Tratamento mais formal da regra da cadeia multivariável

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos realizar uma formalização da regra da cadeia multivariável Então por esse motivo eu diria que esse é um vídeo mais opcional Mas é interessante você assistir Se você tiver vontade de conhecer essa formalização nos últimos vídeos eu falei sobre essa regra da cadeia multivariável e falei algumas coisas que muitas pessoas podem não concordar por exemplo eu calculei a derivada de uma função em relação a t e aí multipliquei isso com uma quantidade infinitesimal de ti só que eu falei que esses detalhes podem ser cancelados Pode ser que algumas pessoas olhem para isso e acabem dizendo Ei Isso é uma derivada é um operador diferencial você está tratando isso de uma forma incorreta embora fazer isso através de uma ideia intuitiva seja algo muito bom é ideal que a gente tem o privado utilizando argumentos mais formais pensando nisso que eu quero fazer nesse vídeo é apresentar os argumentos formais da regra da cadeia multivariável e apenas para nos lembrar da configuração do que estamos falando vamos dizer que você esteja pensando em uma função com o valor vetorial ver onde isso recebe uma entrada ter que vivem uma reta numérica E aí a gente uma veia isso para algum tipo de espaço de Alta Dimensão no caso mais simples você pode pensar nisso como um espaço bidimensional Mas talvez seja um espaço tridimensional ou quem sabe um espaço com sem dimensões você não tem literalmente que está visualizando isso OK aí SF Nossa função f de alguma forma pega esse espaço de 100 dimensões ou bidimensional ou tridimensional ou seja lá o que for uma peia e leva para essa reta numérica Portanto o efeito geral da função formada por essa composição vai apenas receber o número verdadeiro e como saída o número real olhando isso a gente chega à conclusão que essa é uma função de variável única sendo assim se a gente quiser determinar a derivada dessa função a primeira coisa que vem à nossa mente é calcular a derivada comum ao invés da derivada parcial ou do Gradiente ou de algo parecido porém devido ao fato dessa função ter uma função intermediária e passar por um espaço multidimensional precisamos ter um Gradiente e uma derivada de valor vetorial bem como argumento formal a primeira coisa que você pode fazer é apenas escrever a definição formal de uma derivada que nesse caso é um limite definições de derivadas sempre vão ter algum tipo de limite com uma variável tendendo a zero e aqui você está vagamente pensando em H como sendo de te não é você pode escrever de te não tem problema mas é como usar o H só porque isso pode ser usado para qualquer que a quantidade diferencial aí lembre-se esse H tem que estar no denominador Por que você está pensando nisso como um de ti e no numerador colocamos essa função que terá como entrada a função intermediária de ter mais essa pequena variação Inter o que eu quero dizer é que você vai colocar aqui F mas não apenas dever de ter mas sim DVD ter mais H aí você subir traz disso O fdv de ter que é o valor original da função no ponto em questão então é basicamente isso que encontramos quando aplicamos a definição formal da derivada comum nessa função que possui uma composição mas e agora o que fazemos isso deve ser igual ao que bem eu acho interessante a gente pensar novamente na forma intuitiva aqui principalmente nas ideias que apresentamos quando a gente conversou sobre a regra da cadeia multivariável pela primeira vez você imagina que tá dando um pequeno empurrão de ter aqui em nosso entrada nós temos uma pequena variação na entrada isso acaba causando uma pequena variação no espaço intermediário de alguma forma podemos chamar essa variação de Dever ou seja uma pequena variação no vetor a forma como você pode pensar nisso é que você determina a derivada do valor vetorial em relação a pi E aí multiplica isso por Deter nós temos aqui uma espécie de constante de proporcionalidade entre o tamanho do empurrão em ter e o vetor resultante aí claro como temos essa expressão desse jeito a gente pode imaginar que estamos cancelando os detalhes como se tivéssemos uma fração bem eu já falei que essa não é a forma ideal de falar isso mas isso ajuda a compreender essas ideias aí agora você me pergunta de que forma essa variação devia vai causar uma deformação em F ou seja qual será a variação do espaço de saída F avaliação causada em efe na direção de dever por Qualquer que seja o vetor é por definição a derivada direcional tudo isso é apenas uma espécie de intuição mas como levamos isso tudo para a formalidade bem nesse espaço intermediário temos que lidar com a derivada do valor vetorial V portanto pode ser uma boa coisa apenas escrever essa definição não é então colocamos aqui do lado a definição da derivada da função de valor vetorial vir novamente teremos algo praticamente idêntico todas essas definições de derivadas realmente parecem ser a mesma coisa porque o que estamos fazendo é determinar o limite quando H tende a zero de a hora que estamos pensando no H como sendo o de te então H fica aqui no denominador e numerador bem como estamos querendo saber a respeito da variação de vídeo e ter colocamos aqui ver de ter mais h - o valor original DVD ter lembre-se que vende ter mais h&v de ter são vetores sendo assim quando você atinge o limite você está o o vetor limitante algo em seu espaço de Alta Dimensão não é apenas um número agora outra forma de escrever isso que de certa forma é mais útil Ou seja é mais fácil de manipular é dizendo que isso aqui não é igual ao limite desse valor então eu vou copiar tudo isso aqui e colocar aqui embaixo sendo assim o valor da nossa derivada vai ser igual a isso aqui Claro sujeito algum tipo de erro que eu vou chamar de e DH como se fosse uma função erro DH Provavelmente você já deve estar pensando que essa função de erro vai tender a zero quando H tender a zero não é bem É isso mesmo só que dessa forma que fica mais fácil de manipular as coisas tenho vou dar um pequeno espaço aqui e multiplicar os dois lados dessa expressão por H portanto essa é a