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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 5: Regra da cadeia multivariável- Regra da cadeia multivariável
- Introdução à regra da cadeia multivariável
- Intuição sobre a regra da cadeia multivariável
- Regra da cadeia multivariável
- Forma vetorial da regra da cadeia multivariável
- Regra da cadeia derivadas direcionais multivariáveis
- Tratamento mais formal da regra da cadeia multivariável
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Intuição sobre a regra da cadeia multivariável
Tenha uma ideia do que as múltiplas variáveis estão realmente dizendo, e sobre como pensar em vários "empurrões" no espaço as tornam intuitivas. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar conversando
sobre a regra da cadeia multivariável. No último vídeo, eu apresentei para você
a regra da cadeia multivariável. Mas agora, quero explicar um pouco mais
do que leva essa derivada a ter essa resposta, ou esse padrão de resposta. A forma como devemos
pensar nesta expressão é que, se você tem
essa função multivariável f(x, y), em que você vai substituir algumas coisas aqui, apenas para esta função, onde estamos
pensando em um espaço bidimensional. Repare que temos o plano xy aqui. Nós vamos mapear este plano
e levar para uma reta de números reais. Podemos pensar nessa reta
como a saída da função "f". Então, de alguma forma, toda a função tira coisas deste espaço bidimensional
e leva para esta saída. Também podemos pensar em outra reta
aqui em cima, que neste caso é o "t", onde temos vários números. E aqui, temos estas funções separadas:
x(t) e y(t), onde cada uma delas terá o mesmo valor
para uma entrada específica. Ou seja, estas funções não estão agindo
com diferentes entradas, como se o "x" tivesse uma entrada
e o "y" tivesse outra. Não! Elas agem como a mesma entrada. Então, elas pegam algum ponto específico
e levam para algum lugar neste espaço, que é a saída dessas funções. Aí, temos esta única variável sendo trabalhada
neste espaço bidimensional, que acaba resultando nesta reta
aqui embaixo, que é a saída de "f". Apesar da entrada e da saída
terem variáveis únicas, temos coisas multidimensionais
aqui no meio. Então, se a gente pensar na derivada disso, como podemos fazer essa interpretação
a partir deste diagrama que eu desenhei aqui? Se a gente observar aqui em cima, temos que d(t) é uma pequena variação
em "t", certo? Podemos pensar nisso
como sendo um pequeno empurrão, algo que vai mudar a entrada original,
um empurrão muito pequeno em "t". Isso, claro, vai acabar alterando um pouquinho
a saída intermediária no plano xy. Novamente, você pode pensar nisso
como um pequeno empurrão. Esse empurrão super pequeno vai promover
um pequeno empurrão aqui no espaço de saída, um pequeno empurrão em alguma direção
que vai resultar em uma variação aqui em "f". Alguma variação baseada nas propriedades diferenciais
da própria função multivariável. Se a gente pensar nisso, essa variação
pode ser dividida em componentes. Aqui temos uma componente dx,
que corresponde à variação na direção "x", e aqui temos uma pequena variação
na direção "y", por isso temos um dy aqui. Só que esta não é uma variação arbitrária
em "x" ou em "y". É uma variação que foi causada por um dt. Sendo assim, eu posso vir aqui do lado
e dizer que dx é causado por um dt. Porém, para fazer isso,
é preciso que a gente tenha um dx/dt. É isso, de fato, o que nos diz que,
se você der um pequeno empurrão em "t", a componente "x" vai sofrer uma variação. Inclusive, você pode pensar nisso
como se os dois dt se cancelassem. E aí, no final, você acaba ficando apenas com dx. Mas você realmente precisa dizer que,
se há um empurrão em "t", isso resulta em uma variação em "x". E esta é a derivada que nos informa
a proporção entre essas variações. Da mesma forma, esta variação aqui em "y" vai ser,
de alguma forma, proporcional à variação em "t". E essa proporção é dada pela derivada
de "y" em relação a "t". Novamente, você pode pensar nisto
