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Exemplo de cálculo de Laplaciano

Um exercício resolvido de cálculo do Laplaciano de uma função de duas variáveis. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? No último vídeo foi iniciada a intuição para o operador Laplaciano no contexto de uma função com esse gráfico e representando um campo gradiente. Aqui iremos pelo cálculo envolvendo isso. A função que tínhamos aqui era uma função de duas variáveis, definidas como f(x,y), que neste caso seria igual a 3 mais o cosseno de (x/2) multiplicado por seno (y/2). O Laplaciano que iremos definir com esse triângulo de cabeça para cima é um operador de f, e é definido por essa divergência. Então, seria ∇ vezes o gradiente, que é ∇f. [nabla] Duas diferentes as coisas estão acontecendo aqui, e a primeira coisa que precisamos fazer é pegar o gradiente de f. Para isso nós expandimos esse triângulo como um vetor cheio de operadores de diferencial parcial, ∂/∂x, ∂/∂y [parcial, parcial] e com o gradiente você visualiza multiplicando isso pela função. Se fizer isso vai parecer com o vetor cheio de derivadas parciais. Então você pega a parcial de f em relação a x e a parcial de f em relação a y. Esses são dois componentes diferentes nessa função de valor da vetorial, que é o gradiente. Em nosso exemplo específico, quando pegamos a parcial derivada de f em relação a x o que conseguimos é... Primeiro olhamos aqui. 3 parece uma constante, então nada acontece. O cosseno se divide no meio e pegamos, então, 1 dividido por 2. A derivada do cosseno é seno negativo. No seno negativo de (y/2), y parece uma constante, então nosso seno de (y/2) seria uma outra. Sendo assim, na nossa derivada nós só mantemos essa constante ali. Depois, para o segundo componente, a derivada parcial de f em relação a y. 3 ainda parece uma constante, e agora nossa cosseno de (x/2) parece uma constante porque no que se refere a y, x é uma constante, então o cosseno x é constante. Agora temos o seno de y que tem uma derivada do cosseno e também pegamos dele 1/2. Quando você pega a derivada de dentro e depois a de fora, é cosseno, independentemente do que estava ali. Neste caso, então, fica y/2, e estamos multiplicando pela constante original, cosseno de (x/2). Ainda temos nosso cosseno, já que era constante vezes variável, x/2. Esse, então, é o gradiente, e o nosso próximo passo é pegar a divergência disso. Com a divergência, vamos pegar o operador del e pegar o produto escalar com isso aqui. Com um pouco de espaço agora, iremos pegar o vetor, que é basicamente o mesmo que esse aqui. Eu digo vetor, mas é mais como se fosse uma coisa vetorial. Pois bem, ∂/∂x, ∂/∂y. Agora vamos pegar o produto escalar com ele. Então vamos copiá-lo aqui e deixar um pouco mais de espaço para podermos calcular. Quando vai pegar esse produto escalar você multiplica esses componentes no topo juntos. Então vamos pegar a derivada parcial em relação a x disso tudo e quando faz isso, você consegue... Bem, ainda temos aquele 1/2 e depois a derivada negativa de seno dividido por 2. Então esse 1/2 vai para fora quando você está pegando a derivada de dentro. A derivada de cosseno negativo e seno negativo, o cosseno negativo do que está dentro, então x/2, e claro, vamos ainda multiplicar por isso. Isso parece uma constante, o seno de (y/2). Multiplicamos por isso e depois colocamos isso, porque ele é como um produto escalar. Você adiciona isso ao que parece ao multiplicar esses dois próximos componentes. Então vamos colocar aqui 1/2 e depois do cosseno de (y/2). Quando feita a diferenciação, também teremos 1/2. Novamente, temos para fora 1/2 e a derivada do cosseno é seno negativo, então pegaremos o seno negativo e as coisas que estão dentro, neste caso y/2. Depois continuaremos multiplicando pela constante. No que se diz a respeito de y, cosseno de (x/2) é uma constante. Então multiplicamos isso por ela e depois essa é a divergência do campo gradiente. Então a divergência do campo gradiente de nossa função original nos dá o Laplaciano. De fato, poderíamos simplificar isso aqui porque os termos são idênticos, porém o ponto principal deste vídeo é como você vai por esse processo onde imagina pegar o gradiente de sua função e depois a divergência dela. É isso o que o operador de Laplace, o Laplaciano, é. É isso, pessoal. Espero que tenham aprendido, e até a próxima!