Linearidade local para uma função de múltiplas variáveis

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Diversos conceitos que você aprende no cálculo multivariável são ideias que talvez já tenha visto ou até mesmo aprendido anteriormente na álgebra linear. Agora vamos transferir essas ideias para a aplicação em problemas não lineares. Por exemplo, vou lhe dar uma função, uma função que recebe um vetor bidimensional [x,y] e que vai nos dar um outro vetor bidimensional. E esse em questão será arbitrário, que é [(x mais seno de y) (y mais seno de x)]. No último vídeo falamos um pouco sobre as transformações lineares, algumas ideias da álgebra linear e também como codificar a transformação linear usando uma matriz. Para visualizar isso temos aqui essa grade, e nela veremos como essa função se parece quando transformada no espaço. É dito ao computador: "Pegue cada um dos pontos nessa grade azul, e esse o ponto for (x,y), mova-o para o ponto (x mais seno de y ; y mais seno de x).” É isso o que vai aparecer. Neste exemplo as coisas ficam um pouco curvas, e tudo isso aqui não é transformação linear. As linhas não são se mantêm em linhas, não são mais aquelas bonitas linhas de grade paralelas que havíamos visto antes. Elas nem mesmo são espaçadas de forma equivalente, em certo sentido. Tem bem mais informação aqui e isso vai para as funções não lineares ao invés da função linear. Por isso ser meio complicado, pode ser mais fácil olhar o que está acontecendo se focarmos em um ponto individual. [π/2 ; 0]. Se é isso que estamos colocando, x é π/2. Então, no topo, x se mantém o mesmo, π dividido por 2. Depois o seno de y seria seno de zero. Assim sendo, o componente x vai se manter o mesmo e depois para baixo, y é zero. Eu vou em frente e escrever seno de π/2, mas você pode pensar nele sendo 1. O que isso significa na transformação aqui ao lado? Olhar no ponto que é (π/2,0), o π, que é dividido por 2, é aproximadamente 1,5, então vai estar por aqui. Desse jeito, esperamos que mova para o ponto (π/2;1). Então isso deve mover verticalmente uma unidade. Se você focar nesse ponto durante a transformação, note que é realmente o que acontece. Só move verticalmente um ponto. E claro, as coisas estão complicadas porque cada um dos pontos está fazendo isso. O computador está pegando cada um dos pontos e movendo para onde eles deveriam ir. Após ter sido revisado o pensamento na transformação linear e a codificação com matrizes, algo como isso deve parecer completamente maluco. Para lembrar aonde todo mundo vai, você precisa pegar bem mais informações do que somente quatro números. Mas essa função tem uma propriedade bem legal, uma propriedade com que lidamos o tempo todo no cálculo multivariável. Ela se chama linearidade local. O que isso significa é: pegamos nosso esquema inicial e nos aproximamos, dado certo ponto. Então, vamos nos aproximar neste ponto da esquerda. Esse quadrado na direita superior mostra a versão aproximada disso. Primeiro de tudo vão ser adicionadas mais algumas linhas de grades. São linhas bem próximas, conseguimos ver pela versão afastada. Dessa forma, podemos ver, quando aproximado, um pouco mais do que está acontecendo. Agora, quando iniciada a animação, teremos essa caixinha fazendo a aproximação. Siga o ponto no centro. Então essa caixinha estará se movendo e veremos o que está sendo aproximado. Isso vai seguir o que está ao redor desse ponto durante a transformação. Podemos ver dentro dessa visão aproximada. Ainda não é linear. As linhas estão um pouco curvas ainda, mas parece bem mais com uma função linear agora que as grades, que iniciam na horizontal e vertical, estão paralelas e equivalentemente espaçadas. Se nos aproximarmos mais um pouco, para uma caixa amarela ainda menor, novamente serão adicionadas algumas linhas de grade ao redor, bem juntinhas, justamente porque, quando se movem, elas seguem juntas e dão a noção do que a função está fazendo. Isso é puramente um método para visualização. Poderiam ser colocados pontos, linhas, o que quisesse. Dessa vez, quando for aproximado, mostra o ponto que estamos olhando. Os vizinhos dele realmente parecem como uma função linear, e quanto mais você aproximar, mais vai parecer como uma função linear. Isso levanta uma questão: se estamos olhando em algum ponto em específico, que será chamado aqui de (x₀;y₀), e isso corresponde de algum jeito à transformação linear ao redor. Deve ter algum tipo de matriz 2 por 2 que representa essa transformação linear ao redor do ponto dessa função complicada. Então a ideia de se aproximar é algo que dizemos por local. No próximo vídeo mostramos o que essa matriz parece em termos de derivadas parciais para nossa função original. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!