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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 13: JacobianoA matriz jacobiana
Uma introdução a como a matriz jacobiana representa a aparência local uma função de múltiplas variáveis , como uma transformação linear.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, pessoal? Tudo bem? No último vídeo utilizamos essa função,
e é uma função bem não linear, digamos assim. Ela foi vista como uma transformação
que leva cada ponto (x,y) no espaço para o ponto
(x mais seno de y ; y + seno de x) e no gráfico foi feita a aproximação
em um ponto específico. Vamos deixar
por escrito esse ponto, (-2,1). É importante o ter registrado. Foi adicionada também uma série de linhas de grade
ao redor para mostrar em detalhes o que a transformação faz em
pontos que são vizinhos do ponto. Por esse lado, o quadrado mostra
a versão aproximada da função. Foi visto que a função, que
aparenta ser bem complicada, quando aproximada, ela parece uma
função linear, localmente linear. O que eu vou mostrar neste vídeo
é a matriz que te diz a função linear disso e ela vai ser um tipo de matriz 2 por 2. Temos nossa matriz, e agora,
volte um pouco atrás e pense no nosso esquema original,
antes da transformação e pense, agora,
em um passo minúsculo para a direita. Depois, pensemos que esse passo
minúsculo para a direita é um pequeno parcial x,
pequeno passo na direção x, que quando transformado
será o passo minúsculo no espaço de saída. Agora veja o que esse
passo minúsculo se tornou. Não é mais puramente na direção x, tem agora um componente para a direita,
mas também um para baixo. Para representar isso de um bom jeito,
o que vamos fazer aqui é, em vez de escrever toda a função
como um valor vetorial de saída, usaremos duas funções de valor escalar
para fazer essa representação. Então vou escrever como as
funções de valor escalar f₁(x,y), então eu vou dar o nome
para x mais sen y, e f₂(x,y). Tudo o que eu fiz aqui é dar nomes
para funções que já foram escritas. Quando se olha no vetor, a consequência
de ter dado um passo minúsculo d, passo para o x no espaço de entrada, é conseguirmos notar que isso corresponde
a dois movimentos d no espaço de saída. O componente x desse movimento, se desenhar isso fora
e disser "qual o movimento x de tal movimento?", vamos pensar nisso como
uma pequena mudança parcial no f₁, o componente x de nossa saída. Ao fazer a divisão, ao pegar a parcial f₁
dividida pelo tamanho dessa pequena mudança, ela escala para o
vetor de tamanho normal, não como um pequeno empurrão, mas algo mais constante,
que não encolhe quando dermos mais e mais um. De forma parecida, a mudança na direção y,
o oponente vertical desse passo, também foi causada pelo dx,
aquele passo inicial para a direita. Assim, vai ser uma mudança parcial minúscula no f₂,
o componente y de saída. Desse jeito, olhamos para espaço de saída
que foi gerado pela mudança parcial na direção x. Novamente, é legal pensar nisso
como se fosse uma divisão por uma quantia minúscula. Essa parcial f₂ é realmente
um pequeno empurrão, mas ao fazer a divisão pelo tamanho
do empurrão minúsculo que gerou isso, conseguimos, basicamente, um número, algo que não encolhe
se considerar versões mais aproximadas. Isso é o que acontece se der
um pequeno passo na direção x. Mas outra coisa que você pode considerar
é um pequeno passo na direção y porque pode surgir a pergunta: "Se der um passo pequeno
em uma unidade que vai para cima, o que se torna depois da transformação?" e a resposta aqui é que... Bom, parece que esse vetor
ainda tem um componente para cima, mas também um componente
para a direita. Agora, vamos escrever os componentes
na segunda coluna da matriz porque, como sabemos, se você representa
a transformação linear com uma matriz, a primeira coluna diz
aonde o primeiro vetor base vai e a segunda coluna, como a primeira,
mostra aonde o segundo vetor base vai. Se isso parece estranho, é legal voltar
e dar uma olhadinha no vídeo de revisão, ou talvez ver um pouco sobre o conteúdo
que nós temos sobre a álgebra linear. Pois bem, para conseguir as coordenadas aqui,
vamos fazer a mesma coisa. Vamos ver, primeiro de tudo,
a mudança na direção x, o componente x desse vetor empurrado. Isso vai ser dado como uma mudança parcial no f₁,
no componente x da saída. Aqui estamos olhando na saída da base.
Temos f₁ e f₂. Isso traz a questão de qual mudança foi essa que foi gerada por uma pequena alteração
na direção y. Então a direção em f₁
causada por um pequeno passo na direção y dividida pelo tamanhodesse pequeno passo e depois o componente y de nossa saída,
o componente y do passo, que vai sair da base, que foi causado por um pequeno passo
na direção de cima no espaço de entrada. Essa é a mudança no f₂, o segundo componente
da nossa saída, causada por dy. E claro, isso tudo é bem específico
ao ponto que registramos à direita. Iniciamos no ponto (-2,1). Cada uma dessas derivadas parciais
nos diz para calcular isso no ponto (-2,1). Ao calcular cada uma no ponto (-2,1)
você vai conseguir algum número. Isso vai dar uma matriz 2 por 2 bem concreta,
que vai representar a transformação linear, que é essa caixinha que aparece
quando aproximada. Essa matriz aqui, que está cheia de derivadas parciais,
tem o nome bem especial. Ela é chamada de jacobiano,
ou matriz jacobiana. Você provavelmente já tinha adivinhado isso. Um jeito de pensar sobre isso é que ela
carrega todas as informações de diferencial parcial e leva em conta ambos desses componentes de saída,
ambas possíveis saídas, e dá para você uma grade
do que todas as derivadas parciais são. Porém, eu espero que você veja além de somente um jeito
de guardar o que as derivadas parciais são. Tem uma razão de organizá-las desse jeito
e isso cai na ideia de linearidade local. Se você entende que a matriz jacobiana
é fundamentalmente suposta para representar o que uma
transformação parece quando você aproxima em um ponto
em específico, tudo começa a se juntar. No próximo vídeo vamos calcular
e mostrar para você como é esse processo e como o resultado bate
com a imagem que você vê. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido
e até a próxima!