é ela que vai nos dizer a inclinação desta reta. E a gente calcula essa derivada direcional utilizando uma notação muito comum, que é apenas colocando o parcial "f" sobre o parcial "v". Claro, você pode pensar nisto como um pequeno empurrão na direção "v" que vai provocar um pequeno empurrão resultante na função, ou seja, o valor resultante que muda na função. À medida que essa variação inicial se aproxima de zero e o resultado da variação também se aproxima de zero, a proporção entre ∂f e ∂v vai dar a inclinação desta reta tangente. Conceitualmente, essa é uma notação um pouco mais agradável, mas o motivo de usarmos esta outra notação (o ∇ com um "v" subscrito) é que ela indica melhor as coisas que você precisa calcular. Você pega o gradiente de "f", apenas a função de valor vetorial, e aí faz o produto escalar com o vetor. Vamos fazer isso para ver como vai se parecer. Eu vou fazer isso aqui com uma cor diferente. O gradiente de "f" é um vetor cheio de derivadas parciais. Temos a derivada parcial de "f" em relação a "x" e depois temos a derivada parcial de "f" em relação a "y". Avaliando isso, temos que a derivada parcial de "f" em relação a "x" é igual a: ao fazer isso, "x" é considerado uma variável e "y" é considerado uma constante. Assim, temos que a derivada de x² é igual a 2x. E aí multiplicamos isso com "y". Assim, temos aqui 2xy. Agora, ao calcular a derivada parcial da função em relação a "y", temos que considerar o "y" uma variável e o "x" uma constante. Ao fazer isso, temos x² sendo mantido (porque é uma constante) e aí multiplicamos isso com a derivada de "y", que é 1. Assim, ficamos apenas com x². Avaliando isso aqui no ponto (-1, -1), temos, na primeira componente, 2 vezes -1 vezes -1, que neste caso é igual a 2 positivo. Já na segunda componente, temos x², ou seja (-1)², que é igual a 1. Então, este é o gradiente neste ponto. O que significa que, se a gente quiser avaliar o gradiente de "f" vezes "v", a gente pode colocar aqui o (2, 1), porque avaliamos o gradiente no ponto que nos interessa. E aí fazemos o produto escalar com o próprio vetor, neste caso, que é [raiz de 2/2, raiz de 2/2]. Aqui realizamos uma multiplicação desses vetores. Assim, temos a primeira componente vezes a primeira componente, que é 2 vezes a raiz de 2/2. Isto é apenas igual à raiz de 2. Mais 1 vez a raiz quadrada de 2/2, que é a própria raiz quadrada de 2/2. Esta é a resposta para a nossa inclinação. Mas é importante deixar claro que isso só funciona se o seu vetor for um vetor unitário. Só que eu te mostrei no último vídeo, onde conversamos sobre a definição formal da derivada direcional, que, se você escalar o "v" por 2, ou seja, multiplicar o "v" por um escalar 2, ao invés de fazer tudo isso que a gente fez aqui com o "v", a gente vai fazer com o 2v. Então, deixe-me colocar aqui o 2v. Se você está calculando a derivada direcional ao longo de 2v de "f", a maneira que calculamos isto é pegar o gradiente de "f" e fazer um produto escalar com duas vezes o vetor, ou seja, com 2v. Claro, como é um produto escalar, a gente pode colocar o 2 na frente disso tudo. Assim, isso vai dobrar o valor de tudo. Quando a gente tem o dobro de "v", a derivada terá o dobro do valor também. Só que você não vai necessariamente querer isso, porque, olhando este plano, ao invés de fazer na direção de "v" (o vetor unitário), você fazer isso na direção de 2v. Olhe, é o plano que você está pegando, você quer a mesma inclinação. Então, isto vai acabar bagunçando tudo o que a gente já fez. Isso é super importante se você estiver pensando nessas coisas em um contexto de inclinação. Uma coisa que você poderia fazer aqui na sua fórmula para a inclinação de um gráfico na direção de "v" é pegar a derivada direcional (aquele produto escalar entre "f" e "v") e apenas dividir isso pela magnitude de "v", pelo valor absoluto de "v". Isso é basicamente uma maneira de ter certeza que você está tomando a derivada direcional na direção de um certo vetor unitário. Algumas pessoas costumam definir a derivada direcional normalizando esse comprimento do vetor. Eu realmente não gosto disso, mas as pessoas que fazem isso estão pensando no contexto da inclinação. Elas pensando em taxas de variação como sendo a inclinação de um gráfico. E uma coisa que eu gostaria de enfatizar é que o gráfico apresenta uma boa intuição visual. É sempre bom observar como as coisas acontecem nele. É sempre bom encontrar uma forma de pensar nas coisas visualmente, mas, com funções multivariáveis, o gráfico não é a única maneira. De uma forma mais geral, é legal pensar na ideia do "empurrãozinho" na direção "v". Em um contexto onde "v" não tem o comprimento 1, o empurrão não representa um tamanho real, mas é uma certa escala vezes esse vetor. Você pode ver o vídeo da definição formal para derivada direcional para observar mais detalhes sobre isso. Mas eu acho essa uma boa forma de compreender as derivadas direcionais. Enfim, espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui e, mais uma vez, quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!