Forma vetorial da regra da cadeia multivariável

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar falando sobre a regra da cadeia multivariável. Esta expressão que temos aqui em cima é a regra da cadeia multivariável. Neste vídeo eu quero trabalhar em cima dessa regra novamente, mas com o objetivo de desenvolver a notação vetorial dessa regra. Isso vai nos ajudar a generalizar um pouco mais as coisas para quando a gente estiver trabalhando com um espaço intermediário que possua uma dimensão maior. Então, talvez, ao invés de escrever x(t) e y(t) como funções separadas, e ter que enfatizar que "x" e "y" possuem o mesmo espaço de entrada, e inclusive recebem a mesma variável, é melhor deixar as coisas mais limpas. E para isso, basta a gente dizer que existe uma função com um valor vetorial que recebe um único valor "t" e que, em seguida, produz algum tipo de vetor. Neste caso, você pode dizer que as componentes de "v" são x(t) e y(t), e tudo bem. Sendo assim, eu quero mostrar como tudo isso vai ficar se a gente utilizar uma notação vetorial. É agora que você pode me falar o seguinte: "Ah, a gente tem um dx/dt aqui e um dy/dt aqui, então, podemos calcular a derivada dessa função com um valor de vetor?" Bem, a derivada de "v" em relação a "t" é apenas as derivadas de cada componente. Então, neste caso, a derivada de "x" é dx/dt e a derivada de "y" é dy/dt. Isto é a derivada do valor do vetor. Agora você pode começar a notar algo aqui. Temos que uma das componentes foi multiplicada por um certo valor e a outra componente foi multiplicada por um outro certo valor. A gente pode pensar nessa multiplicação como um produto escalar. Sendo assim, isto é o produto escalar entre o vetor que contém as derivadas parciais (parcial de "f" em relação a "x" e parcial de "f" em relação a "y") e o vetor que contém as derivadas comuns: dx/dt e dy/dt. Claro, ambos são vetores especiais. Eles não são apenas vetores aleatórios. Se você reparar bem, o vetor aqui da esquerda é o gradiente de "f" e o vetor aqui da direita é o que acabamos de escrever aqui embaixo, ou seja, é a derivada de "v" em relação a "t". Só para economizar espaço aqui, eu vou apenas colocar v'(t). Isto está dizendo exatamente a mesma coisa que dv/dt. Então, esta é outra forma de escrever a regra da cadeia multivariável. Aí, talvez, para ser um pouco mais exato nisso, a gente possa dizer aqui que estamos calculando o gradiente de "f" de alguma coisa que você vai inserir em "f", que neste caso é o vetor "v". E é nesse vetor que está a saída desta função de valor vetorial, onde você está inserindo o "x" de "t" e o "y" de "t". Você faz isso para enfatizar que pega isto como uma entrada e aí multiplica (quer dizer, na verdade faz o produto escalar) com a derivada do vetor que está sendo avaliado. Ou seja, a derivada de v(t). Como eu falei, quando eu digo "multiplicar", nós estamos calculando o produto escalar entre estes dois vetores. Isto talvez seja mais familiar para você, porque lembra bastante a regra da cadeia com uma única variável. E só para relembrar isso: se você calcular a derivada de uma composição de duas funções de variáveis únicas f(g(x)), você calcula a derivada da função externa, que neste caso é o "f". Assim, teremos f'(g(x)). E aí multiplicamos isso com a derivada da função interna, que neste caso é "g". Ou seja, multiplicamos isto por g'(x). Isso é super útil em cálculo de variável única para calcular muitas derivadas. E aqui nós temos algo muito semelhante, não é? O gradiente funciona como uma espécie de extensão da derivada para as funções de múltiplas variáveis. Pelo menos para funções de múltiplas variáveis que tenham um valor escalar. Você pega a derivada da função externa, que tem em seu interior uma função que possui um caráter vetorial, aí você multiplica isso com a derivada do vetor, da função interior. Na verdade, nesse contexto, este é um produto escalar entre estes dois vetores. Isso pode significar que, se você tem uma função com diversas variáveis diferentes, digamos que você tenha algum f(x₁, x₂, x₃…), até chegar a x₁₀₀, o que você coloca na função, de verdade, é a função de valor vetorial. Por exemplo, vamos supor que este vetor aqui possui uma única variável. E para compô-lo, vai ter um monte de funções intermediárias, que você pode escrever como x₁(t), x₂(t), x₃(t) e vai fazendo isso até chegar a x₁₀₀(t). Todas estas são funções neste ponto. Estas são funções das componentes de seu vetor com o valor "v". Esta expressão ainda faz sentido, não é? Você ainda pode pegar o gradiente de "f". Claro, vai ter 100 componentes. Aí você pega esse gradiente de "f" com 100 componentes e faz o produto escalar com a derivada desse vetor. Enfim, isto é a versão geral da regra da cadeia multivariável. E o legal de escrever dessa forma é que você ainda pode interpretar tudo isso em termos da derivada direcional, que inclusive é o que vamos conversar no próximo vídeo. Enfim, espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!