Regra da cadeia derivadas direcionais multivariáveis

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a regra da cadeia multivariável e as derivadas direcionais. No último vídeo, eu apresentei a forma vetorial da regra da cadeia multivariável e, apenas como uma forma de relembrar isso, eu apresentei esta função "f", que neste caso tem como entrada um espaço de 100 dimensões. Você consegue imaginar isso? Um espaço de 100 dimensões? Bem, eu não consigo. Mas, em princípio, vamos pensar em uma região que tem 100 dimensões. Se você quiser deixar as coisas um pouquinho mais concretas, você pode pensar em apenas duas dimensões. Mas este foi o exemplo que eu apresentei. Esta é uma função de valor escalar. Ela tem uma saída em uma reta numérica. O que a gente faz aqui é compor esta função com uma outra função de valor vetorial, que tem como entrada um único número "t". A saída desta função com essa entrada está em algum lugar dimensional muito alto, que consideramos ter muitos vetores e que você obtém tudo isso a partir de uma única variável, um único número. A forma que escrevemos isso é dizendo que "f" é composto pela saída de "v", que é composto por "t". Então, temos que "f" é composto por v(t). E é isso que estamos interessados em derivar. Sendo assim, a derivada desta composição é igual ao produto escalar entre o gradiente de f(v(t)) e a derivada desta função vetorial "v". Essa derivada da função vetorial significa que você vai derivar cada uma das componentes do vetor. Sendo assim, você pega isto e deriva em relação a "t". Ou seja, você vai pegar cada uma destas componentes e vai derivar. Sendo assim, teremos aqui dx₁/dt, depois dx₂/dt e assim sucessivamente até chegar na centésima componente: dx₁₀₀/dt. Esta é a forma vetorizada da regra da cadeia multivariável. O que eu quero fazer aqui é mostrar como isto se parece muito com uma derivada direcional. Se você ainda não assistiu à aula de derivada direcional, eu aconselho que faça isso. Mas, se você já assistiu, vai lembrar que o princípio da derivada direcional é que, se você está em um espaço de entrada de "f" e der um leve empurrão em um ponto, formando algum tipo de vetor que aqui eu vou chamar de "w", porque já usei o "v" antes. Lembre-se: isto não é uma função, é apenas um vetor. Aí, meu amigo ou minha amiga, você sempre faz aquela velha pergunta: como esse pequeno empurrão, representado por "w", vai afetar na saída de "f"? Ou qual será a variação provocada em "f"? A gente consegue responder isso através da derivada direcional. E para representar essa derivada direcional, a gente coloca aqui o nabla (∇), que é a derivada direcional na direção de "w" da função "f" que está sendo avaliada em algum ponto. Como aqui nós temos um espaço de 100 dimensões, eu vou ter um vetor de 100 dimensões. Para representar isso, eu vou colocar aqui um vetor "p" como sendo o ponto de entrada. E isso é igual ao gradiente de "f" avaliado nesse mesmo ponto de entrada. Só para ficar claro: aqui nós estamos pensando em algum um vetor no ponto de entrada, que neste caso é "p". Só que o pequeno empurrão é realizado a partir do ponto, e é representado pelo vetor "w". Aí fazemos o produto escalar entre isso e o próprio vetor "w", o vetor que representa a direção do empurrão. Repare que isso você parece muito com a regra da cadeia multivariável aqui, exceto que, em vez de "w", estamos calculando a derivada da função vetorial "v". Sabendo disso, a gente pode dizer que toda esta coisa aqui é a derivada direcional na direção de v'(t). Eu sei, isto é um pouquinho confuso. Afinal, temos uma derivada direcional na direção de uma derivada? Para pensar nisso, a gente tem que fazer uma pergunta. Qual é o ponto que estamos calculando essa derivada direcional na direção de uma derivada de "f"? Bem, é onde quer que a saída de "v" esteja. Então, isto tudo aqui é muito compacto, está dizendo pouca coisa. Mas uma forma de pensar nisso é que aqui temos um v(t). Conforme você muda o "t", meio que isto se move através deste espaço de alguma forma. E cada um destes pontos de saída representa o vetor v(t) em algum ponto. Sendo assim, o que representa a derivada disto? Bem, a derivada é o vetor tangente a esse movimento. Assim, o vetor tangente ao movimento está neste espaço aqui também. E é assim que interpretamos o v'(t), que é a derivada de "v" em relação a "t". Agora, por que isso deve fazer sentido? De que forma a derivada direcional na direção de v'(t) (essa variação para a função intermediária "v") tem algo a ver com a regra da cadeia multivariável? Bem, lembre-se que o que queremos saber aqui é de que forma um pequeno empurrão em "t", uma pequena variação no valor de "t", vai alterar o resultado depois da composição. Em um determinado ponto, aquele pequeno empurrão em "t" causa uma variação na direção de v'(t). Esse é todo o significado desta derivada de valor vetorial. Você altera o "t" um pouquinho e isso vai te dizer como você vai se mover no espaço de saída. Aí você vai fazer uma pergunta agora: "Ok, se eu tenho uma pequena variação neste espaço intermediário de 100 dimensões, como isso vai influenciar a saída de 'f' com base apenas no comportamento da função multivariável 'f'?" Bem, isso é o que a derivada direcional está perguntando. Se você der um leve empurrão na direção de algum vetor (neste caso eu escrevi v'(t) aqui, mas geralmente você pode dizer que é qualquer vetor "w"), você vai dar um leve empurrão aqui. Teremos este v'(t). E é importante saber o tamanho desse v'(t). Se você estiver se movimentando muito rápido, você espera que a variação aqui seja maior. Então, sim, o tamanho de v'(t) vai ser muito útil aqui. É a derivada direcional que está dizendo para você o tamanho da variação de "f" como uma proporção do vetor direcional. Usando uma outra notação, você poderia escrever isto dizendo ∂f/∂ qualquer que seja o vetor. Isto basicamente está dizendo para você o tamanho da relação entre esse vetor e a saída. Está medindo a proporção entre essas duas coisas. Eu acho que essa é uma bela forma de entender a regra da cadeia multivariável, porque dá essa ideia de que se você está pensando em v(t) e você pensar em mover um pouco isso, mudar a direção e a velocidade enquanto você se movimenta nesse espaço, é isso que vai determinar a variação na saída da função "f". Bem, eu espero que isso te ajude a ter um entendimento melhor da derivada direcional e da regra da cadeia multivariável. Afinal, isso é uma daquelas pequenas interpretações bem legais que vemos em cálculo. Espero que você tenha compreendido tudo o que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!