Calculando uma matriz jacobiana

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo vamos calcular a matriz jacobiana. Para refrescar um pouco a memória, temos aqui essa transformação não linear e mostramos que se você aproximar em um ponto específico enquanto a transformação acontece, vai aparecer algo linear. Também foi estabelecido que você pode descobrir com que essa transformação linear se parece caso pegue as derivadas parciais da função que foi dada e as transforme em uma matriz. Neste caso, a nossa função vai ser essa que eu escrevi em cima. O que vamos fazer aqui é calcular todas essas derivadas parciais. Porém, primeiro eu vou reescrever essa função para deixá-la posicionada em um lugar que vamos conseguir enxergar melhor. O primeiro componente é x mais seno de y e o segundo é y mais seno de x. O que eu vou fazer aqui é calcular todas essas derivadas parciais para mostrar com o que esse tipo de coisa se parece. Pois bem, para o primeiro componente na esquerda superior vamos pegar a derivada parcial em relação a x do primeiro componente. Olhamos o primeiro componente, e então a derivada parcial em relação a x é 1, já que aqui temos 1 vez x mais algo que não tem nada a ver com x. Depois pegamos a derivada parcial do segundo componente em relação a x, e esse y parece com uma constante. Então, nada acontece. E a derivada do seno de x se torna o cosseno de x. Em cima, vamos pegar a derivada parcial em relação a y do primeiro componente. A derivada parcial de x em relação a y é zero e a derivada parcial do seno de y em relação a y é o cosseno de y. Finalmente, a derivada parcial do segundo componente em relação a y parece 1, já que é 1 vez y mais alguma constante. Isso aqui é o jacobiano geral como função de x e y. Porém, se queremos entender o que acontece ao redor desse ponto em que iniciamos, -2 e 1, nós os levamos para cada um desses valores. Para lembrar, iremos pegar nosso ponto específico, (-2,1), e colocá-lo em uma matriz como uma função, uma função de matriz com valor. Primeiro se torna 1, e depois temos o cosseno, mas iremos substituir para -2 no x, ou seja, cosseno de -2. Caso tenha curiosidade, isso é aproximadamente -0,42. Na direita superior, temos novamente o cosseno, mas agora iremos substituir o valor de y, que é 1, e o cosseno de 1 é aproximadamente 0,54. Depois, na direita inferior, temos mais uma constante 1. E é isso. Isso é uma matriz cheia de números. Só para testar tudo isso, podemos ver aqui a transformação linear que isso deve ser. Veja como o primeiro vetor base, a coisa que ele se tornou, que é um fator, tem esse componente para a direita, que é do mesmo tamanho do vetor que iniciou. E também tem esse componente para baixo, onde se consegue notar que é -0,42. Depois, essa segunda coluna está nos dizendo o que aconteceu com o fator de segunda base, aquele que parece com isso. Novamente, o componente y é praticamente do mesmo tamanho que iniciou, 1, e então o componente da direita é aproximadamente metade disso, e conseguimos ver isso no gráfico. Porém, isso é algo que você deve calcular. Tudo isso é bem direto. Você pega todas as possíveis derivadas parciais, organiza-as em uma grade como essa, e temos isso. E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!