Intuição sobre a regra da cadeia multivariável

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar conversando sobre a regra da cadeia multivariável. No último vídeo, eu apresentei para você a regra da cadeia multivariável. Mas agora, quero explicar um pouco mais do que leva essa derivada a ter essa resposta, ou esse padrão de resposta. A forma como devemos pensar nesta expressão é que, se você tem essa função multivariável f(x, y), em que você vai substituir algumas coisas aqui, apenas para esta função, onde estamos pensando em um espaço bidimensional. Repare que temos o plano xy aqui. Nós vamos mapear este plano e levar para uma reta de números reais. Podemos pensar nessa reta como a saída da função "f". Então, de alguma forma, toda a função tira coisas deste espaço bidimensional e leva para esta saída. Também podemos pensar em outra reta aqui em cima, que neste caso é o "t", onde temos vários números. E aqui, temos estas funções separadas: x(t) e y(t), onde cada uma delas terá o mesmo valor para uma entrada específica. Ou seja, estas funções não estão agindo com diferentes entradas, como se o "x" tivesse uma entrada e o "y" tivesse outra. Não! Elas agem como a mesma entrada. Então, elas pegam algum ponto específico e levam para algum lugar neste espaço, que é a saída dessas funções. Aí, temos esta única variável sendo trabalhada neste espaço bidimensional, que acaba resultando nesta reta aqui embaixo, que é a saída de "f". Apesar da entrada e da saída terem variáveis únicas, temos coisas multidimensionais aqui no meio. Então, se a gente pensar na derivada disso, como podemos fazer essa interpretação a partir deste diagrama que eu desenhei aqui? Se a gente observar aqui em cima, temos que d(t) é uma pequena variação em "t", certo? Podemos pensar nisso como sendo um pequeno empurrão, algo que vai mudar a entrada original, um empurrão muito pequeno em "t". Isso, claro, vai acabar alterando um pouquinho a saída intermediária no plano xy. Novamente, você pode pensar nisso como um pequeno empurrão. Esse empurrão super pequeno vai promover um pequeno empurrão aqui no espaço de saída, um pequeno empurrão em alguma direção que vai resultar em uma variação aqui em "f". Alguma variação baseada nas propriedades diferenciais da própria função multivariável. Se a gente pensar nisso, essa variação pode ser dividida em componentes. Aqui temos uma componente dx, que corresponde à variação na direção "x", e aqui temos uma pequena variação na direção "y", por isso temos um dy aqui. Só que esta não é uma variação arbitrária em "x" ou em "y". É uma variação que foi causada por um dt. Sendo assim, eu posso vir aqui do lado e dizer que dx é causado por um dt. Porém, para fazer isso, é preciso que a gente tenha um dx/dt. É isso, de fato, o que nos diz que, se você der um pequeno empurrão em "t", a componente "x" vai sofrer uma variação. Inclusive, você pode pensar nisso como se os dois dt se cancelassem. E aí, no final, você acaba ficando apenas com dx. Mas você realmente precisa dizer que, se há um empurrão em "t", isso resulta em uma variação em "x". E esta é a derivada que nos informa a proporção entre essas variações. Da mesma forma, esta variação aqui em "y" vai ser, de alguma forma, proporcional à variação em "t". E essa proporção é dada pela derivada de "y" em relação a "t". Novamente, você pode pensar nisto como se você estivesse cancelando estes dt. Mas claro, não vamos fazer isso. É por isso que a escrita em forma de fração, que é a notação desenvolvida por Leibniz, é realmente muito útil. Um detalhe importante é que, apesar da gente tratar isto como uma fração, isto não é. Isto é apenas uma forma útil de visualizar as coisas, mas não é ideal falar isso quando você utilizar argumentos mais formais. Inclusive, eu vou formalizar tudo isso melhor depois. Mas, para começar, a gente pode pensar nessa ideia de fração, que de certa forma é até melhor que a ideia de variações com pequenos empurrões. Mas, como eu disse, esta não é a melhor forma de falar. Inclusive, você vai ver muito de matemáticos balançando a cabeça quando você falar que dx/dt é uma fração entre o dx e o dt. Em todo caso, isso te dá uma ideia do quanto este dx e este dy variam e, depois, o quanto eles alteram na saída "f". Pensando nisso, você pode fazer a seguinte pergunta: Se a gente tiver um pequeno empurrão dado aqui em "x", um empurrão dx, quanto isso vai mudar na saída "f"? Bem, esse é o significado da derivada parcial, não é? Se a gente falar que tem a derivada parcial de "f" em relação a "x", isso significa que, se você der um pequeno empurrão de tamanho dx, essa relação ∂f/∂x fornece para você a proporção da variação na saída que você deseja, que neste caso é o df. Sendo assim, você pode pensar nisto como dx cancelando ∂x. Ou você pode dizer que este é um pequeno empurrão em "x" e que isso vai resultar em alguma variação em "f". A gente não sabe qual é o valor da variação, mas essa relação de derivada permite que você descubra isso. Da mesma forma, você pode chamar isto de variação em "f" causada por "x", ou devido a dx. Esta não é a única variação acontecendo no espaço de entrada. Você também tem outra variação em "f", que ocorre devido a dy, devido a esta pequena mudança em "y". Nós sabemos que isso é proporcional a essa variação em "y", e que a constante de proporcionalidade, por assim dizer, é ∂f/∂y. Ou seja, quando você dá um empurrão em "y" de alguma forma, isso altera o "f". E essa derivada fornece a proporção entre essas variações. Então, no final das contas, se você colocar tudo isso junto, você vai dizer que existem duas coisas causando a variação final em "f". Sendo assim, ao juntar tudo isso, a gente vai conseguir saber qual é a variação total em "f". Então, eu posso vir aqui do lado e dizer que df é igual ou causada por ∂f/∂x e aí multiplicamos isso pelo dx que temos aqui. Mas a gente sabe que o dx, a variação em "x", foi causada pelo dt, pela variação em "t", em que esse dx é igual a dx/dt dt. De forma semelhante, temos também uma variação em "f" devido a uma variação em "y". Só que essa variação em "y" também foi ocasionada por um dt, em que esse dy é igual a essa proporção dy/dt dt. Lembre-se que o dy/dt é o que nos dá a proporção da variação entre o dy e o dt. Quando você adiciona estes dois, tudo o que está acontecendo está conectado. Tudo isso influencia na variação final em "f". Agora, que tal a gente pegar toda esta expressão e dividir por dt? A gente pode apagar estes dt aqui. Aí, a gente divide o df por dt. E isso que nós temos aqui é a regra da cadeia multivariável. É a mesma expressão que encontramos antes. Repare que eu apenas escrevi a mesma coisa de novo. Enfim, eu espero que isso te dê um pouco mais de intuição sobre essa ideia de que você está compondo diferentes pequenos empurrões e por que é bom pensar dessa forma. Claro, você pode ver isso de uma forma em que este parcial cancela o dx e este parcial cancela o dy. Aí você acaba ficando apenas com a variação de "f" em relação a "t". Mas eu gosto de manter essas coisas aqui e pensar que elas, juntas, provocam uma variação parcial em "f", de forma que todas juntas vão provocar uma variação final total em "f". Enfim, essas ideias são muito boas para que você compreenda bem a ideia de regra da cadeia multivariável. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!