Intuição sobre a regra da cadeia multivariável

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos continuar conversando sobre a regra da cadeia multivariável no último vídeo eu apresentei para você a regra da cadeia multivariável mas aqui agora eu quero explicar um pouco mais do que leva essa derivada ter essa resposta ou esse padrão de resposta a forma como devemos pensar sobre essa expressão aqui é que se você tem essa função multivariável f de x y e que você vai substituir algumas coisas aqui aí apenas para essa função aqui onde estamos pensando em um espaço bidimensional repare que temos o nosso plano XY aqui nós vamos mapear esse plano e levar para uma reta de números reais podemos pensar nessa reta como a saída da função f então de alguma forma toda a nossa função tira coisas desses o vídeo mensional e leva para essa saída também podemos pensar em uma outra reta aqui em cima aqui nesse caso é o ter onde temos vários números aí aqui temos Essas funções separadas x dty de ter onde cada uma delas terá o mesmo valor para uma entrada específica ou seja Essas funções não estão agindo com diferentes entradas sabe como seu xixi se tivesse uma entrada e o Y não tivesse outra Não elas agem com a mesma entrada então elas pegam algum ponto específico e levam para algum lugar aqui nesse espaço que é a saída dessas funções Aí temos essa única variável sendo trabalhada nesse espaço bidimensional que acaba resultando nessa reta aqui embaixo o que é a saída DF apesar da entrada e da saída terem variáveis únicas temos coisas multidimensionais aqui no meio é então se a gente pensar sobre a derivada disso Como podemos fazer essa interpretar a partir desse diagrama que eu desenhei aqui se a gente observar aqui em cima temos que deter é uma pequena variação em ter certo podemos pensar nisso como sendo um pequeno empurrão algo que vai mudar a entrada original o empurrar muito pequeno em ter isso claro vai acabar alterando um pouquinho é saiu da intermediária no plano XY novamente você pode pensar nisso como um pequeno empurrão esse empurrão super pequeno vai promover um pequeno empurrão aqui no espaço de saída um pequeno empurrão em alguma direção que Vai resultar em uma variação é quem f alguma variação baseada nas propriedades diferenciais da própria função multivariável a gente pensar sobre isso essa variação pode ser dividida em Componentes aqui temos uma componente de x que corresponde a variação na direção x e aqui temos uma pequena variação na direção Y por isso temos um de y aqui só que essa não a variação arbitrária em x ou em Y é uma variação que foi causada por um de sendo assim eu posso vir aqui do lado e dizer que deixes é causado por um de Ourém para fazer isso é preciso que a gente tem um DxD ter é isso de fato aqui nos diz que se você der um pequeno empurrão Inter a componente x vai sofrer uma variação inclusive você pode pensar nisso como se os dois de te Se cancelar sem E aí no final você acaba ficando com apenas de X Mas você realmente precisa dizer que se a um empurrão em ter isso resulta em uma variação em x e essa é a derivada que nos informa a proporção entre essas variações da mesma forma essa variação é que é em Y vai ser de alguma forma proporcional a variação Inter e essa proporção é dada pela derivada de y em relação a ter novamente você pode pensar nisso aqui como se você estivesse cancelando esses detalhes mais claro não vamos fazer isso e é por isso que a escrita em forma de fração que é anotação desenvolvida por leibniz é realmente muito útil um detalhe importante é que apesar da gente tratar isso aqui como uma fração e isso não é isso é apenas uma forma útil de visualizar as coisas mas não é ideal falar isso quando você utilizar argumentos de mais formais Inclusive eu vou formalizar tudo isso melhor depois mas para começar a gente pode pensar nessa ideia de fração que de certa forma é até melhor que a ideia de variações com pequenos empurrões Mas como eu disse Essa não é a melhor forma de falar inclusive você vai ver muito de matemáticos e balançando a cabeça quando você falar que deixe de ter é uma fração entre o DX e o DT em todo caso isso te dá uma ideia do quanto Esse de x e esse de y variam e depois do quanto eles alteram na saída F pensando nisso você pode fazer a seguinte pergunta se a gente tiver um hum hum dado aqui em x um empurrão DX Quanto isso vai mudar na saída f bem esse é o significado da derivada parcial não é se a gente falar que temos a derivada parcial de f em relação AX Isso significa que se você der um pequeno empurrão de tamanho DX essa relação parcial f-pace ao x fornece para você a proporção da variação na saída que você deseja que nesse caso é o DF Sendo assim você pode pensar nisso aqui como DX cancelando parcial x ou você pode dizer que esse é um pequeno empurrão em x e que isso Vai resultar em alguma variação em efe a gente não sabe qual é o valor da variação mas essa relação de derivada permite que você descubra isso da mesma forma você pode chamar isso aqui de variação em F causada por x ou devido a DX Essa não é a única variação acontecendo no espaço de entrada você também tem outra variação em efe que ocorre devido a d i y A vida é essa pequena mudança em Y nós sabemos que isso é proporcional a essa variação em y e que a constante de proporcionalidade por assim dizer é parcial f-pace ao Y ou seja quando você dá um empurrão e som de alguma forma isso altera o f e essa derivada fornece a proporção entre essas variações então no final das contas se você colocar tudo isso junto você vai dizer que existem duas coisas ficar usando avaliação final em F sendo assim ao juntar tudo isso a gente vai conseguir saber qual é a variação total em efe então eu posso vir aqui do lado e dizer que DF é igual ou causada por parcial F parcial x E aí multiplicamos isso pelo DX que temos aqui mas a gente sabe que o DX a variação em x foi causada pelo de te pela variação Inter em que esse de X = DX DT e de forma semelhante temos também uma avaliação em ef devido a uma variação em Y Só que essa variação em Y também foi ocasionada por um de ter em que esse de y é igual a essa proporção de y DT DT lembre-se que o dyd teu que nos dá a proporção da variação entre o de y e o DP quando você adiciona esses dois tudo que está acontecendo está conectado tudo isso influencia na variação final em F agora que tal a gente pegar toda essa expressão aqui dividir por deter a gente pode apagar esses dentes aqui aí a gente divide o DF por deter isso que nós temos aqui é a regra da cadeia multivariável é a mesma expressão que encontramos antes repare que eu apenas escrevi a mesma coisa de novo enfim eu espero que isso te deu um pouco mais tanto lhe são sobre essa ideia de que você está comprando diferente os pequenos empurrões e porque é bom pensar dessa forma Claro você é uma forma em que se parcial cancelo de x e esse parcial cancelo de y aí você acaba ficando apenas com uma variação de f em relação a ter mas eu gosto de manter essas coisas aqui pensar que elas juntas provoca uma variação parcial ief de forma que todas juntas vão provocar uma variação final total em F enfim essas ideias são muito boas para que você compreenda bem a ideia de regra da cadeia multivariável Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima