Regra da cadeia multivariável

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos começar a conversar sobre a regra da cadeia multivariável e para começar Observe que eu escrevi aqui três funções diferentes a primeira uma função multivariável que tem uma entrada de duas variáveis x e y e uma única saída variável e igual a x ao quadrado vezes Y bem que você é apenas um número também temos outras duas funções aqui que são funções paramétricas de variáveis únicas o que eu quero fazer a começar a pensar sobre a composição dessas funções então primeiro vou colocar aqui FD na primeira componente eu vou colocar o valor da função x de ter então a gente substitui o resultado dessa expressão aqui na primeira componente aí na segunda componente temos o valor da função y de ter você pode pensar em ter como apenas estar vivendo em uma a América de algum tipo E aí temos o plano XY e que você sabe temos as coordenadas x e y e isso é que formam o espaço bidimensional temos aqui também a saída para qualquer valor de F para toda essa função para toda essa composição de funções você está pensando em x DT Y DT como tendo um único ponto e ter meio que se movendo aqui para o espaço bidimensional em algum lugar e Então a partir daí Nossa função multivariável Tira e isso aqui de volta sendo assim essa daqui apenas uma função variável única nada muito grande acontecendo o enterro de onde você começa e onde você vai parar a gente tem apenas as coisas diferentes acontecendo no meio disso tudo sabendo disso que basicamente eu quero fazer aqui é calcular a derivada dessa função se eu calcular isso a gente vai ter apenas uma derivada comum não é uma derivada parcial porque essa é apenas uma função de única variável uma entrada variável já saiu da variável e como dele vamos isso bem existe uma regra especial que chamamos de regra da cadeia é a regra da cadeia multivariável mas você não precisa saber disso agora então vamos avaliar tudo isso aqui e eu vou te mostrar que você realmente não precisa disso não é que eu nunca você vai precisar é que para cálculos como esse aqui você consegue fazer isso sem a ideia da regra da cadeia multivariável ela é uma ferramenta teórica é muito útil principalmente para quando a gente tem a composição de uma função que acaba implicando em derivadas no mundo multivariável mas vamos fazer isso aqui da forma clássica que a gente conhece Tudo bem então vamos começar apenas substituindo as coisas aqui se eu tenho x DT Y DT a primeira coisa que eu preciso fazer é escrever ef e em vez de x de ter eu escrever o cosseno de ter no lugar já que essa é a função que eu tenho para atingir ter aí eu também substitui Y DTP Luciano de ter e claro a gente espera E aí a partir daí o podemos ir para a definição de f de x e y sendo igual a x ao quadrado vezes Y Isso significa que a gente precisa pegar essa primeira componente aqui elevar ao quadrado Então vamos pegar essa primeira componente que é o cosseno de ter elevar ao quadrado sendo assim temos que isso é igual ao cosseno de ter ao quadrado vezes a segunda componente que nesse caso é o seno de ter e claro nós queremos derivar e isso provavelmente agora você deve estar se perguntando ok Porque você está sendo mostrado no vídeo Isso é apenas uma forma de obter a primeira derivada em uma derivada comum senha basicamente isso mas o padrão que vamos ver vai nos levar para a regra da cadeia multivariável e realmente vai ser muito surpreendente quando você ver isso Nesse contexto porque vai sair de uma maneira que você não esperaria enfim continuando nosso trabalho aqui quando a gente deriva isso a gente vai usar a regra do produto o primeiro vezes o segundo mas a derivada do segundo vezes o primeiro ou vice-versa nesse caso o primeiro termo é o cosseno ao quadrado de ter a gente vai deixar ele do jeitinho que está ou seja Vamos colocar aqui o cosseno ao quadrado de ter aí multiplicamos isso pela derivada do segundo que nesse caso é a derivada do seno de ter que é o cosseno de ter mais tomamos isso com o segundo termo que é o seno de ter vezes a derivada do primeiro termo para derivar esse primeiro termo precisamos utilizar a regra da cadeia olha aqui é uma regra da cadeia de uma única variável para isso a gente calcular derivada da função externa assim teremos o dois aqui na frente como se a gente tivesse derivando um x ao quadrado e colocando dois na frente do X aí colocamos o cosseno de ter aqui aí multiplicamos isso com a derivada da função interna que nesse caso é a derivada do