Gradientes e mapas de contorno

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o gradiente e o contexto de um mapa de contorno. Para começar, vamos considerar que temos uma função multivariável, uma função de duas variáveis F(x,y) e que isso vai ser igual a "xy". Vamos visualizar isso com o mapa de contorno no plano "xy"? Para isso, eu vou colocar aqui o eixo "x" e o eixo "y". Isso aqui representa os valores de "x" e isso aqui representa os valores de "y". Este aqui é o meu espaço de entrada. Eu já fiz um vídeo sobre mapas de contorno, e se você não está familiarizado com eles, eu aconselho que você assista a esse vídeo antes de prosseguir com esta aula. O mapa de contorno para "xy" se parece com isto aqui, e cada uma dessas linhas representa um valor constante. Vamos supor então que você queira o valor constante de F(x,y) que seja igual a 2. Bem, isso seria uma dessas linhas. E uma maneira de pensar sobre isso para essa função específica é dizendo o seguinte: "ei, quando o xy = 2?" Bem, isso é quando a gente tem "y = 2/x". Ah, e aí a gente vai ter isso aqui neste gráfico. Então, todas essas linhas estão representando valores constantes para a função. Agora eu quero olhar para o campo de gradiente. O gradiente, se você se lembra, é apenas um vetor cheio de derivadas parciais de "F". É legal escrever isso aqui, não é? O gradiente de "F", com o nosso pequeno símbolo ∇ é uma função de (x, y), e é uma função com valor vetorial cuja primeira coordenada é a derivada parcial de "F" em relação a "x". E a segunda componente é a derivada parcial em relação a "y". Beleza, vamos fazer isso aqui. Quando a gente calcula a derivada parcial em relação a "x", a gente precisa considerar o "x" hoje sendo uma variável e o "y" a função de uma constante. Assim, a derivada de tudo isso é igual a esta constante "y". Agora vamos fazer o contrário disso. Quando a gente calcula a derivada parcial em relação a "y", a gente considera o "y" sendo uma variável e "x" sendo uma constante. Assim, a derivada desta função em relação a "y" é igual à constante "x". É importante deixar claro aqui que eu estou falando constante "x", mas isso é quando a gente calcula a derivada parcial, tá? É claro que quando a gente pegar esta função como um todo, o "x" é uma das variáveis, é uma das entradas. Beleza, continuando aqui. Isso pode ser visualizado como um campo vetorial no plano "xy" também. Sabe, em qualquer ponto dado "xy", por exemplo, o ponto (2, 1). Temos aqui, "x = 2'' e "y = 1". Aí nesse ponto, a gente conecta um vetor e observa o que vai ser produzido daí. Nesse ponto, o ponto é (2, 1). A saída acaba trocando os dois, então, e a gente procura aqui de alguma forma desenhar o vetor (1, 2). Ou seja, você espera ver aqui o vetor que tem uma componente "x = 1" e uma componente "y = 2", algo mais ou menos assim. Mas, provavelmente, isso vai ser reduzido por causa da maneira como nós geralmente desenhamos campos de vetores, ok? Eu estou colocando agora para você todo o campo de vetores, que se parece com isso aqui. Eu vou apagar o que a gente estava fazendo aqui para deixar isso mais limpo, já que fica mais claro observar as coisas assim. Lembre-se, nós diminuímos todos os vetores e a cor representa o comprimento, então, o vermelho aqui é super longo e o azul vai ser muito curto. Uma coisa que vale a pena notar, é que se você der uma olhada ao redor de todos os pontos fornecidos, o vetor que está cruzando uma linha de contorno é perpendicular a essa linha de contorno. Onde quer que você vá, é isso que você observa. Observe aqui este vetor. Ele é perpendicular a essa linha de contorno. Aqui, ele é perpendicular a essa linha de contorno, e isso acontece em todos os lugares. É bom deixar claro que isso acontece por um bom motivo e também é muito útil. Mas vamos pensar um pouquinho na razão disso? Para isso, vamos ampliar um ponto aqui. Eu vou apagar tudo aqui do lado para a gente ter um pouquinho mais de espaço para trabalhar. Então, a gente pega este ponto aqui e vamos ampliar para tentar visualizar o que está acontecendo. Temos aqui algum tipo de linha de contorno. Não se esqueça que isso representa algum valor. Vamos dizer, então, que representa o valor "F = 2". Claro, isso não é uma linha reta perfeita, mas quanto mais você aumentar o zoom, mais isso vai se parecer com uma linha reta. Aí, quando você quiser interpretar o vetor gradiente, se você se lembra no vídeo sobre como interpretar o gradiente no contexto de um gráfico, eu disse que o vetor gradiente aponta na direção da subida mais íngreme. Então, se você imaginar todos os vetores possíveis, meio que apontando para fora desse ponto, a pergunta a ser feita será: qual direção você deve se mover para aumentar o valor de "f" o mais rápido possível? Há duas maneiras de pensar sobre isso. Uma, é olhando para todas essas direções diferentes e dizer qual "x" aumenta mais. A outra maneira de fazer isso se livrar de tudo isso e apenas olhar em uma outra linha de contorno, já que isso representa um ligeiro aumento. Sendo assim, vamos dizer que você está dando uma olhadinha em uma outra linha de contorno aqui. Algo assim. Talvez isso represente algo que está bem próximo a essa outra linha, algo como 2,1. Ou seja, isso representa outro valor que está muito próximo. Ah, se eu fosse um artista melhor, eu seria mais representativo, tá? Isso aqui iria aparecer realmente uma linha que é paralela a original. Mas como eu não desenho muito bem, considere isso pelo menos, porque se você mudar a saída um pouco, o conjunto de pontos que se parecem com isso aqui é praticamente o mesmo, mas apenas mudou um pouquinho. Enfim, outra maneira de pensar sobre o gradiente aqui, é observar todos os vetores que saem aqui do 2 e vai até o 2,1. Ao fazer isso e observar todos esses diferentes vetores, você sabe me dizer qual é o mais rápido? Bem, dessa vez, em vez de pensar no mais rápido como vetores de comprimento constante, como se fosse uma constante de crescimento, vamos observar o que faz isso tendo uma distância mais curta. Qual desses apresenta essa configuração? Se você pensar nessas linhas como sendo retas aproximadamente paralelas, não deve ser difícil se convencer que a distância mais curta não vai ser qualquer um desses vetores, vai ser aquele que os conecta de forma praticamente perpendicular com a linha original, porque se você pensar nisso como retas, quanto mais você ampliar, mais essas retas vão ficar paralelas aparentemente. Assim, o caminho que conecta uma linha à outra vai ser perpendicular a ambas. Então, por causa disso, a interpretação do gradiente, como a direção da subida mais íngreme, é uma consequência natural do fato de todas as vezes que estiver em uma linha de contorno, onde quer que você esteja olhando, vamos ter um vetor realmente perpendicular a essa linha. Inclusive, você pode pensar sobre isso como se fosse uma forma de chegar à próxima linha de contorno o mais rápido possível, ou seja, aumentando a função o mais rápido possível. E essa é realmente uma interpretação muito útil do gradiente em diferentes contextos. Então, é algo bom para manter em sua mente. Gradiente é sempre perpendicular às linhas de contorno. Eu espero que você tenha compreendido tudo isso aqui que eu conversei com você meu amigo ou minha amiga, e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!