Gradientes e gráficos

RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre o que o gradiente significa no contexto gráfico de uma função. Não se esqueça que no último vídeo definimos o que era o gradiente. Para relembrar isso, eu vou colocar uma função aqui. Eu vou colocar uma função F(x, y) = x² + y². Aqui nós temos uma entrada bidimensional, que podemos pensar como se fosse uma espécie de plano "xy". Aí, temos uma saída unidimensional, que é como se fosse a altura do gráfico acima desse plano. Eu defini, no último vídeo, que o gradiente é um determinado operador, um operador que se você aplicá-lo sobre uma função, ele vai produzir outra função. A gente representa esse operador com este triângulo de cabeça para baixo chamado nabla. Não se esqueça que isso vai fornecer uma outra função que também é de "xy", mas, desta vez, ele vai ter uma saída com o valor vetorial. As duas componentes de saída são as derivadas parciais. [∂F/∂x, ∂F/∂y] Vamos avaliar essa função aqui em cima realizando essa operação. Primeiro, a gente calcula a derivada em relação a "x". Derivando a função em relação a "x", consideramos o "x" sendo uma variável e o "y" sendo uma constante. Bem, a derivada de x² = 2x e a derivada de y² é igual a zero nesse caso, afinal, a derivada de uma constante é sempre igual a zero. Agora, quando a gente calcula a derivada em relação a "y", as coisas se invertem, a gente olha para o "x" e o considera sendo uma constante. Assim, a derivada de x² vai ser igual a zero. Aí o "y", a gente considera como uma variável. Então, a derivada do y² vai ser igual a 2y. Portanto, com o gradiente produzimos uma função de duas variáveis (x, y), ou seja, algum ponto neste plano, e produzimos um vetor, que pode ser bem visualizado com o campo vetorial. Ah, já tem aqui na Khan Academy aulas sobre campos vetoriais, que vale a pena você conferir depois. Porém, nesse momento, eu gostaria que você pausasse este vídeo e tentasse pensar sobre o formato do campo vetorial aqui que vai ser formado a partir desta função. E aí, já pensou? Como vai ficar o campo vetorial que pega (x, y) e gera [2x 2y]? Ok, vamos observar aqui então. Temos um monte de vetores apontados aqui para fora da origem, e a razão básica para isso é que se você tiver algum ponto de entrada fornecido e dizer que tem coordenadas (x, y), você tem este vetor aqui partindo da origem e vindo aqui até essas coordenadas. Porém, o vetor de saída vai ter a origem aqui, e não podemos esquecer que ele tem duas vezes o tamanho do vetor original. Então, quando a gente obter esse vetor, a gente vai ter algo que é duas vezes o vetor original, só que apontado na mesma direção, ou seja, apontado para fora aqui da origem. Ah, claro, normalmente quando desenhamos campos vetoriais, não os desenhamos em escala, a gente reduz para que as coisas não pareçam tão confusas. É por isso que tudo aqui parece ter o mesmo comprimento, mas o comprimento real dos vetores é indicado pela cor. Sendo assim, você deve pensar nesses caras vermelhos aqui como sendo muito longos e estes caras azuis aqui sendo muito curtos. Mas a pergunta que não sai da minha cabeça que agora é: o que isso faz com o gráfico da função? Bem, existe realmente uma interpretação bem legal para isso. Imagine que você está caminhando ao longo desse gráfico. Sabe, você é um caminhante e essa é uma montanha. Aí vamos supor que você está em algum aqui neste gráfico. Digamos que você esteja sentado neste ponto aqui. Você para e diz o seguinte: em qual direção eu devo seguir para aumentar a minha altitude de forma mais rápida? Ou seja, você quer subir a colina o mais rápido possível. Claro, a partir deste ponto, você pode andar sobre essa superfície vindo aqui para cima, mas você não pode sair livremente desta superfície, senão, com certeza você cairia, então, você tem que vir aqui pela superfície até este ponto. Se a gente projetar este ponto até aqui embaixo, no espaço de entrada, esse é o ponto abaixo de onde você está. O vetor aqui vai te dizer em qual direção você deve seguir para conseguir subir mais rápido. Um detalhe. Para este gráfico, isso meio que faz sentido, já que está apontando para fora da origem, mas alguns não são assim tão simples. Enfim, vou apagar isso aqui para não atrapalhar o que eu vou te mostrar. Olhando aqui para a base, em qualquer ponto que você estiver na montanha do gráfico, quando você quiser subir o mais rápido possível, você deve ir diretamente para fora da origem, porque vai ser o caminho mais íngreme, e todos esses vetores também estão apontando diretamente para fora da origem. Concluindo: podemos dizer que o gradiente aponta na direção da subida mais íngreme. Inclusive, eu acho que vale a pena escrever isso. Direção da subida mais íngreme. Vamos ver como que isso fica no contexto de um outro exemplo. Eu vou colocar o outro gráfico aqui e o seu campo vetorial. Este gráfico apresenta todos os valores sendo negativos. Está tudo abaixo do plano (x, y), e tem dois picos diferentes. Eu também desenhei o campo gradiente, que é como chamamos o campo vetorial que representa o gradiente da função para este caso aqui. Você vai perceber que perto do pico todos os vetores estão apontando meio que na direção de subida, meio que te dizendo para ir em direção a esse pico aqui de alguma forma. Se você observar um pouquinho mais ao redor, ainda teremos esses vetores te indicando onde está esse pico. Na verdade, onde estão os dois picos. Todo mundo está dizendo para onde você deve ir para subir. Cada vetor está dizendo qual caminho seguir para aumentar a altitude no gráfico o mais rápido possível. É a direção da subida mais íngreme. Bem, é isso que a direção significa, mas o que significa o comprimento? Bem, se você der uma olhada nesses vetores vermelhos aqui, não se esqueça, que vermelho significa que eles devem ser considerados muito, muito longos. E observando o próprio gráfico, o ponto que esses vetores correspondem no gráfico está fora da tela, porque este gráfico fica muito inclinado e muito negativo muito rápido, então, os pontos que esses vetores correspondem têm superfícies muito, muito íngremes. Agora, considerando esses azuis aqui, tem uma espécie de declive relativamente raso. Quando você chega ao pico, as coisas começam a se estabilizar. Portanto, o comprimento do vetor gradiente diz para você a inclinação dessa direção de subida mais íngreme. Ótimo, conseguiu compreender isso? Só que tem uma coisa que eu quero destacar para você. Faz realmente sentido pensar nessa ideia de derivadas parciais de uma função sendo transformada em um vetor e que isso nos mostra a direção de subida mais íngreme? Bem, em última análise, é exatamente isso que acontece, mas não é algo tão fácil de visualizar em um primeiro momento. A gente vai conversar sobre isso e eu espero que essa conexão fique bem clara para você, porque a menos que você seja algum tipo de gênio intuitivo, não acho que essa conexão seja bem óbvia à primeira vista. Mas se esse não for o caso, você vai compreender isso aos pouquinhos, ok? Inclusive, para compreender isso legal, a gente vai conhecer algo chamado de derivada direcional. Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!