Por que o gradiente está na direção do aclive máximo.

o meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre porque eu Gradiente a direção da subida mais íngreme não se esqueça que até agora quando eu falei sobre o gradiente de uma função que aqui vamos pensar nessa função como sendo uma função multivariável com apenas duas entradas Já que é mais fácil pensar assim em que essa função é igual a x ao quadrado mais y ao quadrado que é uma função Muito obrigado veu quando eu falei sobre o gradiente eu deixei um mistério aberto eu já vou falar para vocês sobre o que é você mistério a gente tem aqui a forma de calcular esse Gradiente a gente coloca que as derivadas parciais de uma função para essa função temos aqui a parcial em relação a x e aqui temos a parcial em relação à Y mas se fosse uma entrada de dimensão superior a saída teria que ter quantas variáveis fosse preciso se fosse por exemplo a xyz você teria que passear Oxe espacial Y parcial Z e essa é a maneira de calcular isso a gente também fez uma discussão gráfica aqui do Gradiente eu falei com você que o gradiente aponta na direção mais íngreme ou a direção com uma subida mais inclinada aqui no gráfico e talvez a maneira como você pensa sobre isso é que você tenha que o seu espaço de entrada que nesse caso é o plano XY E aí de alguma forma esse plano vai ser mapeado aqui para reta numérica que nesse caso é o espaço de saída aí se você tem um determinado o ponto em algum lugar a questão é que ia fazer é dentre todas as direções possíveis que você pode se afastar desse ponto dentre todas as direções que você pode ir qual delas Vai resultar em o aumento o maior aqui nessa função ou seja Conforme você se move aqui nas várias direções Talvez um deles deu um leve empurrão aqui na sua saída talvez outro deu um grande empurrão outro quem sabe de um tempo um negativo e outro deu um grande empurrão negativo observando todas as gírias são as qual que resulta em um maior aumento na sua função bem eu meio que já falei com você sobre isso de uma forma intuitiva agora se você quiser pensar em termos de gráficos a gente pode olhar aqui o gráfico de f de x ao quadrado mais y ao quadrado e Aqui nós temos o campo de Gradiente todos esses vetores no plano XY são de Gradiente quando você olha aqui debaixo você vai ver todos esses vetores apontando para uma determinada direção cada uma dessas direções diz a você para onde você deve se mover para subir a colina naquele gráfico mais rápido que você puder se você fosse um alpinista por exemplo que quisesse chegar ao topo o mais rápido possível esses vetores vão te indicar a direção que você deve se mover para chegar ao topo o mais rápido possível é por isso que a gente chama isso de subida mais íngreme voltando aqui pra tela eu não vejo essa conexão a mente e eu lembro que quando eu estava aprendendo sobre isso pela primeira vez não estava muito Claro porque essa combinação de derivadas parciais tem algo a ver com o escolher a melhor direção porém agora que aprendemos sobre a derivada direcional isso começa a ficar mais claro sabendo disso vamos dizer que investir o pensar sobre todas as direções possíveis e todas as mudanças possíveis para sair da dessas direções vamos avaliar um único vetor vamos dizer que temos um vetor e vamos transformá-lo em um vetor unitário ao fazer isso esse caráter a um comprimento igual a um então eu vou colocar esse ver e dizer que ele tem o comprimento igual a um Então esse é o nosso vetor agora que aprendemos sobre a derivada direcional nós sabemos que a taxa na qual a função muda conforme você se move nessa direção pode ser determinada pela derivada direcional da função assim podemos dizer que a derivada direcional na direção de um vetor Verde uma função é e nós temos esse ponto aqui a gente vai chamar ele de Abby e vamos avaliar essa derivada direcional da função é que nesse ponto AB e para fazer isso podemos pegar o gradiente da função nesse ponto AB não se esqueça que o gradiente é uma função com valor vetorial E aí calculamos o produto escalar disso com esse vetor ver que colocamos aqui avaliando isso no ponto AB junto com Qualquer que seja o vetor seja qual for esse valor que nesse caso aqui é um vetor unitário nós conseguimos determinar a taxa de variação quando eu apresentei essa derivada direcional eu mostrei um vetor que tinha componentes 1 e 2 Inclusive a gente fez o produto escalar com esse vetor 12 aqui com essas derivadas parciais esse vetor 12 representa um passo na direção x e dois passos na direção Y então a quantidade que varia as coisas deve ser uma vez a variação causada por um passo puro a x mais duas vezes uma variação causada por um passo puro na direção y claro isso foi apenas uma espécie de intuição que eu apresentei para você não é que a gente começasse a compreender essa ideia de derivada direcional inclusive você pode saber mais sobre isso assistindo o vídeo de derivada direcional enfim essa expressão aqui vai ser a chave para que a gente possa escolher a direção mais ingrime vamos supor que essa variação é que realizada por ver quando variamos as coisas nessa direção talvez a gente varia um pouco negativamente aqui no f agora vamos supor que a gente tem um outro vetor w o que causa uma variação positiva sabendo disso qual vai ser a maior variação é quem é ou seja o que estamos tentando fazer aqui é para todos os vetores V que satisfaça a propriedade que seu comprimento é um encontro o máximo produto escalar entre F avaliado em um ponto que nos interessa e ver