como se você estivesse cancelando estes dt. Mas claro, não vamos fazer isso. É por isso que a escrita em forma de fração,
que é a notação desenvolvida por Leibniz, é realmente muito útil. Um detalhe importante é que, apesar da gente
tratar isto como uma fração, isto não é. Isto é apenas uma forma útil
de visualizar as coisas, mas não é ideal falar isso quando você
utilizar argumentos mais formais. Inclusive, eu vou formalizar
tudo isso melhor depois. Mas, para começar, a gente pode pensar
nessa ideia de fração, que de certa forma é até melhor que a ideia
de variações com pequenos empurrões. Mas, como eu disse,
esta não é a melhor forma de falar. Inclusive, você vai ver muito de matemáticos
balançando a cabeça quando você falar que dx/dt
é uma fração entre o dx e o dt. Em todo caso, isso te dá uma ideia
do quanto este dx e este dy variam e, depois, o quanto eles alteram na saída "f". Pensando nisso, você pode fazer
a seguinte pergunta: Se a gente tiver um pequeno empurrão dado
aqui em "x", um empurrão dx, quanto isso vai mudar na saída "f"? Bem, esse é o significado
da derivada parcial, não é? Se a gente falar que tem a derivada parcial
de "f" em relação a "x", isso significa que, se você der
um pequeno empurrão de tamanho dx, essa relação ∂f/∂x fornece para você a proporção da variação
na saída que você deseja, que neste caso é o df. Sendo assim, você pode pensar nisto
como dx cancelando ∂x. Ou você pode dizer que este
é um pequeno empurrão em "x" e que isso vai resultar
em alguma variação em "f". A gente não sabe qual é o valor da variação, mas essa relação de derivada
permite que você descubra isso. Da mesma forma, você pode chamar isto de variação em "f" causada por "x",
ou devido a dx. Esta não é a única variação acontecendo
no espaço de entrada. Você também tem outra variação em "f",
que ocorre devido a dy, devido a esta pequena mudança em "y". Nós sabemos que isso é proporcional
a essa variação em "y", e que a constante de proporcionalidade,
por assim dizer, é ∂f/∂y. Ou seja, quando você dá um empurrão em "y"
de alguma forma, isso altera o "f". E essa derivada fornece a proporção
entre essas variações. Então, no final das contas,
se você colocar tudo isso junto, você vai dizer que existem duas coisas
causando a variação final em "f". Sendo assim, ao juntar tudo isso, a gente vai conseguir saber
qual é a variação total em "f". Então, eu posso vir aqui do lado
e dizer que df é igual ou causada por ∂f/∂x e aí multiplicamos isso pelo dx
que temos aqui. Mas a gente sabe que o dx,
a variação em "x", foi causada pelo dt, pela variação em "t", em que esse dx é igual a dx/dt dt. De forma semelhante, temos também uma variação
em "f" devido a uma variação em "y". Só que essa variação em "y"
também foi ocasionada por um dt, em que esse dy é igual
a essa proporção dy/dt dt. Lembre-se que o dy/dt é o que nos dá
a proporção da variação entre o dy e o dt. Quando você adiciona estes dois,
tudo o que está acontecendo está conectado. Tudo isso influencia na variação final em "f". Agora, que tal a gente pegar
toda esta expressão e dividir por dt? A gente pode apagar estes dt aqui.
Aí, a gente divide o df por dt. E isso que nós temos aqui
é a regra da cadeia multivariável. É a mesma expressão que encontramos antes. Repare que eu apenas escrevi
a mesma coisa de novo. Enfim, eu espero que isso te dê
um pouco mais de intuição sobre essa ideia de que você está compondo
diferentes pequenos empurrões e por que é bom pensar dessa forma. Claro, você pode ver isso de uma forma
em que este parcial cancela o dx e este parcial cancela o dy. Aí você acaba ficando apenas
com a variação de "f" em relação a "t". Mas eu gosto de manter essas coisas aqui
e pensar que elas, juntas, provocam uma variação parcial em "f", de forma que todas juntas vão provocar
uma variação final total em "f". Enfim, essas ideias são muito boas
para que você compreenda bem a ideia de regra da cadeia multivariável. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!