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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 2: Gradiente e derivadas direcionais- Gradiente
- Cálculo de gradientes
- Gradientes e gráficos
- Gradiente visual
- Gradientes e mapas de contorno
- Derivadas direcionais
- Derivada direcional, definição formal
- Cálculo de derivadas direcionais
- Derivada direcional e inclinação
- Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.
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Gradientes e gráficos
Aprenda como o gradiente pode visualizado como se estivesse apontando para a "direção do aclive máximo". Essa é uma interpretação importante do gradiente. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre o que o gradiente significa no contexto gráfico de uma função. Não se esqueça que no último vídeo
definimos o que era o gradiente. Para relembrar isso, eu vou colocar
uma função aqui. Eu vou colocar uma função
F(x, y) = x² + y². Aqui nós temos uma entrada bidimensional, que podemos pensar como
se fosse uma espécie de plano "xy". Aí, temos uma saída unidimensional, que é como se fosse a altura
do gráfico acima desse plano. Eu defini, no último vídeo, que o gradiente é um
determinado operador, um operador que se você aplicá-lo
sobre uma função, ele vai produzir outra função. A gente representa esse operador com este triângulo de cabeça
para baixo chamado nabla. Não se esqueça que isso vai fornecer
uma outra função que também é de "xy", mas, desta vez, ele vai ter
uma saída com o valor vetorial. As duas componentes de
saída são as derivadas parciais. [∂F/∂x, ∂F/∂y] Vamos avaliar essa
função aqui em cima realizando essa operação. Primeiro, a gente calcula
a derivada em relação a "x". Derivando a função
em relação a "x", consideramos o "x"
sendo uma variável e o "y" sendo uma constante. Bem, a derivada de x² = 2x e a derivada de y²
é igual a zero nesse caso, afinal, a derivada de uma constante
é sempre igual a zero. Agora, quando a gente calcula
a derivada em relação a "y", as coisas se invertem, a gente olha para o "x" e o considera sendo uma constante. Assim, a derivada de x²
vai ser igual a zero. Aí o "y", a gente considera
como uma variável. Então, a derivada do y²
vai ser igual a 2y. Portanto, com o gradiente produzimos
uma função de duas variáveis (x, y), ou seja, algum ponto neste plano, e produzimos um vetor, que pode ser bem visualizado
com o campo vetorial. Ah, já tem aqui na Khan Academy aulas sobre campos vetoriais, que vale a pena você conferir depois. Porém, nesse momento, eu gostaria que você pausasse este vídeo e tentasse pensar sobre o formato
do campo vetorial aqui que vai ser formado a partir desta função. E aí, já pensou? Como vai ficar o campo vetorial
que pega (x, y) e gera [2x 2y]? Ok, vamos observar aqui então. Temos um monte de vetores
apontados aqui para fora da origem, e a razão básica para isso é que se você tiver algum
ponto de entrada fornecido e dizer que tem coordenadas (x, y), você tem este vetor aqui
partindo da origem e vindo aqui até essas coordenadas. Porém, o vetor de saída vai ter
a origem aqui, e não podemos esquecer que ele tem
duas vezes o tamanho do vetor original. Então, quando a gente
obter esse vetor, a gente vai ter algo que é
duas vezes o vetor original, só que apontado na mesma direção, ou seja, apontado para
fora aqui da origem. Ah, claro, normalmente quando
desenhamos campos vetoriais, não os desenhamos em escala, a gente reduz para que as coisas
não pareçam tão confusas. É por isso que tudo aqui parece ter
o mesmo comprimento, mas o comprimento real dos vetores
é indicado pela cor. Sendo assim, você deve pensar
nesses caras vermelhos aqui como sendo muito longos e estes
caras azuis aqui sendo muito curtos. Mas a pergunta que não sai
da minha cabeça que agora é: o que isso faz com o gráfico da função? Bem, existe realmente uma
interpretação bem legal para isso. Imagine que você está caminhando
ao longo desse gráfico. Sabe, você é um caminhante
