Gradientes e gráficos

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daqui é na casa dele Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre o que o gradiente significa no contexto o gráfico de uma função Não se esqueça que no último vídeo definir o que era o gradiente para relembrar isso eu vou colocar uma função aqui eu vou colocar uma função de X e Y igual a x ao quadrado mais y ao quadrado Aqui nós temos uma entrada bidimensional que podemos pensar como se fosse uma espécie de plano XY Aí temos uma saída unidimensional que é como se fosse a altura do gráfico acima desse plano eu defini no último vídeo que o gradiente é um determinado operador um operador que se você aplicá-lo sobre uma função ele vai produzir outra função a gente representa se operador com esse triângulo de cabeça para baixo chamado na blá não se esqueça que isso vai a ser uma outra função que também é de x e y mas dessa vez ele vai ter uma saída com o valor vetorial as duas componentes de saída são as derivadas parciais a parcial de f em relação AX EA parcial de f em relação à Y vamos avaliar essa função aqui em cima realizando essa operação primeiro a gente calcula a derivada em relação a x derivando a função em relação a x consideramos o x sendo uma variável e o y é um sendo uma constante bem a derivada de x ao quadrado = 2x e a derivada de y ao quadrado = 0 nesse caso Afinal a derivada de uma constante é sempre igual a zero agora quando a gente calcula derivada em relação à Y as coisas se invertem a gente olha para o x e considera ele sendo uma constante assim a derivada de x ao quadrado vai ser igual a zero aí o y a considera como uma variável então a derivada do Y ao quadrado vai ser = 2Y portanto com o gradiente produzimos uma função de duas variáveis X e Y ou seja algum. Nesse plano e produzimos um vetor que pode ser bem visualizado com o campo vetorial a já tem aqui naquela academia aulas sobre Campos vetoriais que vale a pena você conferir depois porém nesse momento eu gostaria que você pausar se esse vídeo e tentar se pensar sobre o formato do campo vetorial aqui que vai ser formado a partir dessa função e aí já pensou como vai ficar o campo vetorial que pega x e y e gera 2 X2 Y Ok vamos observar aqui então temos um monte de vetores apontada aqui para fora da origem EA razão básica para isso é que se você tiver algum ponto de entrada fornecido e dizer que tem coordenadas x e y você tem esse viatura que partindo da origem e vindo aqui até e nada porém o Victor de saída vai ter a origem aqui e não podemos esquecer que ele tem duas vezes o tamanho do vetor original então quando a gente obter esse vetor a gente vai ter algo que é duas vezes o vetor original só aqui apontado na mesma direção ou seja apontado para fora que dá origem a Claro Normalmente quando desenhamos Campos vetoriais não desenhamos em escala a gente reduz para que as coisas não pareçam tão confusas é por isso que tudo aqui parece ter o mesmo comprimento mas o comprimento real dos vetores é indicado pela cor Sendo assim você deve pensar nesses caras vermelhos aqui como sendo muito longos e esses caras azuis aqui sendo muito curtos Mas a pergunta que não sai da minha cabeça que agora é o que só faz com gráfico da função bem existe realmente uma interpretação bem legal para isso Imagine que você está caminhando ao longo desse gráfico sabe você é um Caminhante e assim é uma montanha aí vai e você está em algum. Aqui nesse gráfico Digamos que você esteja sentado nesse ponto aqui você para o diz o seguinte Em qual direção eu devo seguir para aumentar a minha altitude de forma mais rápida ou seja você quer subir a colina o mais rápido possível Claro a partir desse ponto você pode andar sobre essa superfície vindo aqui para cima mas você não pode sair livremente aqui dessa superfície não com certeza você cairia Então você tem que vir aqui pela superfície até esse ponto sim a gente projetar esse ponto até aqui embaixo no espaço de entrada Esse é o ponto abaixo de onde você está o Victor aqui faz de dizer Em qual direção você deve seguir para conseguir subir mais rápido onde atalho para esse gráfico isso meio que faz sentido já que está apontando para fora da origem mas alguns não são assim tão simples Enfim vou apagar isso aqui para não atrapalhar o que eu vou te mostrar olhando aqui para base em qualquer outro que você estiver na o gráfico Quando você quiser subir o mais rápido possível você deve ir diretamente para fora da origem porque vai ser o caminho mais ingrime e todos esses vetores também estão apontando diretamente para fora da origem concluindo podemos dizer que o gradiente aponta na direção da subida mais íngreme Inclusive eu acho que vale a pena escrever isso direção da subida mais íngreme vamos ver como que Súplica no contexto de um outro exemplo eu vou colocar o outro gráfico aqui o seu campo vetorial esse gráfico apresenta todos os valores sendo negativos está tudo abaixo do plano XY e tem dois fios diferentes Eu também Desenhei o campo Gradiente que é Como chamamos o campo vetorial que representa o gradiente da função para esse caso aqui você vai perceber e perto do piucco todos os vetores estão apontando o meio que na direção de subida nem o que te dizendo para ir em Direção a esse pico aqui de algum e se você observar um pouquinho mais ao redor ainda teremos esses vetores te indicando Onde está esse pico Na verdade onde estão os dois Picos todo mundo está dizendo para onde você deve ir para subir cada vetor está dizendo qual caminho seguir para aumentar a altitude no gráfico mais rápido possível é a direção da subida mais íngreme bem é isso que a direção significa mas o que significa o comprimento bem se você der uma olhada nesses vetores vermelhos aqui não se esqueça que vermelho significa que eles devem ser considerados muito muito longos e observando o próprio gráfico o ponto que esses vetores correspondem no gráfico está fora da tela porque esse gráfico fica muito inclinado e muito negativo muito rápido então os pontos que esses vetores correspondem tem superfícies muito muito ingrime agora considerando esses azuis aqui tem uma espécie de declive relativamente Raso quando você chega ao pia com as coisas como se estabilizar Portanto o comprimento do vetor Gradiente diz para você a inclinação dessa direção de subida mais íngreme ótimo conseguiu compreender isso só que tem uma coisa que eu quero destacar para você faz realmente sentido pensar nessa ideia de derivadas parciais de uma função sendo transformada em um vetor e que isso nos mostra a direção de subida mais íngreme bem em última análise é exatamente isso que acontece mas não é algo tão fácil de visualizar em um primeiro momento a gente vai conversar sobre isso eu espero que essa conexão fique bem clara para você porque a menos que você seja algum tipo de gênio intuitivo não acho que essa conexão É bem óbvia a primeira vista mas se você não for o caso você vai compreender isso aos pouquinhos Ok inclusive para compreender isso legal a gente vai conhecer algo chamado de derivada direcional Enfim meu amigo minha amiga eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que eu conversamos aqui e mais uma vou deixar para você um grande abraço e até a próxima