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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 13: JacobianoCalculando uma matriz jacobiana
Isto conclui a introdução à matriz jacobiana resolvendo os cálculos do exemplo mostrado no último vídeo.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, pessoal!
Tudo bem? Neste vídeo vamos calcular
a matriz jacobiana. Para refrescar um pouco a memória,
temos aqui essa transformação não linear e mostramos que se você aproximar em um ponto
específico enquanto a transformação acontece, vai aparecer algo linear. Também foi estabelecido que você pode descobrir
com que essa transformação linear se parece caso pegue as derivadas parciais da função que foi dada
e as transforme em uma matriz. Neste caso, a nossa função vai ser essa
que eu escrevi em cima. O que vamos fazer aqui é calcular
todas essas derivadas parciais. Porém, primeiro eu vou
reescrever essa função para deixá-la posicionada em um lugar
que vamos conseguir enxergar melhor. O primeiro componente é x mais seno de y
e o segundo é y mais seno de x. O que eu vou fazer aqui
é calcular todas essas derivadas parciais para mostrar com o que
esse tipo de coisa se parece. Pois bem, para o primeiro componente
na esquerda superior vamos pegar a derivada parcial
em relação a x do primeiro componente. Olhamos o primeiro componente,
e então a derivada parcial em relação a x é 1, já que aqui temos 1 vez x
mais algo que não tem nada a ver com x. Depois pegamos a derivada parcial
do segundo componente em relação a x, e esse y parece com uma constante. Então, nada acontece. E a derivada do seno de x
se torna o cosseno de x. Em cima, vamos pegar a derivada parcial
em relação a y do primeiro componente. A derivada parcial de x
em relação a y é zero e a derivada parcial do seno de y
em relação a y é o cosseno de y. Finalmente, a derivada parcial do segundo
componente em relação a y parece 1, já que é 1 vez y mais alguma constante. Isso aqui é o jacobiano geral
como função de x e y. Porém, se queremos entender o que acontece
ao redor desse ponto em que iniciamos, -2 e 1, nós os levamos para
cada um desses valores. Para lembrar, iremos pegar
nosso ponto específico, (-2,1), e colocá-lo em uma matriz como uma função,
uma função de matriz com valor. Primeiro se torna 1,
e depois temos o cosseno, mas iremos substituir para -2 no x,
ou seja, cosseno de -2. Caso tenha curiosidade,
isso é aproximadamente -0,42. Na direita superior, temos
novamente o cosseno, mas agora iremos substituir
o valor de y, que é 1, e o cosseno de 1
é aproximadamente 0,54. Depois, na direita inferior,
temos mais uma constante 1. E é isso. Isso é uma matriz cheia de números. Só para testar tudo isso, podemos ver aqui
a transformação linear que isso deve ser. Veja como o primeiro vetor base, a coisa que ele se tornou,
que é um fator, tem esse componente para a direita, que é do mesmo tamanho
do vetor que iniciou. E também tem esse componente para baixo,
onde se consegue notar que é -0,42. Depois, essa segunda coluna está nos dizendo
o que aconteceu com o fator de segunda base, aquele que parece com isso. Novamente, o componente y é praticamente
do mesmo tamanho que iniciou, 1, e então o componente da direita
é aproximadamente metade disso, e conseguimos ver isso no gráfico. Porém, isso é algo
que você deve calcular. Tudo isso é bem direto. Você pega todas as
possíveis derivadas parciais, organiza-as em uma grade como essa,
e temos isso. E é isso, pessoal. Espero que
tenham aprendido e até a próxima!