como que a gente encontra se máximo inicialmente a gente Oi Sara aqui sobre o que o produto escalar representa vamos dizer que aqui nesse ponto a gente avaliou Aviator Gradiente e que ele aponta nessa direção talvez não sejam que atua unitário Talvez seja algo muito maior assim se você imaginar algum vetor ver algum vetor unitário ver vamos dizer que ele está aprontando nessa direção a forma que você interpreta esse produto escalar o produto escalar entre o gradiente DF esse novo Vetor V é que você projetaria se vetor diretamente aqui fazendo uma espécie de projeção perpendicular em seu vetor Gradiente E aí a gente determinaria o comprimento aqui dessa projeção você sabe que comprimento é esse bem Apenas como exemplo vamos dizer que seja algo um pouco menor que um ok porque esse daqui é um vetor unitário Então vamos dizer que isso daqui seja 0,7 aí você multiplica isso pelo comprimento do próprio vetor Gradiente Talvez esse vetor tem um comprimento igual a 2 é apenas um exemplo não precisa ter esse valor pode ter qualquer outro mas a forma como a gente interpreta esse produto escalar é que ele realiza o cálculo do produto entre esses dois vetores ou seja o produto entre o comprimento de sua projeção comprimento do vetor Gradiente e nesse caso o produto do dois com 0,7 sabendo dia só pergunta que eu quero fazer para você aqui é que vetor unitário maximiza isso talvez se você imaginar esse vetor unitário aqui sendo rotacionado ele pode se movimentar um pouco para essa posição assim ele vai estar apontando um pouquinho mais próximo aqui para a direção do vetor maior do vetor Gradiente assim ah talvez a projeção vai ser um pouco maior talvez essa projeção seja algo como o 0,75 qual algo assim agora se você pegar o vetor unitário que aponta diretamente na mesma direção desse outro vetor aí o comprimento da projeção será apenas igual ao comprimento do próprio vetor ou seja teriam com é igual a um porque ao projetar não mudaríamos o valor então não deve ser difícil de se convencer e se você tiver querendo saber um pouco mais sobre a ideia do produto escalar insurgiram que você busca um vídeo aqui naquela Academy enfim isso deve fazer sentido porque o vetor unitário que aponta na mesma direção do Gradiente vai ser o que maximiza então a resposta aqui para qual o vetor que maximiza a isso vai ser bem o gradiente ensina Ué então vai ser o vetor Gradiente avaliado no ponto que nos interessa é certo pelo fato que precisamos normalizar isso porque estamos apenas Considerando o vetores unitários então para fazer isso a gente precisa dividir esse Gradiente aqui pela sua magnitude pelo módulo do Gradiente se a magnitude já for um permanece um Agora se a magnitude for dois isso acaba caindo pela metade Então essa daqui é a resposta é assim a direção da subida mais íngreme agora uma coisa a se notar aqui é o fato de que o Oi gente essa ferramenta para calcular derivadas direcionais você pode pensar nesse vetor como algo que você deseja realizar um produto escalar com outras coisas com outro vetor como gente fez aqui por exemplo e como consequência acabamos encontrando a direção da subida mais íngreme além disso Isso acabou sendo o próprio vetor Afinal estamos dizendo aqui que o que maximiza é o produto escalar com o vetor que aponta na mesma direção do Gradiente O legal é que o seu também pode vamos dar uma Interpretação para o comprimento do Gradiente mas uma pergunta que eu quero te fazer aqui agora é nós sabemos que a direção EA direção da subida mais íngreme mas como eu comprimento disso para conversar sobre isso vamos dar um nome para esse cara aqui vamos chamar essa versão normalizado aqui de w então w será o vetor unitário que aponta na direção do Gradiente se você calcular a derivada direcional na direção de wdf teremos isso aqui sendo igual é o produto escalar do Gradiente DF o w sabemos que o w significa que temos o produto escalar do vetor Gradiente com ele mesmo mas não se esqueça que ele é w e não Gradiente já que estamos normalizando isso estamos dividindo isso não pela magnitude DF isso realmente não faz sentido mas pelo valor do Gradiente tudo isso aqui é igual ao gradiente de efe Aí talvez você esteja pensando que é tudo isso sobre o gradiente DF avaliado em AB e que eu estou sendo preguiçoso e apenas escrevendo Gradiente DF bem quando você calcula o produto escalar consigo mesmo eu sou significa que temos o quadrado de sua magnitude mas a coisa toda dividida pela magnitude então você pode cancelar isso você pode dizer que isso não precisa estar aqui e esses poetas não precisa estar aqui eu também assim a derivada direcional na direção do próprio Gradiente tem um valor igual a magnitude do Gradiente isso diz que quando você está se movendo nessa direção na direção do Gradiente e na qual a função muda é dada pela magnitude do Gradiente então não há dúvidas que esse vetor é realmente mágico ele faz muitas coisas é a ferramenta que permite que você faça o produto escalar com outros vetores para dizer a derivada direcional como consequência temos a direção da subida mais íngreme e sua magnitude e diz a taxa em que as coisas mudam Enquanto você se move naquela direção da subida mais íngreme isso é sem dúvida a parte central do valor escalar das funções multivariáveis EA extensão da derivada em todos os sentidos para quando você deseja aplicar a ideia da derivada em diversas situações enfim eu espero que você tenha compreendido toda essa nossa conversa e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima