Forma vetorial da regra da cadeia multivariável

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos continuar falando sobre a regra da cadeia multivariável essa expressão que temos aqui em cima é a regra da cadeia multivariável nesse vídeo eu quero trabalhar em cima dessa regra novamente mas com o objetivo de desenvolver anotação vetorial dessa regra Isso vai nos ajudar a generalizar um pouco mais as coisas para quando a gente estiver trabalhando com o espaço intermediário que possui uma dimensão maior então talvez ao invés de escrever X dty de ter como funções separadas e tem que enfatizar que x e y possuem o mesmo espaço de entrada inclusive recebem a mesma variável é melhor deixar as coisas mais limpas e para isso basta a gente dizer que existe uma função com valor vetorial que recebe o único o valor ter e que em seguida Produza algum tipo de Vetor e se caso você pode dizer que esses componentes de ver são x DT Y DT e tudo bem sendo assim eu quero mostrar como tudo isso vai ficar se a gente utilizar uma notação vetorial e agora que você pode me falar o seguinte a a gente tem um DxD ter aqui e um de Y de ter aqui então podemos calcular a derivada dessa função com o valor de Vetor bem a derivada de ver em relação a ter é apenas as derivadas de cada componente Então nesse caso a derivada de x é DX TT e a derivada de y é da ydt isso é a derivada do valor do vetor agora você pode começar a notar algo aqui temos que uma das componentes foi multiplicada por um certo valor e a outra componente foi multiplicada por um outro certo o valor a gente pode pensar nessa multiplicação como um produto escalar sendo assim isso aqui é o produto escalar entre o vetor que contém as derivadas parciais parcial de é é Sanchez e parcial de EVA em relação a y e o vetor que contém as derivadas comuns DX DT e DT Y DT Claro Ambos são vetores especiais eles não são apenas de vetores aleatórios se você reparar bem o Victor aqui da esquerda é o gradiente DF e o vetor aqui da direita o que acabamos de escrever aqui embaixo Ou seja é a derivada de ver em relação a ter só para economizar espaço aqui eu vou apenas colocar ver linha de ter isso está dizendo exatamente a mesma coisa que dever de ter então é essa aqui é outra forma de escrever a regra da cadeia multivariável Aí talvez para ser um pouco mais exato nisso a gente possa dizer aqui que estamos calculando o gradiente DF de alguma coisa que você vai inserir em f e nesse caso é o vetor v e É nesse vetor que está a saída dessa função de valor vetorial Onde você está inserindo x de ter e o y d se você faz isso aqui para enfatizar que você pega isso como uma entrada e aí multiplica dizendo a verdade faz o produto escalar com a derivada do vetor que está sendo avaliado ou seja derivada de ver de ter como eu falei quando eu digo multiplicar nós estamos calculando aqui o produto escalar Entre esses dois vetores e só que talvez seja mais familiar para você porque lembra bastante a regra da cadeia com uma única variável e só para relembrar isso se você calcular a derivada de uma composição de duas funções de variáveis únicas fdgd x você calcula a derivada da função externa que nesse caso é UEFI assim teremos é fininha de gdx E aí multiplicamos isso com a derivada da função interna que nesse caso é G ou seja multiplicamos isso por G linha x isso é super útil em cálculo de variável única para calcular muitas derivadas e Aqui nós temos algo muito semelhante não é o gradiente funciona como mais e pensam da derivada para as funções de múltiplas variáveis pelo menos para funções de múltiplas variáveis que tenham um valor escalar você pega a derivada da função externa que tem seu interior uma função que possui um caráter vetorial aí você multiplica isso com a derivada do vetor da função interior Na verdade nesse contexto esse daqui é um produto escalar Entre esses dois vetores Oque isso pode significar que se você tem uma função com diversas variáveis diferentes Digamos que você tenha algum f de x 1 x 2 x 3 até chegar ax100 o que você coloca na função de verdade é a função de valor vetorial por exemplo vamos supor que esse Ventura aqui possui uma única variável e para com Pollo Vai ter um monte de funções intermediárias que você pode escrever como X1 de TX2 dtx3 GTI E aí vai fazendo isso até chegar achei sem deter e é dessa que são funções nesse ponto Essas são funções das componentes de seu vetor com o valor ver essa expressão ainda faz sentido Não é você ainda pode pegar o gradiente DF claro vai ter sem componentes Aí você pega esse Gradiente DF como sem componentes e faz o produto escalar com a derivada desse vetor enfim isso é a versão geral da regra da cadeia multivariável e o legal de escrever dessa forma é que você ainda pode interpretar tudo isso em termos da derivada direcional que inclusive é o que vamos conversar no próximo vídeo enfim eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima