O determinante jacobiano

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo vamos falar sobre a determinante jacobiana, mas antes de pularmos diretamente para ela, vamos revisar as determinantes no contexto da álgebra linear. Para pegar a determinante de algum tipo de matriz, que neste caso será [3,0,1,2], preciso calcular essa determinante. Indo pela diagonal, pegamos 3 multiplicado por 2 e depois subtrairmos por 1 multiplicado por zero. O resultado aqui será 6. No entanto, tem bem mais coisa acontecendo aqui do que somente um cálculo. Se pensar na interpretação geométrica de [3,0,1,2] como algo que pega o primeiro vetor base, o leva para as coordenadas (3,0), o segundo para as coordenadas (1,2) e seguindo pelas colunas, podemos interpretar a determinante como a medida do quanto a transformação se estica ou se espreme no espaço. Você já deve ter notado que aqui na esquerda temos uma região destacada em amarelo. Essa região inicia como um quadrado unitário em que o comprimento dos lados é 1 e, por isso, a sua área é 1. Além dessa área e formato canônico, é uma região que não tem nada de especial. Com ela conseguimos comparar o que acontece depois da transformação. Caso a gente queira saber o quanto essa área se estica, é esticada pelo fator da determinante. É algo como isso que a determinante significa. Todas essas áreas, se você desenhar em algum formato que não seja somente o quadrado, serão esticadas pelo fator de 6. Podemos verificar ao olhar o paralelogramo que o quadrado se tornou. Ele tem a base 3 e a altura 2. 3 vezes 2 é 6. Isso faz sentido porque 3 e 2 apareceram aqui em cima. Agora, vamos ver o que isso tudo significa no contexto que viemos descrevendo nos últimos vídeos. Caso você se lembre, nós tínhamos uma função multivariável que vamos escrever aqui como f₁ e suas duas entradas, e depois para o segundo componente, f₂, e também duas entradas. A função que estava sendo utilizada no aprendizado sobre o jacobiano era x mais seno de y para o primeiro componente e para o segundo componente y mais seno de x. Foi estabelecido que essa função não era linear. Ela fazia tudo ficar meio curvo e complicado, mas foi explicado que se nos aproximamos em uma região específica, ela iria parecer, sim, com uma transformação linear. Este quadrado amarelo representa essa aproximação. Conseguimos ver, quando a animação inicia, que está tudo meio maluco, mas mesmo que esteja assim, dentro da versão aproximada parece uma função linear. Você deve ter notado que aqui temos esse quadrado destacado. Ele corresponde a um quadrado unitário como aquele que mostramos anteriormente. Eu reforço, mais uma vez, que é somente um meio para visualizar o quanto a área se estica na região. Pois bem, conseguimos ver, quando a animação acontece, que a área não muda muito, ela é esticada um pouco, mas não de uma forma tão diferente. Assim, se soubermos a matriz que descreve a transformação que isso parece quando aproximado, a determinante nos dirá o fator pelas áreas que se esticam. Em especial, você pode pensar nesse pequeno quadrado amarelo e o fator pela área que foi esticada. E como um lembrete, a matriz descrevendo a versão aproximada é o jacobiano, aquilo que carrega dentro de si todas as informações de diferencial parcial. Seguindo, você pega a derivada parcial de f₁ em relação àquele primeiro componente e depois a derivada parcial do segundo componente em relação a x. Em sequência, na outra coluna, temos a derivada parcial do primeiro componente em relação a y e a derivada parcial do segundo oponente em relação a y também. Se você fechar essa matriz e calcular cada uma dessas derivadas parciais em um ponto específico, que neste caso foi (-2,1), assim que colocar esses números na matriz você vai ter uma matriz cheia de números. O que se torna bem útil depois, no conceito de cálculo multivariável, é pegar a determinante dessa matriz para analisar quanto espaço está sendo esticado ou espremido na região. Mas continuando, no último vídeo nós utilizamos esse exemplo onde a função da esquerda superior se tornou uma função constante de 1 porque estávamos pegando a derivada parcial disso em relação a x, e isso é 1. Isso acontece na direita inferior, que também é a função constante de 1. Os outros eram funções cosseno. Esse era o cosseno de x, porque estávamos pegando a derivada parcial do segundo componente em relação a x, e na direita superior, o cosseno de y. Em geral, essas são as funções de x e y, porque você coloca o ponto que foi aproximado, independentemente de qual ele seja. E por estarmos pensando em determinantes, vamos pegar a determinante em forma de função. Neste caso, nós fazemos a mesma coisa que antes. Em questão dos processos, você já sabe como pegar a determinante. Pegamos essas diagonais, então 1 vez 1, e depois subtraímos o produto da outra diagonal, que nessa situação é o cosseno de x multiplicado pelo cosseno de y. Como exemplo, vamos colocar o ponto em que estamos aproximando no gráfico, -2 e 1. Colocamos que x é -2, e y é igual a 1. Quando você substitui o cosseno para -2, vai ser aproximadamente -0,42 e quando substituímos y, o cosseno de 1 neste caso, temos 0,54. Agora perdemos 1 menos o produto deles, e quando multiplicado vai ser aproximadamente 0,227, o que significa que o determinante jacobiano calculado no ponto (-2,1) é em torno de 1,227. Isso está dizendo para nós que as áreas tendem a se esticar pelo fator ao redor desse ponto. Vemos que se alongam um pouco, mas não muito. O fator é 1,2. Para contrastar isso, vamos agora aproximar no ponto onde x é igual a zero e y é igual a 1. O que muda aqui na direita é que agora x é igual a zero, mas y se mantém 1. O cosseno de x, ao invés de ser 0,42, agora é precisamente 1, não precisamos aproximar. Multiplicamos 1 por 0,54 e quando subtraímos por esse 1 temos 0,46. Por essa determinante no jacobiano ser no ponto (0,1), podemos esperar, mesmo sem ver a animação, que as áreas sejam meio espremidas para baixo. Elas serão espremidas pelo fator de 0,46. Vamos confirmar se isso acontece. Olhando na versão aproximada do ponto, as áreas, pelo que vimos, devem se contrair. Realmente acontece isso. Veja: elas estão espremidas para baixo e parece que nosso cálculo foi preciso. Realmente foram escaladas com precisão pelo fator de 0,46. Tendo visto essas coisas, conseguimos ver o significado da determinante. Isso tudo é uma noção bem legal de se ter no cálculo multivariável. Você olha o visível de um ponto e se quiser ter uma visão sobre ele, usando essa função como transformação, você consegue descobrir se tendem a se esticar ou a se espremer em conjunto. É com esse propósito que foi criada a determinante jacobiana. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!