Gradientes e mapas de contorno

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre o gradiente e o contexto de um mapa de contorno para começar Vamos considerar que temos uma função multivariável uma função de duas variáveis f de x e y e que isso vai ser igual a x e y vamos visualizar isso com o mapa de contorno no plano XY para isso eu vou colocar aqui o eixo X e eixo Y isso aqui representa os valores de x e isso aqui representa os valores de y esse aqui é o meu espaço de entrada eu já fiz um vídeo sobre mapas de contorno e se você não está familiarizado com eles eu aconselho que você Assista esse vídeo antes de prosseguir com essa aula o mapa de contorno para XY se parece com isso aqui e cada uma dessas linhas representam um valor constante vamos supor Então o quê o valor constante de f de x e y que seja igual a dois bem isso seria uma dessas linhas e uma maneira de pensar sobre isso para essa função específica dizendo o seguinte Ei quando o x y = 2 bem isso é quando a gente tem Y = 2 sobre x aí a gente vai ter isso aqui nesse gráfico então todas essas linhas estão representando valores constantes para a função Agora eu quero olhar para o campo de Gradiente e o gradiente se você se lembra é apenas um vetor cheio de derivadas parciais DF é legal escrever isso aqui não é o gradiente DF com o nosso pequeno símbolo del é uma função de x e y e é uma função com valor vetorial cuja primeira coordenada é a derivada parcial de f em relação AX e a segunda componente a derivada parcial em relação à Y beleza vamos fazer isso aqui quando a gente calcula a derivada parcial em relação a x a gente precisa considerar hoje sendo uma variável a função de uma constante assim a derivada de tudo isso é igual a essa constante Y agora vamos fazer o contrário disso quando a gente calcula a derivada parcial em relação a y a gente considera o y sendo uma variável e XVII sendo uma constante assim a derivada dessa função em relação a y = constante X é importante deixar claro aqui que eu estou falando constante x Mas isso é quando a gente calcula a derivada parcial tá é claro que quando a gente pegar essa função como um todo o X é uma das variáveis é uma das entradas beleza continuando aqui isso pode ser visualizado como um campo vetorial no plano XY também sabe em qualquer ponto dado XY por exemplo o ponto x = 2Y = 1 temos aqui x = 2 e igual a um aí nesse ponto a gente conecta um vetor E observa o que vai ser produzido daí nesse ponto. É 21 a saída acaba trocando os dois e a gente procura aqui de alguma forma desenhar o vetor 12 ou seja você espera ver aqui o vetor que tem uma componente x igual a 1 e uma componente Y = 2 algo mais ou menos assim Mas provavelmente só vai ser reduzido por causa da maneira como nós geralmente desenhamos Campos de vetores Ok eu tô colocando aqui agora para você todo o campo de vetores que se parece com isso aqui eu vou apagar o que a gente tava fazendo aqui para deixar isso mais limpo já que fica mais claro observar as coisas assim lembre-se nós diminuímos todos os vetores e a cor representa o comprimento então vermelho aqui é super longo e o azul vai ser muito curto e uma coisa que vale a pena anotar é que se você der uma olhada ao redor de todos os pontos fornecidos o vetor que está cruzando uma linha de contorno é perpendicular à essa linha de contorno onde quer que você vá é isso que você observa Observe aqui esse vetor ele é perpendicular à essa linha de contorno e ele é perpendicular à essa linha de contorno isso acontece em todos os lugares É bom deixar claro que isso acontece por um bom motivo e também é muito útil isso mas vamos pensar um pouquinho na razão disso para isso vamos ampliar um ponto aqui eu vou apagar tudo aqui do lado para a gente ter um pouquinho mais de espaço para trabalhar tá bom então a gente pega esse ponto aqui e vamos ampliar para tentar visualizar aquilo que está acontecendo temos aqui algum tipo de linha de contorno não se esqueça que eu sou representa algum valor vamos dizer então que representa o valor F = 2 claro isso não é uma linha reta perfeita mas quanto mais você aumentar o zoom mas isso vai se parecer com uma linha reta aí quando você quiser interpretar o vetor Gradiente se você se lembra no vídeo sobre como interpretar o gradiente no contexto de um gráfico eu disse que o vetor Gradiente aponta na direção da subida mais íngreme então se você imaginar todos os vetores possíveis meio que apontando para as a esse ponto a pergunta a ser feita será qual direção você deve se mover para aumentar o valor de f o mais rápido possível a duas maneiras de pensar sobre isso uma é olhando para todas as direções diferentes e dizer qual x aumenta mais a outra maneira de fazer isso se livrar de tudo isso e apenas o olhar em uma outra linha de contorno já que isso representa um ligeiro aumento sendo assim vamos dizer que você está dando uma olhadinha em uma outra linha de contorno aqui algo assim talvez isso represente algo que está bem próximo essa Algo como 2,1 ou seja isso representa outro valor que está muito próximo raça eu fosse um artista melhor eu seria mais representativo tá esse daqui aparecer realmente uma linha que a paralela original mas como eu não desenho muito bem né considerem isso pelo menos porque se você mudar a saída um pouco o conjunto de pontos que se parecem com isso aqui é praticamente o mesmo é apenas mudou um pouquinho enfim outra maneira de pensar sobre o gradiente aqui é observar todos os vetores que está em aqui do dois e vai até o 2,1 ao fazer isso e observar todos esses diferentes diretores você sabe me dizer qual é o mais rápido bem dessa vez em vez de pensar no mais rápido como vetores de comprimento constante como se fosse uma constante de crescimento vamos observar o que faz isso tendo uma distância mais curta qual desses apresenta essa configuração se você pensar nessas linhas como sendo o retas aproximadamente paralelo não deve ser difícil se convencer que a distância mais curta não vai ser qualquer um desses vetores vai ser aquele que os conecta de forma praticamente perpendicular com a linha original porque se você pensar nisso como retas quanto mais você ampliar mas essas retas vão ficar paralelas aparentemente assim o caminho que conecta uma linha a outra vai ser perpendicular a ambas bom então por causa disso a interpretação do Gradiente como a direção da subida mais íngreme é uma consequência natural do fato de todas as vezes que estiver em uma linha de contorno onde quer que você esteja olhando vamos ter um vetor realmente perpendicular à essa linha inclusive você pode pensar sobre isso como se fosse uma forma de chegar a próxima linha de contorno o mais rápido possível ou seja aumentando a função mais rápido possível e essa é realmente uma interpretação muito útil do Gradiente em diferentes contextos então é algo bom para manter em sua mente Gradiente é sempre perpendicular as linhas de contorno tem uns cara que você tenha compreendido tudo isso aqui que eu conversei com você meu amigo minha amiga e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima