Gradiente

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre o gradiente antes de começar é importante destacar que nesse vídeo eu vou apenas descrever como você calcula o gradiente apenas nos próximos vídeos é que eu vou fazer uma interpretação geométrica sobre isso ok Na verdade eu odeio fazer isso eu odeio mostrar o cálculo antes da intuição geométrica já que normalmente eu deveria fazer o contrário mas o gradiente é uma daquelas coisas estranhas em que a forma que você calcula isso não parece ser relacionada com a intuição e inclusive você vai ver isso a gente vai fazer essa conexão nos próximos vídeos mas para fazer isso é importante a gente começar aqui é observar essa parte do cálculo depois observar a parte gráfica e aí depois relacionar as duas coisas então vamos lá hein e o cálculo vamos dizer que você tem algum tipo de função aqui eu vou fazer uma função de duas variáveis mas poderia ser demais sendo assim vamos dizer que f de x y = x ao quadrado vezes você no de y mas o que é o gradiente dessa função bem o gradiente é uma forma de compactar todas as informações das derivadas parciais de uma função sabendo disso vamos começar calculando aqui as derivadas parciais desse cara começando pela derivada parcial em relação a x temos que isso é igual a quando calculamos isso a gente precisa considerar o x como uma variável e o Y como uma constante nesse caso sendo de Y também vai ser uma constante no que diz respeito a x a derivada de x ao quadrado = 2x então a gente coloca o 2x aqui e aí multiplicamos isso como sendo de y já que o seno de y é uma constante nesse caso e agora calculamos a derivada parcial em relação à Y quando a gente faz isso olhemos para a função Considerando o x sendo uma constante e y sendo uma variável sendo assim temos que a derivada parcial em relação à Y vai ser igual a x ao quadrado e nesse caso é uma constante vezes a derivada do seno de y que é o cosseno de y agora o que o gradiente faz é apenas colocar essas derivadas parciais juntas em um vetor a temos uma notação aqui que é importante ficar atento ou atenta a gente costuma colocar um símbolo que parece um triângulo de cabeça para baixo esse símbolo é chamado na blá mas em outros momentos que você vai apenas chamá-lo de Dell pelo menos esse é o jeito que a gente costuma falar então teremos aqui de UEFI ou Gradiente DF e isso é igual a um vetor que tem aquelas duas derivadas parciais dentro dele primeiro a gente vai ter aqui a derivada em relação O que é duas vezes x oceano de y aí embaixo a gente vai ter a derivada em relação à Y Então temos aqui o x ao quadrado vezes o cosseno de y agora uma coisa que eu preciso enfatizar aqui É que na verdade eu sou uma função com o valor vetorial então talvez seja legal colocar aqui embaixo que essa função que tem um X é um Y é uma função que pega um ponto no espaço bidimensional e gera um vetor bidimensional Sendo assim você pode imaginar fazendo isso com 3 variáveis diferentes aí nesse caso você teria três derivadas parciais e uma saída tridimensional mas enfim daqui a pouco a gente vai conversar um pouco melhor sobre isso tá mas antes disso é legal a gente ver aqui é a forma mais formal de escrever isso de uma maneira mais geral a gente escreve isso aqui dizendo o seguinte o gradiente de qualquer função é igual a um vetor com duas derivadas parciais ou seja temos aderir a parcial de f em relação AX e a derivada parcial de f em relação à Y De certa forma a gente chama isso aqui de derivadas parciais mas eu gosto de pensar no Gradiente como a derivada completa o que ela meio que o contém todas as informações de tudo o que você precisa portanto uma forma de visualizar um Gradiente é pensar nesse Triângulo invertido nesse símbolo chamado na bula como sendo um vetor cheio de operadores de derivadas parciais Ou seja você aplica Esse cara é essa função e qual o resultado ele entrega essa expressão essa função multivariável é então o símbolo na bula é esse vetor cheio de diferentes operadores de derivadas parciais Claro nesse caso temos apenas duas derivadas parciais daqui a pouco eu vou colocar uma terceira componente aqui mas antes disso é legal deixar claro aqui que isso é como se fosse um vetor mas na verdade é uma operadora aplicado sobre uma função bom então você pode visualizar isso como sendo uma espécie de triângulo que você multiplica essa função ao fazer isso você aplica esse operador sobre a função e aí como o resultado Você tem uma outra função é bom deixar claro aqui meu amigo minha amiga e você não está multiplicando a função com isso mas que ao fazer isso você apenas está dizendo que vai calcular a derivada parcial da função em relação a x depois vai calcular a derivada parcial da função em relação a y e assim por diante é importante deixar isso claro o que esse símbolo aparece em muitos contextos por exemplo você vai ver esse símbolo em dois contextos aqui em nossas aulas o primeiro em relação a divergência e o segundo em relação aos rotacionais a gente vai ver isso no seu de viu do tempo mas para isso é a última pensar sobre essa ideia vetorial de derivadas parciais e claro como eu falei antes tem algo aqui que é importante falar o símbolo nabo é um vetor de operadores de derivadas parciais Qual é a sua dimensão quantas dimensões ele tem bem se você tivesse uma função tridimensional você deveria tratar isso como se tivesse três diferentes operadores como parte dele eu vou parar por aqui mas se você tivesse algo com os em dimensões você teria sem diferentes operadores nele estaria tudo tranquilo você só precisa sempre saber quantas dimensões tem a função que você vai operar sabendo isso você aplica esse operador e aí cálculo Gradiente em que você faz isso basicamente calculando as derivadas parciais E aí colocando isso em um vetor O legal é que essa é a parte divertida e interessante da interpretação geométrica do Gradiente inclusive vamos fazer isso nos próximos vídeos o gradiente também é uma ferramenta muito importante para algo que vamos fazer chamado de derivada direcional então ainda tem muita diversão aí Oi gente eu espero que você tenha compreendido tudo que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima