Intuição sobre o Laplaciano

o Olá pessoal tudo bem vamos falar aqui sobre o operador Laplace também conhecido como laplaciano e pois bem Olá parceiro a operadora de mesma forma que era com a divergência o gradiente a votação ou até mesmo as derivadas sabe aquelas coisas que você coloca em um tipo de função e que te retorna uma outra nova construção e sendo assim vamos dizer que temos uma função multivariável como é que recebe uma entrada bidimensional f de x e y e assim sendo você imagina o seu gráfico selo algo como isso Onde o espaço de entrada é esse plano XY cada um desses pontos x e y são. Aqui e daí a saída é dada pela altura do gráfico então o laplaciano DF é denotado com o triângulo de ponta para cima e ele vai te dar uma nova função e salário de x e y e essa função que ele vai nos dar recebe uma entrada bidimensional e traz como saída um número e ele é como se fosse uma derivada de segunda ordem porque ele é definido por você pegando a divergência do Gradiente a função f em uma notação mais comum aqui é pegar aquele triângulo de cabeça para baixo o na bula. Produto com na bula DF e vamos lembrar se f é uma função de valor escalar então o gradiente FT da o campo vetorial mas a divergência de um campo vetorial nos dá uma outra função de valor escalar E como foi dito antes agora um pouco mais pecado é por isso que ele é como se fosse uma segunda derivada mas prosseguindo vamos ver se conseguimos entender o que isso significa de uma forma mais intuitiva pois bem Gradiente nessa situação caso se lembre sobre nos dá o declive da descida mais ingrime e assim sendo é um campo vetorial na entrada no espaço x e cada um dos vetores aponta uma direção que você deveriam dar como mostra o gráfico é uma Colina e ele aponta a direção que você deveria ir para aumentar a sua direção mais rapidamente e se isso parece estranho ou não faz sentido para você seria bom dar uma olhada no vídeo em que falamos sobre gradientes e gráficos e como como funciona mas seguindo com esse gráfico que temos aqui quando você tem o topo de uma Colina e os pontos ao redor dela é direção que deveria andar eles apontam para o topo dessa Colina Mas se você tiver uma descida como essa aqui todas as direções na qual você deveria andar para aumentar o valor de função apontam para longe desse valor do qual poderíamos Chamar esse local de mínimo e agora vamos dar uma olhada no campo Gradiente sem o gráfico e agora vamos pensar no que divergência estaria representando e novamente de casa parece estranho confuso é realmente legal voltar e dar uma olhada nos vídeos sobre a divergência a divergência nos faz pensar que Isso corresponde a alguns fluxo de fluido e assim sendo Você imagina algo como moléculas da água e em qualquer momento estão se movendo conforme os vetores que estão anexadas então por exemplo se tivéssemos aqui a molécula da água e a reiniciar seu nesse ponto ela estaria indo junto com o vetor e depois iria seguir aqueles próximos iria terminar por fim nesse local Realmente parece que muitas moléculas a página esse local enquanto que em baixo as moléculas tendem a ir para longe quando seguem os vetores e quando ela se afastam dessa forma quando você tem todo esse conjunto de vetores se afastando Isso é uma indicação que a divergência positiva Porque estão divergindo para longe e aqui é divergência positiva no entanto no caso oposto onde as moléculas da água estão indo para o ponto Seria onde Nossa divergência seria negativa e indo numa outra área nesse Ponto Central temos moléculas que parecem estar indo na direção do ponto e outros se afastando e como não parece que as que estão saindo estou mais rápidas ou lentas do que em baixo a divergência nesse local seria então fala grosseira zero e agora vamos pensar no significado disso quando você pega divergência no campo Gradiente DF temos pontos onde divergem bastante pontos com muita divergência como esse EA pergunta que deve surgir aqui é porque esses vetores estão apontando para longe EA razão pela qual esse está acontecendo é porque a direção é mais ingrime teimoso em todo lugar estamos num vale aqui e ele direção oposta onde a divergência é negativa porque os pontos converge em direção a ele e perguntamos o porquê de apontar em direção a ele e bem esse é o campo Gradiente então eles estão apontando na direção desse local porque em qualquer lugar ao redor dele você deve andar na direção para seguir no morro em outras palavras a divergência do Gradiente é bem alta em Pontos mínimos pontos onde todo mundo ao redor tem de ser alto mas a divergência baixa e pontos máximos que aonde você calcula a função em todos os pontos ao redor do ponto de entrada e eles vão ao pequeno e esse operador de Laplace o laplaciano né É um tipo de medida de quanto o ponto mínimo é esse XY será bem positivo quando F calcular e tal ponto que era o valor menor se comparado com f avaliado nos pontos ao redor mas será bem negativo quando você calcular F nesse ponto ele tem de ser maior que seus vizinhos Isso deve ser considerado como algo análogo a segunda derivada no cálculo ordinário se você tem somente uma função de variável da segunda derivada f a segunda derivada F vai ser baixa será negativa nos pontos que parecem como local máximo mas por aqui a segunda derivada seria Positiva em Pontos que parecem com o cal menino e eu lá passeando é uma analogia de segunda derivada para funções de valores falarmos de variáveis e no próximo vídeo iremos ver isso e é isso Pessoal espero que tenha aprendido e até a próxima