Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 2: Gradiente e derivadas direcionais- Gradiente
- Cálculo de gradientes
- Gradientes e gráficos
- Gradiente visual
- Gradientes e mapas de contorno
- Derivadas direcionais
- Derivada direcional, definição formal
- Cálculo de derivadas direcionais
- Derivada direcional e inclinação
- Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.
© 2023 Khan AcademyTermos de usoPolítica de privacidadeAviso de cookies
Gradientes e mapas de contorno
Os vetores de gradientes sempre apontam perpendicularmente às linhas de contorno. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o gradiente e o contexto
de um mapa de contorno. Para começar, vamos considerar
que temos uma função multivariável, uma função de duas variáveis F(x,y) e que isso vai ser igual a "xy". Vamos visualizar isso com o mapa
de contorno no plano "xy"? Para isso, eu vou colocar aqui
o eixo "x" e o eixo "y". Isso aqui representa
os valores de "x" e isso aqui representa os valores de "y". Este aqui é o meu espaço de entrada. Eu já fiz um vídeo sobre mapas
de contorno, e se você não está familiarizado com eles, eu aconselho que você
assista a esse vídeo antes de prosseguir com esta aula. O mapa de contorno para "xy"
se parece com isto aqui, e cada uma dessas linhas
representa um valor constante. Vamos supor então que você queira
o valor constante de F(x,y) que seja igual a 2. Bem, isso seria uma dessas linhas. E uma maneira de pensar sobre isso
para essa função específica é dizendo o seguinte: "ei, quando o xy = 2?" Bem, isso é quando a gente tem
"y = 2/x". Ah, e aí a gente vai ter
isso aqui neste gráfico. Então, todas essas linhas estão representando valores
constantes para a função. Agora eu quero olhar para
o campo de gradiente. O gradiente, se você se lembra, é apenas um vetor cheio
de derivadas parciais de "F". É legal escrever isso aqui, não é? O gradiente de "F", com o nosso pequeno símbolo ∇ é uma função de (x, y), e é uma função com valor vetorial
cuja primeira coordenada é a derivada parcial de "F"
em relação a "x". E a segunda componente é a
derivada parcial em relação a "y". Beleza, vamos fazer isso aqui. Quando a gente calcula
a derivada parcial em relação a "x", a gente precisa considerar o "x"
hoje sendo uma variável e o "y" a função de uma constante. Assim, a derivada de tudo isso
é igual a esta constante "y". Agora vamos fazer o contrário disso. Quando a gente calcula a
derivada parcial em relação a "y", a gente considera o "y"
sendo uma variável e "x" sendo uma constante. Assim, a derivada desta
função em relação a "y" é igual à constante "x". É importante deixar claro aqui
que eu estou falando constante "x", mas isso é quando a gente
calcula a derivada parcial, tá? É claro que quando a gente pegar
esta função como um todo, o "x" é uma das variáveis, é uma das entradas. Beleza, continuando aqui. Isso pode ser visualizado como
um campo vetorial no plano "xy" também. Sabe, em qualquer ponto dado "xy",
por exemplo, o ponto (2, 1). Temos aqui, "x = 2'' e "y = 1". Aí nesse ponto, a gente conecta um vetor e observa o que vai ser produzido daí. Nesse ponto, o ponto é (2, 1). A saída acaba trocando os dois, então, e a gente procura aqui
de alguma forma desenhar o vetor (1, 2). Ou seja, você espera ver aqui
o vetor que tem uma componente "x = 1" e uma componente "y = 2", algo mais ou menos assim. Mas, provavelmente, isso vai ser
reduzido por causa da maneira como nós geralmente desenhamos
campos de vetores, ok? Eu estou colocando agora para você
todo o campo de vetores, que se parece com isso aqui. Eu vou apagar o que a gente
estava fazendo aqui para deixar isso mais limpo, já que fica mais claro
observar as coisas assim. Lembre-se, nós diminuímos
todos os vetores e a cor representa o comprimento, então, o vermelho aqui é super longo e o azul vai ser muito curto. Uma coisa que vale a pena notar, é que se você der uma olhada ao redor de todos os pontos fornecidos, o vetor que está cruzando uma linha de contorno é perpendicular