e essa é uma montanha. Aí vamos supor que você está
em algum aqui neste gráfico. Digamos que você esteja
sentado neste ponto aqui. Você para e diz o seguinte: em qual direção eu devo seguir para aumentar a minha altitude
de forma mais rápida? Ou seja, você quer subir a colina
o mais rápido possível. Claro, a partir deste ponto, você pode andar sobre essa superfície
vindo aqui para cima, mas você não pode sair
livremente desta superfície, senão, com certeza você cairia, então, você tem que vir aqui
pela superfície até este ponto. Se a gente projetar este
ponto até aqui embaixo, no espaço de entrada, esse é o ponto abaixo
de onde você está. O vetor aqui vai te dizer em
qual direção você deve seguir para conseguir subir mais rápido. Um detalhe. Para este gráfico, isso meio
que faz sentido, já que está apontando
para fora da origem, mas alguns não
são assim tão simples. Enfim, vou apagar isso
aqui para não atrapalhar o que eu vou te mostrar. Olhando aqui para a base, em qualquer ponto que você
estiver na montanha do gráfico, quando você quiser subir
o mais rápido possível, você deve ir diretamente
para fora da origem, porque vai ser o caminho
mais íngreme, e todos esses vetores também
estão apontando diretamente para fora da origem. Concluindo: podemos dizer que o gradiente
aponta na direção da subida mais íngreme. Inclusive, eu acho que vale
a pena escrever isso. Direção da subida mais íngreme. Vamos ver como que isso fica
no contexto de um outro exemplo. Eu vou colocar o outro gráfico aqui e o seu campo vetorial. Este gráfico apresenta todos
os valores sendo negativos. Está tudo abaixo do plano (x, y),
e tem dois picos diferentes. Eu também desenhei o campo gradiente, que é como chamamos o campo vetorial que representa o gradiente
da função para este caso aqui. Você vai perceber que perto do pico todos os vetores estão apontando
meio que na direção de subida, meio que te dizendo para ir em direção
a esse pico aqui de alguma forma. Se você observar um
pouquinho mais ao redor, ainda teremos esses vetores te indicando
onde está esse pico. Na verdade, onde estão os dois picos. Todo mundo está dizendo para
onde você deve ir para subir. Cada vetor está dizendo
qual caminho seguir para aumentar a altitude no gráfico
o mais rápido possível. É a direção da subida mais íngreme. Bem, é isso que a direção significa, mas o que significa o comprimento? Bem, se você der uma olhada nesses
vetores vermelhos aqui, não se esqueça, que vermelho significa
que eles devem ser considerados muito, muito longos. E observando o próprio gráfico, o ponto que esses vetores
correspondem no gráfico está fora da tela, porque este gráfico
fica muito inclinado e muito negativo muito rápido, então, os pontos que esses
vetores correspondem têm superfícies muito, muito íngremes. Agora, considerando esses azuis aqui, tem uma espécie de declive
relativamente raso. Quando você chega ao pico, as coisas começam a se estabilizar. Portanto, o comprimento do vetor gradiente diz para você a inclinação dessa
direção de subida mais íngreme. Ótimo, conseguiu compreender isso? Só que tem uma coisa que eu quero
destacar para você. Faz realmente sentido pensar nessa
ideia de derivadas parciais de uma função sendo
transformada em um vetor e que isso nos mostra a direção
de subida mais íngreme? Bem, em última análise, é exatamente isso que acontece, mas não é algo tão fácil de visualizar
em um primeiro momento. A gente vai conversar sobre isso e eu espero que essa conexão
fique bem clara para você, porque a menos que você
seja algum tipo de gênio intuitivo, não acho que essa conexão
seja bem óbvia à primeira vista. Mas se esse não for o caso, você vai compreender isso
aos pouquinhos, ok? Inclusive, para compreender isso legal, a gente vai conhecer algo chamado
de derivada direcional. Enfim, meu amigo ou minha amiga, espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui, e, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!