nossa derivada de valor vetorial só que eu apenas reescrevi ela multiplicando por h não se esqueça que devemos pensar nesse H como um de ter OK sendo a e lá no fundo da sua mente você esteja pensando em cancelar SBT com esse h não é e um detalhe interessante é que você também já esteja visualizando na sua mente esse numerador aqui esse Verde ter mais H - VD tecendo de ver a variação em ver não é então pensando em tudo isso aqui a gente pode cancelar esse de T com esse H bem não o caso é que a diferença entre o que fizemos Antes quando cancelamos aquele T3 e o que temos aqui agora essa função de erro e que também tiramos tudo isso do limite Então não vamos cancelar nada eu também vamos multiplicar o h com essa função de erro aqui a também podemos escrever esse produto entre o h e a função de erro de outra forma existe uma convenção muito interessante em análise é que em vez de escrever isso a gente pode escrever aqui o ódio H Olha isso aqui não é literalmente uma função é apenas um substituto para Seja lá o que for qualquer função que seja é aquela tem que satisfazer a propriedade que quando assumirmos essa função e dividirmos ela por H isso vai tender a zero quando H tender a zero Ok porque acaba sendo verdade aqui porque você imagina pegar isso / h para cancelar sh E aí ter como resultado essa função de erro que vai tender a zero agora o que eu faço é usar toda essa expressão para encontrar o verde ter mais h e o motivo de fazer isso é que se a gente voltar aqui em cima a gente vai perceber que tem um ver de ter mais HQ na definição original Então essa é apenas uma forma da gente começar a desenvolver essa ideia um pouco melhor sendo assim há que eu escrevo que Verde ter mais h o valor de saída do pequeno empurrão é igual ao valor original de vídeo ter mais esse termo da derivada de ver em relação a t e você pode pensar nisso como quase um polinômio de Taylor onde isso é o termo de primeira ordem EA estamos a vale se multiplicamos isso com H pelo valor do empurrão mais o resto das coisas que apenas um pequeno ou é DH talvez aqui você deve estar pensando o seguinte não seria possível jogar fora esse óleo DH já que isso não é uma função real Ele simplesmente representa qualquer coisa talvez sejam valor absoluto como a magnitude porque nesse caso essa é uma quantidade com o valor vetorial E como você sabe esse é um vetor então o tamanho desse vetor dividido pelo tamanho DH tende a zero portanto Essa é a principal ferramenta que vamos acabar usando e essa é a forma de representar Verde ter mais H Agora se a gente voltar aqui para a definição original da derivada do valor do vetor eu vou copiar isso aqui e colar aqui essa é a definição original da derivada com a função composta agora quando eu reescrevo isso utilizando todas as manipulações que acabamos de fazer isso é realmente ainda um limite porque e vai tender a zero mas aqui quando eu coloco F eu não vou colocar mais o fdv de ter mais h eu vou colocar o que eu fiz aqui em cima sendo assim teremos FD Verde ter mais a derivada de ver em relação a ter avaliada em ter vezes h a novamente falando isso aqui é meio que um polinômio de Taylor temos aqui a indo mais ó DH Lembrando que isso tende a zero quando H tende a zero aí a gente subtrai tudo isso com fdv de ter não podemos esquecer que estamos dividindo tudo isso por H agora uma coisa interessante é que basicamente quando estamos calculando o limite com h tendendo a zero tudo que está aqui dentro acaba se Resumindo a vez de ter mais esse termo vetorial aqui porque é com h tendendo a zero essa componente ó DH tende a zero então podemos ignorar esse termo aqui aí temos isso aqui inserido nessa função não podemos esquecer que isso aqui é H vezes algum tipo de Vetor e inclusive se você se lembrar de nós Saulo em que eu apresentei a definição formal da derivada direcional isso aqui é exatamente a definição formal da derivada direcional temos aqui um limite com h tendendo a zero isso aqui está multiplicando uma certa quantidade vetorial esse vetor é um empurrãozinho no valor original e aí estamos dividindo tudo por H Então por definição tudo isso é a derivada direcional na direção da derivada da função de ter eu estou escrevendo velhinha ao invés de colocar o dever de ter aqui embaixo OK aí isso DF avaliando onde bem o lugar que estamos começando é apenas Verde ter então isso aí em vez de ter então é a resposta porque quando você avalia a derivada direcional a forma que você faz isso é determinar o gradiente DF avaliando em algum ponto inicial que nesse caso e a saída DVD ter aí você faz o produto escalar disso com a derivada e vetorial bem isso aqui é a regra da cadeia multivariável aí se você voltar aqui em cima e olhar tudo que a gente fez isso realmente combina com a ideia de um empurrãozinho e do resultado disso principalmente porque a razão pela qual pensamos em usar a derivada de valor vetorial ou é por causa dessa intuição EA razão de toda a manipulação que eu fiz é só porque eu queria ser capaz de expressar como é um empurrãozinho para entrada de ver e que isso nada mais é do que o valor original mais um certo o vetor aqui E esse foi um empurrão resultante no espaço intermediário eu queria expressar isso de uma forma formal e claro nós temos esse tipo de termo que expressa algo que diminui muito rápido mais uma vez que você expressa assim você acaba chegando a definição da derivada direcional sendo assim eu espero que esse vídeo tenha conseguido mostrar um pouco melhor esse Rigor matemático da regra da cadeia multivariável a um detalhe eu não posso deixar de mencionar não existe mais uma generalização da regra da cadeia multivariável só que para funções com valor vetorial eu vou falar com você sobre isso em outro momento Principalmente quando a gente tiver fazendo uma conexão entre o cálculo de múltiplas variáveis e algebra linear mas por enquanto isso é tudo que você precisa saber sobre a regra da cadeia multivariável que serve para os casos em que temos uma função composta com uma entrada e uma saída compostas por um número real eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima