A matriz jacobiana

RKA4JL - Olá, pessoal? Tudo bem? No último vídeo utilizamos essa função, e é uma função bem não linear, digamos assim. Ela foi vista como uma transformação que leva cada ponto (x,y) no espaço para o ponto (x mais seno de y ; y + seno de x) e no gráfico foi feita a aproximação em um ponto específico. Vamos deixar por escrito esse ponto, (-2,1). É importante o ter registrado. Foi adicionada também uma série de linhas de grade ao redor para mostrar em detalhes o que a transformação faz em pontos que são vizinhos do ponto. Por esse lado, o quadrado mostra a versão aproximada da função. Foi visto que a função, que aparenta ser bem complicada, quando aproximada, ela parece uma função linear, localmente linear. O que eu vou mostrar neste vídeo é a matriz que te diz a função linear disso e ela vai ser um tipo de matriz 2 por 2. Temos nossa matriz, e agora, volte um pouco atrás e pense no nosso esquema original, antes da transformação e pense, agora, em um passo minúsculo para a direita. Depois, pensemos que esse passo minúsculo para a direita é um pequeno parcial x, pequeno passo na direção x, que quando transformado será o passo minúsculo no espaço de saída. Agora veja o que esse passo minúsculo se tornou. Não é mais puramente na direção x, tem agora um componente para a direita, mas também um para baixo. Para representar isso de um bom jeito, o que vamos fazer aqui é, em vez de escrever toda a função como um valor vetorial de saída, usaremos duas funções de valor escalar para fazer essa representação. Então vou escrever como as funções de valor escalar f₁(x,y), então eu vou dar o nome para x mais sen y, e f₂(x,y). Tudo o que eu fiz aqui é dar nomes para funções que já foram escritas. Quando se olha no vetor, a consequência de ter dado um passo minúsculo d, passo para o x no espaço de entrada, é conseguirmos notar que isso corresponde a dois movimentos d no espaço de saída. O componente x desse movimento, se desenhar isso fora e disser "qual o movimento x de tal movimento?", vamos pensar nisso como uma pequena mudança parcial no f₁, o componente x de nossa saída. Ao fazer a divisão, ao pegar a parcial f₁ dividida pelo tamanho dessa pequena mudança, ela escala para o vetor de tamanho normal, não como um pequeno empurrão, mas algo mais constante, que não encolhe quando dermos mais e mais um. De forma parecida, a mudança na direção y, o oponente vertical desse passo, também foi causada pelo dx, aquele passo inicial para a direita. Assim, vai ser uma mudança parcial minúscula no f₂, o componente y de saída. Desse jeito, olhamos para espaço de saída que foi gerado pela mudança parcial na direção x. Novamente, é legal pensar nisso como se fosse uma divisão por uma quantia minúscula. Essa parcial f₂ é realmente um pequeno empurrão, mas ao fazer a divisão pelo tamanho do empurrão minúsculo que gerou isso, conseguimos, basicamente, um número, algo que não encolhe se considerar versões mais aproximadas. Isso é o que acontece se der um pequeno passo na direção x. Mas outra coisa que você pode considerar é um pequeno passo na direção y porque pode surgir a pergunta: "Se der um passo pequeno em uma unidade que vai para cima, o que se torna depois da transformação?" e a resposta aqui é que... Bom, parece que esse vetor ainda tem um componente para cima, mas também um componente para a direita. Agora, vamos escrever os componentes na segunda coluna da matriz porque, como sabemos, se você representa a transformação linear com uma matriz, a primeira coluna diz aonde o primeiro vetor base vai e a segunda coluna, como a primeira, mostra aonde o segundo vetor base vai. Se isso parece estranho, é legal voltar e dar uma olhadinha no vídeo de revisão, ou talvez ver um pouco sobre o conteúdo que nós temos sobre a álgebra linear. Pois bem, para conseguir as coordenadas aqui, vamos fazer a mesma coisa. Vamos ver, primeiro de tudo, a mudança na direção x, o componente x desse vetor empurrado. Isso vai ser dado como uma mudança parcial no f₁, no componente x da saída. Aqui estamos olhando na saída da base. Temos f₁ e f₂. Isso traz a questão de qual mudança foi essa que foi gerada por uma pequena alteração na direção y. Então a direção em f₁ causada por um pequeno passo na direção y dividida pelo tamanhodesse pequeno passo e depois o componente y de nossa saída, o componente y do passo, que vai sair da base, que foi causado por um pequeno passo na direção de cima no espaço de entrada. Essa é a mudança no f₂, o segundo componente da nossa saída, causada por dy. E claro, isso tudo é bem específico ao ponto que registramos à direita. Iniciamos no ponto (-2,1). Cada uma dessas derivadas parciais nos diz para calcular isso no ponto (-2,1). Ao calcular cada uma no ponto (-2,1) você vai conseguir algum número. Isso vai dar uma matriz 2 por 2 bem concreta, que vai representar a transformação linear, que é essa caixinha que aparece quando aproximada. Essa matriz aqui, que está cheia de derivadas parciais, tem o nome bem especial. Ela é chamada de jacobiano, ou matriz jacobiana. Você provavelmente já tinha adivinhado isso. Um jeito de pensar sobre isso é que ela carrega todas as informações de diferencial parcial e leva em conta ambos desses componentes de saída, ambas possíveis saídas, e dá para você uma grade do que todas as derivadas parciais são. Porém, eu espero que você veja além de somente um jeito de guardar o que as derivadas parciais são. Tem uma razão de organizá-las desse jeito e isso cai na ideia de linearidade local. Se você entende que a matriz jacobiana é fundamentalmente suposta para representar o que uma transformação parece quando você aproxima em um ponto em específico, tudo começa a se juntar. No próximo vídeo vamos calcular e mostrar para você como é esse processo e como o resultado bate com a imagem que você vê. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!