Cosseno de ter a derivada do Cosseno de ter é o seno negativo de ter bem vamos nos livrar desses parentes aqui um deles não é então eu vou reescrever tudo isso aqui só que um detalhe eu não vou reescrever de qualquer maneira porque é um certo padrão aqui que eu quero deixar bem claro então essa primeira parte eu vou reescrever exatamente do mesmo jeito eu vou colocar aqui o cosseno ao quadrado de ter vezes o cosseno de ter e aqui eu vou colocar o 2 na frente dessa parte aí coloca o cosseno de ter vezes o seno de te vejo sendo negativo de ter portanto Essa é a composição de funções que no final das contas acaba sendo a derivada de uma função de variável única mas ela é uma espécie de derivada de duas variáveis diferentes sabendo disso eu quero fazer uma observação em termos das derivadas parciais de efe então eu vou copiar esse cara e colocar aqui embaixo Ok se eu fizer aqui a derivada parcial em relação a x ou seja parcial F parcial x eu tenho que tratar o Y como uma constante certo aí o cálculo a derivada de x ao quadrado e aí obtenho 2x e depois disso eu multiplico com essa constante que é y agora fazendo a derivada parcial de f em relação a y o x que precisa ser considerado uma constante e o y uma variável assim é o de levar essa função em relação à Y temos x ao quadrado sendo uma constante então colocamos isso aqui e aí de Levamos um Y que nesse caso é um x ao quadrado vezes um é apenas x ao quadrado A gente pode observar esse padrão aqui na nossa derivada Se você olhar para esse duas vezes x y Você pode ver isso aqui onde o cosseno corresponde a X eoceno corresponde a y temos isso aqui e o mesmo com x ao quadrado aqui agora que tal realizar a derivada de nossas funções intermediárias podemos derivar X em relação até que nesse caso é a derivada do Cosseno de ter que vai ser apenas os e no negativo de ter aí de levando também o y em relação a t a gente vai ter a derivada do seno de que e repare que esses caras também aparecem aqui Você viu se eu não negativo aqui e você vê o cosseno aparecendo aqui também isso é muito legal não é observando isso a gente pode generalizar e reescrever a derivada que dessa função pelo menos para esse exemplo específico temos essa parte aqui sendo a derivada parcial de f em relação à Y esse outro cara aqui o cosseno de ter foi a derivada de y em relação a ter de forma semelhante temos aqui toda essa parte correspondendo a derivada parcial de f em relação a x e essa parte final oceano negativo de ter corresponde a derivada de x em relação a t e claro quando eu escrevo essa parcial F parcial y o que eu realmente quero dizer é que quando você substituiu no x e y as duas funções de coordenadas x dty de ter você colocou hoje ter no lugar de x ao quadrado e aí encontrou o cosseno ao quadrado e a mesma coisa que o substituiu todas as coisas enfim última análise você acaba tendo uma função de ter concluindo tudo isso aqui tem o nome isso aqui é a regra da cadeia multivariável e ela é importante o suficiente para a gente vai escrever tudo isso aqui deixar bem guardado que a gente quer calcular a derivada em relação a t de uma composição que possui uma função multivariável que nesse caso aqui é de apenas duas variáveis x e y onde estamos substituindo aqui XY por duas funções intermediárias x DT Y DT cada uma das quais com apenas uma variável O resultado vai ser igual a a derivada parcial de f em relação a x vezes a derivada de x em relação a t mais a derivada parcial de f em relação a y x a derivada de y em relação a t então toda essa expressão aqui é o que você pode chamar de versão simples da regra da cadeia multivan E é claro meu amigo minha amiga existe uma versão mais geral e vamos construir isso depois mas esse é o exemplo mais simples que você pode pensar onde você começa com uma dimensão aí você se move para duas dimensões de alguma forma e aí depois se move para uma dimensão novamente no próximo vídeo eu vou falar sobre a intuição do porque isso aqui é verdade Afinal a que eu apenas peguei um exemplo eu mostrei que encontramos esse padrão nesse exemplo Mas é claro que existe uma linha de raciocínio muito boa para isso aqui ter acontecido eu também vou falar sobre isso de uma forma mais generalizada Onde vamos começar usando uma notação vetorial mas aí acaba que no final teremos algo bem mais limpo enfim eu vou dar uma volta mas vamos formalizar tudo isso certinho OK eu espero que você tenha compreendido tudo que a gente conversou aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima