Funções harmônicas

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Neste vídeo vamos falar sobre funções harmônicas. A função harmônica é um tipo bem especial de função multivariável e ela é definida utilizando o Laplaciano, aquele de que vínhamos falando nos últimos vídeos. Um Laplaciano, que denotamos com esse triângulo de ponta para cima, é um operador que você pega na função multivariável e pode ter duas ou até mesmo mil entradas. É um tipo de função multivariável com saída escalar. Falamos sobre isso nos últimos vídeos, mas como um lembrete, ele é definido utilizando a divergência do gradiente de f. É como se fosse uma segunda derivada, um jeito de expandir a ideia de segunda derivada e múltiplas dimensões. Mas, agora: sobre o que é a função harmônica? Ela aparece quando o Laplaciano é igual a zero em todos os possíveis pontos de entrada e o jeito que algumas pessoas usam para distinguir isso é escrever o símbolo de igual, mas com um traço extra. Um "triplo igual", digamos assim. Talvez representando o equivalente a zero. Realmente isso é apenas um jeito de enfatizar que é igual a zero em todos os possíveis pontos de entrada. Não é uma equação que você está resolvendo para conseguir que x e y sejam iguais a zero. É somente uma afirmação sobre a função. Por você ter acabado de começar a aprender sobre o operador de Laplace, é meio difícil já conseguir ver a lógica disso tudo, por isso vamos pensar o que significa isso para uma função de única variável. Se você tem uma função de única variável x e quer a segunda derivada, que é como que análogo ao Laplaciano, o que tudo isso vai significar, se é igual a zero? Nós integramos isso e pegamos a antiderivada para a única derivada de f. E agora nós nos perguntamos: que funções têm a derivada, que é zero? E eu respondo: as únicas são as constantes. Então "c" aqui representa alguma constante. Se você integrar isso de novo, dizendo que a função tem como sua derivada uma constante, será constante vezes x mais alguma outra constante "k". Basicamente, uma função linear. Dessa forma, pensamos em um gráfico que tem uma linha passando por ele, desse jeito. Realmente faz sentido se você pensar na interpretação geométrica da segunda derivada, pois caso você esteja olhando em uma função arbitrária que se curva, a segunda derivada é negativa quando a concavidade está para baixo. Então aqui quer dizer que a nossa segunda derivada não é zero, mas sim negativa. Aqui na direita, quando a concavidade está em cima e tem o formato de uma tigela, aqui é onde a nossa segunda derivada é positiva. Então, se estamos dizendo que a segunda derivada é sempre zero, ela não pode se curvar para cima e nem para baixo. Na verdade, ela não pode se curvar para lugar nenhum. Curvas não são permitidas aqui, e isso é independente da direção que inicia. Porém, assim que nós expandimos isso para uma função multivariável, as coisas ficam bem mais interessantes do que somente uma linha reta. Por exemplo, temos um gráfico de função multivariável, que por sinal é harmônica. Esse gráfico que estamos olhando é uma função de duas variáveis, no qual a função é f(x,y) é igual a “e” elevado a x multiplicado pelo seno de y. Conforme olhamos o gráfico, eu espero que isso faça um pouco de sentido para você do porquê eˣ vezes seno de y, pois veja: conforme é movido na direção positiva x, você tem essa forma exponencial, e isso corresponde com eˣ. Então quando você move x dá para entender o porquê de eˣ. Devemos notar também que ele está sendo multiplicado por algo que é uma função de y. Caso você esteja mantendo y constante, isso vai parecer uma constante, porém, se fosse uma constante negativa, caso o seno de y em algum ponto fosse negativo, toda a sua função exponencial iria para baixo e seria um tipo negativo de eˣ. Porém, se você o mover na direção y ao invés de ser puramente na direção x, com as entradas indo junto, seria pela direção positiva y. Nela temos esse formato sinusoidal, e faz sentido termos ele, pois temos esse seno de y. Dependendo do que eˣ for, a amplitude da onda senoidal vai ser bem alta em alguns pontos, indo para cima e para baixo. Mas se eˣ for bem baixo, dificilmente vai parecer que estaria balançando. Parece muito mais como somente algo plano. Neste gráfico que estamos olhando eu reafirmo agora: isso é harmônico. É uma função onde o Laplaciano é igual a zero, o que significa que nós vamos para cá calcular o Laplaciano de f que, para lembrar, tem uma fórmula diferente de somente pegar a divergência do gradiente, mas no fim vira a mesma coisa. Você pega a segunda derivada da função em relação a x e essa vai ser a primeira entrada. Depois você soma a segunda derivada em relação a x e sua função em relação à próxima variável. Você continua fazendo isso para todas as diferentes variáveis que tenha. Essa aqui é somente uma função de duas variáveis, então serão somente duas vezes. Tendo a afirmação que isso é sempre igual a zero, podemos dizer que, de forma equivalente, todas as entradas são iguais a zero. Eu deixarei isso para você calcular, pois pode ser um bom exercício para pegar o jeito de calcular o Laplaciano. Mas o que realmente queremos aqui é interpretar o que isso significa, pois você pode substituir tudo aqui e perceber que tudo bem, é zero, mas o que isso representa? Por ser um contexto de somente uma variável, uma vez que começamos pensando na interpretação geométrica da segunda derivada como essa concavidade, é como se fizesse sentido forçar isso a ser zero e recebermos uma reta. Mas, claramente, este não é o caso. É bem mais complicado do que uma linha reta. Por isso quero lhe