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Cálculo multivariável
Intuição sobre o Laplaciano
Uma compreensão visual de como o operador de Laplace é uma extensão da derivada segunda de funções multivariáveis. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos falar aqui sobre o operador Laplace,
também conhecido como Laplaciano. O Laplaciano é um operador, da mesma forma que era com a divergência,
o gradiente, a rotação ou até mesmo as derivadas, sabe? Aquelas coisas que você coloca em um tipo de função
e que retornam uma outra nova função. Sendo assim, vamos dizer
que temos uma função multivariável, como f, que recebe uma
entrada bidimensional f(x,y). Assim sendo, você imagina o seu gráfico
sendo algo como isso, onde o espaço de entrada é esse plano xy. Cada um desses pontos (x,y)
são um ponto daqui e a saída é dada
pela altura do gráfico. Então, o Laplaciano de f
é denotado com o triângulo de ponta para cima, e ele vai nos dar uma nova função
escalar de (x,y). Essa função que ele vai nos dar
recebe uma entrada bidimensional e traz como saída um número. Ele é como uma derivada de segunda ordem porque é definido por você pegando a divergência
do gradiente de sua função f. Uma notação mais comum aqui é pegar aquele triângulo de
cabeça para baixo, ∇ (nabla), ponto, produto com ∇f. Vamos nos lembrar:
se f é uma função de valor escalar, então o gradiente f te dá o campo vetorial, mas a divergência de um campo vetorial
nos dá uma outra função de valor escalar. Como foi dito antes,
agora um pouco mais explicado, é por isso que ele é
como uma segunda derivada. Mas prosseguindo, vamos ver se conseguimos entender
o que isso significa de uma forma mais intuitiva. O gradiente nessa situação, caso se lembre,
nos dá o declive da descida mais íngreme. Assim sendo, é um campo vetorial na entrada,
no espaço x. Cada um dos vetores aponta uma direção
que você deveria andar, como mostra o gráfico. É uma colina e ele aponta a direção que você deveria ir para aumentar a sua direção mais rapidamente. Se isso parece estranho
ou não faz sentido para você, seria bom dar uma olhada no vídeo
em que falamos sobre gradientes e gráficos e como eles se relacionam. Seguindo, com esse gráfico que temos aqui, quando você tem o topo de uma colina, os pontos
ao redor dela e a direção em que deveria andar, eles apontam para o topo dessa colina. Mas se você tiver uma descida como essa aqui, todas as direções nas quais você deveria andar
para aumentar o valor de função apontam para longe desse valor, e poderíamos chamar
esse local de mínimo. Agora vamos dar uma olhada
no campo gradiente sem o gráfico e vamos pensar no que a
divergência estaria representando. Novamente, caso pareça
estranho ou confuso, é realmente legal voltar
e dar uma olhada nos vídeos sobre divergência. A divergência nos faz pensar
que isso corresponde a algum fluxo de fluido, e assim sendo, você imagina
algo como moléculas d'água que em qualquer momento estão se movendo
conforme os vetores em que estão anexadas. Então, por exemplo, se tivéssemos aqui a molécula
d’água que iniciasse nesse ponto, ela estaria indo junto com o vetor,
depois iria seguir aqueles próximos e iria terminar, por fim, nesse local. Realmente parece que muitas moléculas d'água
convergem nesse local, enquanto que embaixo as moléculas tendem a
ir para longe quando seguem os vetores. Quando elas se afastam dessa forma, quando você tem todo esse conjunto de vetores
se afastando, isso é uma indicação que a divergência é positiva
porque estão divergindo para longe e aqui a divergência é positiva. No entanto, no caso oposto,
onde as moléculas da água estão indo para o ponto, seria onde nossa divergência seria negativa. Indo em uma outra área, nesse ponto central, temos moléculas que parecem estar indo
na direção do ponto, e outras se afastando. Como não parece que as que estão saindo
estão mais rápidas ou lentas do que embaixo, a divergência nesse local seria, então,
de forma grosseira, zero. Agora vamos pensar no significado disso. Quando você pega a divergência
no campo gradiente de f, temos pontos onde divergem bastante, pontos com muita divergência, como esse. A pergunta que deve surgir aqui é: Por que esses vetores estão
apontando para longe? A razão pela qual isso está acontecendo é porque a direção da descida mais íngreme
tem morros em todo lugar. Estamos em um vale aqui. Indo em direção oposta,
onde a divergência é bem negativa porque os pontos convergem
em direção a ele, nos perguntamos o porquê
de apontar em direção a ele. Bem, esse é o campo gradiente, então eles estão apontando na direção desse local
porque em qualquer lugar ao redor dele você deve andar na direção
para seguir no morro. Em outras palavras, a divergência do gradiente
é bem alta em pontos mínimos, pontos onde todo mundo
ao redor tende a ser alto. Mas a divergência é baixa
em pontos máximos, que é onde você calcula a função em todos os pontos
ao redor do ponto de entrada e eles dão algo pequeno. Esse operador de Laplace, o Laplaciano, é um tipo de medida
de quanto um ponto mínimo é esse (x,y). Será bem positivo quando f
calculado em tal ponto der um valor menor se comparado com f
avaliado nos pontos ao redor, mas será bem negativo
quando você calcular f nesse ponto. Ele tende a ser maior que seus vizinhos, e isso deve ser considerado como algo análogo
à segunda derivada no cálculo ordinário, pois quando você tem somente uma função
de variável da segunda derivada f, a segunda derivada f vai ser baixa, será negativa nos pontos
que parecem como um local máximo. Mas por aqui a segunda derivada seria positiva
em pontos que parecem com o local mínimo. E o Laplaciano é uma analogia de segunda derivada
para funções de valor escalar multivariáveis. No próximo vídeo iremos ver isso. E é isso, pessoal. Espero que
tenham aprendido, e até a próxima!