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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 2: Gradiente e derivadas direcionais- Gradiente
- Cálculo de gradientes
- Gradientes e gráficos
- Gradiente visual
- Gradientes e mapas de contorno
- Derivadas direcionais
- Derivada direcional, definição formal
- Cálculo de derivadas direcionais
- Derivada direcional e inclinação
- Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.
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Gradiente
O gradiente captura todas as informações da derivada parcial de uma função multivariável escalar. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre o gradiente. Antes de começar, é importante
destacar que, neste vídeo, eu vou apenas descrever como
você calcula o gradiente. Apenas nos próximos vídeos é que eu vou fazer uma interpretação
geométrica sobre isso, ok? Na verdade, eu odeio fazer isso, eu odeio mostrar o cálculo
antes da intuição geométrica. Já que normalmente eu
deveria fazer o contrário. Mas o gradiente é uma
daquelas coisas estranhas em que a forma que você calcula isso
não parece ser relacionada com a intuição. Inclusive, você vai ver isto. A gente vai fazer essa conexão
nos próximos vídeos. Mas, para fazer isso, é importante a gente começar aqui
a observar esta parte do cálculo, depois observar a parte gráfica. E aí, depois relacionar as duas coisas. Então, vamos lá! Em relação ao cálculo, vamos dizer que você tem
algum tipo de função aqui. Eu vou fazer uma função
de duas variáveis, mas poderia ser demais. Sendo assim, vamos dizer que
f(x, y) = x² vezes sen(y). Mas o que é o gradiente
desta função? Bem, o gradiente é uma forma de compactar todas as informações das derivadas
parciais de uma função. Sabendo disso, vamos começar
calculando aqui as derivadas parciais deste cara. Começando pela derivada parcial
em relação a "x", temos que isso é igual a, quando calculamos isso, a gente precisa considerar
o "x" como uma variável e o "y" como uma constante. Neste caso, sen(y) também
vai ser uma constante. No que diz respeito a "x",
a derivada de x² = 2x. Então, a gente coloca o 2x aqui. E aí, multiplicamos isso com o sen(y). Já que o sen(y) é uma
constante neste caso. Agora, calculamos a derivada parcial
em relação a "y". Quando a gente faz isso, olhamos para a função considerando
o "x" sendo uma constante e "y" sendo uma variável. Sendo assim, temos que a derivada parcial
em relação a "y" vai ser igual a x² que,
neste caso, é uma constante, vezes a derivada do sen(y),
que é o cos(y). Agora, o que o gradiente faz é apenas colocar estas derivadas
parciais juntas em um vetor. Temos uma notação aqui que
é importante ficar atento ou atenta, a gente costuma colocar um símbolo que parece um triângulo
de cabeça para baixo. Este símbolo é chamado nabla, mas em muitos momentos você
vai apenas chamá-lo de del, pelo menos este é o jeito
que a gente costuma falar. Então, teremos aqui "del f"
ou gradiente de "f". E isto é igual a um vetor que tem aquelas
duas derivadas parciais dentro dele. Primeiro, a gente vai ter aqui
a derivada em relação a "x", que é 2 vezes "x", vezes sen(y). Aí, embaixo a gente vai ter
a derivada em relação a "y". Então, temos aqui o x²
vezes o cosseno de "y". Agora, uma coisa coisa
que eu preciso enfatizar aqui é que, na verdade, isto é
uma função com o valor vetorial, então, talvez seja legal colocar aqui
embaixo que esta função, que tem um "x" e um "y", é uma função que pega um ponto
no espaço bidimensional e gera um vetor bidimensional. Sendo assim, você pode imaginar
fazendo isso com 3 variáveis diferentes. Aí, neste caso, você teria 3 derivadas
parciais e uma saída tridimensional. Mas, enfim, daqui a pouco a gente
vai conversar um pouco melhor sobre isso. Mas antes disso é legal a gente ver aqui a forma mais formal de escrever isso
de uma maneira mais geral. A gente escreve isso
aqui dizendo o seguinte: o gradiente de qualquer função é igual a
um vetor com duas derivadas parciais. Ou seja, temos a derivada parcial
de "f" em relação a "x" e a derivada parcial
de "f" em relação a "y". De certa forma, a gente chama
isto aqui de derivadas parciais, mas eu gosto de pensar no gradiente
como a derivada completa, porque ela meio que contém todas as informações
de tudo o que você precisa. Portanto, uma forma
de visualizar um gradiente é pensar neste triângulo invertido, neste símbolo chamado nabla
como sendo um vetor cheio de operadores de derivadas parciais. Ou seja, você aplica este
cara a esta função, e como resultado,
ele entrega esta expressão, essa função multivariável. Então, o símbolo nabla é este vetor
cheio de diferentes operadores de derivadas parciais. Claro, neste caso, temos apenas
duas derivadas parciais. Daqui a pouco eu vou colocar
uma terceira componente aqui. Mas, antes disso, é legal deixar claro aqui que isso
é como se fosse um vetor, mas, na verdade, é um operador
aplicado sobre uma função. Então, você pode visualizar isso como
sendo uma espécie de triângulo que você multiplica esta função. Ao fazer isso, você aplica
este operador sobre a função. E aí, como o resultado,
você tem uma outra função. É bom deixar claro aqui,
meu amigo ou minha amiga, que você não está multiplicando
a função com isso. Mas que ao fazer isso, você apenas está dizendo que
vai calcular a derivada parcial da função em relação a "x", depois, vai calcular a derivada parcial
da função em relação a "y" e assim por diante. É importante deixar isso claro, porque este símbolo
aparece em muitos contextos. Por exemplo, você vai ver este símbolo
em dois contextos aqui em nossas aulas. O primeiro em relação a divergência e o segundo em relação aos rotacionais. A gente vai ver isso no seu devido tempo, mas para isso é útil pensar sobre
essa ideia vetorial de derivadas parciais. E, claro, como eu falei antes, tem algo aqui que é importante falar. Se o símbolo nabla é um vetor
de operadores de derivadas parciais, qual é a sua dimensão? Quantas dimensões ele tem? Bem, se você tivesse
uma função tridimensional, você deveria tratar isso como se tivesse três diferentes operadores
como parte dele. Eu vou parar por aqui, mas se você tivesse algo
com 100 dimensões, você teria 100 diferentes
operadores nele e estaria tudo tranquilo. Você só precisa sempre saber quantas dimensões tem
a função que você vai operar. Sabendo isso, você aplica este operador. E aí, calcula o gradiente. Em que você faz isso, basicamente,
calculando as derivadas parciais. E aí, colocando isto em um vetor. O legal é que esta é a parte
divertida e interessante da interpretação geométrica do gradiente. Inclusive, vamos fazer isso
nos próximos vídeos. O gradiente também é uma
ferramenta muito importante para algo que vamos fazer chamado
de derivada direcional. Então, ainda tem muita
diversão aí pela frente. Eu espero que você tenha compreendido
tudo o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!