dar um jeito diferente de pensar sobre a segunda derivada de única variável. Por um jeito você pode pensar na segunda derivada sendo essa concavidade, que vai para baixo. Porém, outra forma como você pode pensar sobre isso é dizendo que cada um dos vizinhos do seu ponto, se você for um pouquinho para a esquerda, ele teria um ponto de entrada. E se você fosse um pouquinho mais para a esquerda, o vizinho seria menor que ele. Se você fosse um pouco para a direita, o outro vizinho também é menor que ele. Então é um jeito de ver e dizer "Olhe, os vizinhos em seu ponto de entrada". Se afirmarmos que f de dupla primária tem uma entrada particular, como x₀, e é menor que zero, estamos dizendo que todos os vizinhos de x₀, todos os vizinhos desse ponto, são menores que ele. Caso faça algo semelhante em um ponto de concavidade positiva, onde é quase que um grande sorriso, dizemos que o vizinho da direita tem um valor maior e o vizinho da esquerda tem um valor maior ainda. Então a partir de certo ponto, onde a segunda derivada, ao invés de ser zero, acontece de ser maior que zero, isso significa que os vizinhos tendem a ser maiores que o ponto em si. Vamos dizer que você esteja olhando em uma circunstância que não seja idealizada nesse ponto, que por sinal acontece de ser um local mínimo. Digamos que você está olhando em um gráfico em um ponto de concavidade para cima. É um ponto onde está côncavo para cima, mas não é idealizado com o local mínimo nessa circunstância. Você está olhando para um ponto como esse, e se você olhar para o vizinho da esquerda terá um valor que será menor que o seu original. Então os vizinhos parecem menores que ele em sua esquerda. Porém, se você mover a mesma distância para a direita, o vizinho é maior, e se pegássemos o valor médio dos vizinhos, diríamos que o valor da direita é desbalanceado com o da esquerda. Também diríamos que na média os vizinhos são maiores do que o ponto em si. Então vamos dizer que o ponto de entrada é como x₀, o que significa que a segunda derivada da sua função, dado o ponto, é maior que zero. Então é uma concavidade positiva. Você também pode pensar nisso como uma medida, e uma boa pergunta de se fazer aqui é: seguindo pela média, os vizinhos são maiores ou menores que o ponto original? Estou dizendo isso porque essa ideia de comparar os seus vizinhos ao ponto original é um jeito bem melhor de contemplar o operador de Laplace no mundo multivariável. E vendo uma função com essa, ao dizer que estamos olhando-a a partir de cima, conseguimos um plano xy. Esse aqui é o eixo x e esse em cima é o eixo y. Vamos dizer que estamos olhando em um ponto de entrada específico. Com o Laplaciano, queremos iniciar pensando em um círculo de pontos ao redor, todos os vizinhos dele. Pense também como um círculo perfeito, então todos os pontos estão a uma distância específica. A pergunta que o operador de Laplace está fazendo aqui é: esses pontos vizinhos, na média, são menores ou maiores que nosso ponto original? Inclusive, esse foi um jeito que foi introduzido o Laplaciano no vídeo original, onde foi apresentada a lógica e foi trabalhada de forma intuitiva o operador de Laplace. A pergunta feita no vídeo foi: os pontos ao redor de tal entrada acontece de serem maiores ou menores que ele? Caso você esteja olhando para um ponto onde o operador de Laplace da sua função acontece de ser maior que zero, isso significa que todos os vizinhos tendem a ser, na média, maiores que o seu ponto, em especial se você estiver olhando em um ponto onde o Laplaciano da sua função é menor que zero. Irá aparecer como um local máximo, mas caso o Laplaciano seja maior que zero, irá aparecer como um local mínimo, já que todos os vizinhos seriam maiores do que ele. Mas o que o faz ser tão especial para as funções harmônicas é que você está dizendo que o valor da função, o valor do Laplaciano da função em cada possível ponto, é igual a zero. Então não importa qual ponto você escolha, os vizinhos dele irão ter, na média, o mesmo valor que ele. Dessa forma, a altura do gráfica acima desses vizinhos será, na média, a mesma. No gráfico vamos dizer que estamos olhando em um ponto de entrada, e o ponto de saída é esse aqui. Se olhar todo o círculo de seus vizinhos e projetar no gráfico, o que deve significar é que a altura de todos os pontos do círculo, na média, são as mesmas que no ponto. Não importa onde olhe, você terá a média. E novamente eu reforço que é legal dar uma olhadinha nessa função e calcular o Laplaciano para confirmar que realmente é zero. Mas o mais interessante aqui é que não é tão claro simplesmente olhando para essa fórmula de eˣ vezes seno de y. Não é nítido que a média do valor de um círculo de pontos de entrada sempre vai ser equivalente ao ponto no centro. Porém, com esse cálculo que não é tão complicado você consegue chegar nessa conclusão, o que já é ir bem longe. Isso sempre aparece na física, por exemplo na frequência em que alguma propriedade está mudando e se ela corresponde ao valor médio dos pontos ao redor dela. Desta forma, sempre quando você estiver relacionando vizinhos ao seu ponto original, o operador de Laplace entra. As funções harmônicas têm essa tendência de corresponder com a noção de estabilidade, mas não vou me aprofundar nisso aqui, pois isso já começa a entrar no tópico de equações de diferencial parcial. Enfim, ao menos no contexto do cálculo multivariável, eu espero que tenha dado uma luz sobre como interpretar esse operador e como interpretar as propriedades físicas e geométricas que implicam sobre uma função. Com isso, eu espero que tenham aprendido e até a próxima!