Gradiente

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o gradiente. Antes de começar, é importante destacar que, neste vídeo, eu vou apenas descrever como você calcula o gradiente. Apenas nos próximos vídeos é que eu vou fazer uma interpretação geométrica sobre isso, ok? Na verdade, eu odeio fazer isso, eu odeio mostrar o cálculo antes da intuição geométrica. Já que normalmente eu deveria fazer o contrário. Mas o gradiente é uma daquelas coisas estranhas em que a forma que você calcula isso não parece ser relacionada com a intuição. Inclusive, você vai ver isto. A gente vai fazer essa conexão nos próximos vídeos. Mas, para fazer isso, é importante a gente começar aqui a observar esta parte do cálculo, depois observar a parte gráfica. E aí, depois relacionar as duas coisas. Então, vamos lá! Em relação ao cálculo, vamos dizer que você tem algum tipo de função aqui. Eu vou fazer uma função de duas variáveis, mas poderia ser demais. Sendo assim, vamos dizer que f(x, y) = x² vezes sen(y). Mas o que é o gradiente desta função? Bem, o gradiente é uma forma de compactar todas as informações das derivadas parciais de uma função. Sabendo disso, vamos começar calculando aqui as derivadas parciais deste cara. Começando pela derivada parcial em relação a "x", temos que isso é igual a, quando calculamos isso, a gente precisa considerar o "x" como uma variável e o "y" como uma constante. Neste caso, sen(y) também vai ser uma constante. No que diz respeito a "x", a derivada de x² = 2x. Então, a gente coloca o 2x aqui. E aí, multiplicamos isso com o sen(y). Já que o sen(y) é uma constante neste caso. Agora, calculamos a derivada parcial em relação a "y". Quando a gente faz isso, olhamos para a função considerando o "x" sendo uma constante e "y" sendo uma variável. Sendo assim, temos que a derivada parcial em relação a "y" vai ser igual a x² que, neste caso, é uma constante, vezes a derivada do sen(y), que é o cos(y). Agora, o que o gradiente faz é apenas colocar estas derivadas parciais juntas em um vetor. Temos uma notação aqui que é importante ficar atento ou atenta, a gente costuma colocar um símbolo que parece um triângulo de cabeça para baixo. Este símbolo é chamado nabla, mas em muitos momentos você vai apenas chamá-lo de del, pelo menos este é o jeito que a gente costuma falar. Então, teremos aqui "del f" ou gradiente de "f". E isto é igual a um vetor que tem aquelas duas derivadas parciais dentro dele. Primeiro, a gente vai ter aqui a derivada em relação a "x", que é 2 vezes "x", vezes sen(y). Aí, embaixo a gente vai ter a derivada em relação a "y". Então, temos aqui o x² vezes o cosseno de "y". Agora, uma coisa coisa que eu preciso enfatizar aqui é que, na verdade, isto é uma função com o valor vetorial, então, talvez seja legal colocar aqui embaixo que esta função, que tem um "x" e um "y", é uma função que pega um ponto no espaço bidimensional e gera um vetor bidimensional. Sendo assim, você pode imaginar fazendo isso com 3 variáveis diferentes. Aí, neste caso, você teria 3 derivadas parciais e uma saída tridimensional. Mas, enfim, daqui a pouco a gente vai conversar um pouco melhor sobre isso. Mas antes disso é legal a gente ver aqui a forma mais formal de escrever isso de uma maneira mais geral. A gente escreve isso aqui dizendo o seguinte: o gradiente de qualquer função é igual a um vetor com duas derivadas parciais. Ou seja, temos a derivada parcial de "f" em relação a "x" e a derivada parcial de "f" em relação a "y". De certa forma, a gente chama isto aqui de derivadas parciais, mas eu gosto de pensar no gradiente como a derivada completa, porque ela meio que contém todas as informações de tudo o que você precisa. Portanto, uma forma de visualizar um gradiente é pensar neste triângulo invertido, neste símbolo chamado nabla como sendo um vetor cheio de operadores de derivadas parciais. Ou seja, você aplica este cara a esta função, e como resultado, ele entrega esta expressão, essa função multivariável. Então, o símbolo nabla é este vetor cheio de diferentes operadores de derivadas parciais. Claro, neste caso, temos apenas duas derivadas parciais. Daqui a pouco eu vou colocar uma terceira componente aqui. Mas, antes disso, é legal deixar claro aqui que isso é como se fosse um vetor, mas, na verdade, é um operador aplicado sobre uma função. Então, você pode visualizar isso como sendo uma espécie de triângulo que você multiplica esta função. Ao fazer isso, você aplica este operador sobre a função. E aí, como o resultado, você tem uma outra função. É bom deixar claro aqui, meu amigo ou minha amiga, que você não está multiplicando a função com isso. Mas que ao fazer isso, você apenas está dizendo que vai calcular a derivada parcial da função em relação a "x", depois, vai calcular a derivada parcial da função em relação a "y" e assim por diante. É importante deixar isso claro, porque este símbolo aparece em muitos contextos. Por exemplo, você vai ver este símbolo em dois contextos aqui em nossas aulas. O primeiro em relação a divergência e o segundo em relação aos rotacionais. A gente vai ver isso no seu devido tempo, mas para isso é útil pensar sobre essa ideia vetorial de derivadas parciais. E, claro, como eu falei antes, tem algo aqui que é importante falar. Se o símbolo nabla é um vetor de operadores de derivadas parciais, qual é a sua dimensão? Quantas dimensões ele tem? Bem, se você tivesse uma função tridimensional, você deveria tratar isso como se tivesse três diferentes operadores como parte dele. Eu vou parar por aqui, mas se você tivesse algo com 100 dimensões, você teria 100 diferentes operadores nele e estaria tudo tranquilo. Você só precisa sempre saber quantas dimensões tem a função que você vai operar. Sabendo isso, você aplica este operador. E aí, calcula o gradiente. Em que você faz isso, basicamente, calculando as derivadas parciais. E aí, colocando isto em um vetor. O legal é que esta é a parte divertida e interessante da interpretação geométrica do gradiente. Inclusive, vamos fazer isso nos próximos vídeos. O gradiente também é uma ferramenta muito importante para algo que vamos fazer chamado de derivada direcional. Então, ainda tem muita diversão aí pela frente. Eu espero que você tenha compreendido tudo o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!