Fórmula explícita do Laplaciano

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos dizer que você tenha uma função multivariável que dessa vez tem entradas dimensionais bem altas, então x₁, x₂ e vai, vai, vai, até que chegue em xₙ, n sendo um número longo. Nos últimos vídeos vem sendo falado sobre o operador Laplaciano, que é um jeito de pegar a sua função de valor escalar f o qual dará uma nova função de valor escalar e que também é como uma segunda derivada, porque pega a divergência do gradiente de sua função f. Então o gradiente de f dá um campo vetorial e a divergência disso nos dá um campo escalar. O que eu quero mostrar aqui é que existe uma outra fórmula que você provavelmente vai ver para esse operador Laplace. Primeiro vamos escrever aqui de forma abstrata como o gradiente de f iria se parecer. Iniciamos ao pegar esse operador del o qual vai ser um vetor cheio de operadores de diferencial parcial, parcial em relação a x₁, parcial em relação a x₂, indo até que chegue na parcial em relação à última variável de entrada. E então você multiplica pela sua função. O que terá no final serão todas as derivadas parciais de f, a parcial de f em relação à primeira variável e depois vai, vai, vai até conseguir a parcial derivada de f em relação à última variável, xₙ. A divergência disso... bem, para me salvar um pouco de escrever isso aqui, você vai pegar o operador ∇ [nabla] e pegar o produto escalar entre todo operador e esse vetor gradiente que temos aqui. O que você consegue no final é... Vamos iniciar multiplicando os primeiros componentes o que envolve pegar a derivada parcial em relação a x₁, a primeira variável da derivada parcial de f, em relação à mesma variável. Assim parece como a segunda derivada parcial de f em relação a x₁, a primeira variável. Depois você adiciona qual o produto entre esses dois próximos itens vai ser. Por razões bem semelhantes, isso vai parecer com a segunda parcial derivada de f em relação à segunda variável, parcial de x₂². E você fará isso com todos os outros até o último. Então temos mais coisas aqui, e uma outra série de coisas, e chegamos então na segunda derivada parcial de f em relação à última variável, parcial de xₙ². Esse é um outro tipo de formato que você provavelmente vai ver no operador Laplaciano. Algumas vezes vai ser escrito também de forma compacta. Então o Laplaciano de sua função f é igual a... Usando a notação sigma, diremos que a soma vinda de ⅈ é igual a 1, sabe? 1, 2, 3 até n. Então a soma disso até n de nossas segundas parciais derivadas, parciais ao quadrado de f com a variável ⅈ, então a soma disso até n de nossa segundas parciais derivadas, parcial ao quadrado de f com a variável ⅈ. Então estamos pensando aqui em termos de três variáveis: antes, x₁, x₂, x₃ iríamos escrever x, y e z, mas é mais comum escrever, geralmente, só xⅈ. Isso aqui é uma fórmula alternativa que você provavelmente vai ver para o operador de Laplace. Pessoalmente, eu sempre gosto de pensar sobre isso como pegar a divergência do gradiente de f porque você está pensando sobre o campo gradiente e a divergência disso corresponde com o máximo e o mínimo da sua função original. Inclusive foi isso que foi falado no vídeo da intuição inicial de Laplace, mas essa fórmula provavelmente é mais direta quando se diz para calcular, dado algum exercício que você venha a ter. Isso também deixa mais claro como o operador de Laplace é como uma extensão da ideia da segunda derivada. E é isso, pessoal. Espero que tenham aprendido e até a próxima!