a essa linha de contorno. Onde quer que você vá,
é isso que você observa. Observe aqui este vetor. Ele é perpendicular
a essa linha de contorno. Aqui, ele é perpendicular
a essa linha de contorno, e isso acontece em todos os lugares. É bom deixar claro que isso acontece
por um bom motivo e também é muito útil. Mas vamos pensar um
pouquinho na razão disso? Para isso, vamos ampliar
um ponto aqui. Eu vou apagar tudo aqui do lado para a gente ter um pouquinho
mais de espaço para trabalhar. Então, a gente pega este ponto aqui e vamos ampliar para tentar
visualizar o que está acontecendo. Temos aqui algum tipo
de linha de contorno. Não se esqueça que isso
representa algum valor. Vamos dizer, então, que representa
o valor "F = 2". Claro, isso não é uma linha reta perfeita, mas quanto mais você aumentar o zoom, mais isso vai se parecer
com uma linha reta. Aí, quando você quiser interpretar
o vetor gradiente, se você se lembra no vídeo sobre como interpretar o gradiente
no contexto de um gráfico, eu disse que o vetor gradiente aponta na direção da subida mais íngreme. Então, se você imaginar
todos os vetores possíveis, meio que apontando
para fora desse ponto, a pergunta a ser feita será: qual direção você deve se mover
para aumentar o valor de "f" o mais rápido possível? Há duas maneiras de pensar sobre isso. Uma, é olhando para todas essas
direções diferentes e dizer qual "x" aumenta mais. A outra maneira de fazer isso
se livrar de tudo isso e apenas olhar em uma
outra linha de contorno, já que isso representa
um ligeiro aumento. Sendo assim, vamos dizer que
você está dando uma olhadinha em uma outra linha de contorno aqui. Algo assim. Talvez isso represente algo que está
bem próximo a essa outra linha, algo como 2,1. Ou seja, isso representa
outro valor que está muito próximo. Ah, se eu fosse um artista melhor, eu seria mais representativo, tá? Isso aqui iria aparecer realmente
uma linha que é paralela a original. Mas como eu não desenho muito bem, considere isso pelo menos, porque se você mudar
a saída um pouco, o conjunto de pontos que
se parecem com isso aqui é praticamente o mesmo, mas apenas mudou um pouquinho. Enfim, outra maneira de pensar
sobre o gradiente aqui, é observar todos os vetores
que saem aqui do 2 e vai até o 2,1. Ao fazer isso e observar
todos esses diferentes vetores, você sabe me dizer
qual é o mais rápido? Bem, dessa vez, em vez de pensar
no mais rápido como vetores de comprimento constante, como se fosse uma
constante de crescimento, vamos observar o que faz isso
tendo uma distância mais curta. Qual desses apresenta
essa configuração? Se você pensar nessas linhas como sendo retas
aproximadamente paralelas, não deve ser difícil se convencer
que a distância mais curta não vai ser qualquer um desses vetores, vai ser aquele que os conecta de forma praticamente perpendicular
com a linha original, porque se você pensar nisso como retas, quanto mais você ampliar, mais essas retas vão ficar
paralelas aparentemente. Assim, o caminho que conecta
uma linha à outra vai ser perpendicular a ambas. Então, por causa disso, a interpretação do gradiente, como a direção da subida
mais íngreme, é uma consequência natural do fato de todas as vezes que
estiver em uma linha de contorno, onde quer que você esteja olhando, vamos ter um vetor realmente
perpendicular a essa linha. Inclusive, você pode
pensar sobre isso como se fosse uma forma
de chegar à próxima linha de contorno o mais rápido possível, ou seja, aumentando a função
o mais rápido possível. E essa é realmente uma
interpretação muito útil do gradiente em diferentes contextos. Então, é algo bom para manter
em sua mente. Gradiente é sempre perpendicular
às linhas de contorno. Eu espero que você tenha compreendido tudo isso aqui que eu conversei
com você meu amigo ou minha amiga, e, mais uma vez, eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!