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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 5: Regra da cadeia multivariável- Regra da cadeia multivariável
- Introdução à regra da cadeia multivariável
- Intuição sobre a regra da cadeia multivariável
- Regra da cadeia multivariável
- Forma vetorial da regra da cadeia multivariável
- Regra da cadeia derivadas direcionais multivariáveis
- Tratamento mais formal da regra da cadeia multivariável
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Forma vetorial da regra da cadeia multivariável
A regra da cadeia multivariável é comumente expressa em termos do gradiente e uma derivada vetorial. Isso a torna bem análoga à regra da cadeia de uma única variável. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar falando
sobre a regra da cadeia multivariável. Esta expressão que temos aqui em cima
é a regra da cadeia multivariável. Neste vídeo eu quero trabalhar
em cima dessa regra novamente, mas com o objetivo de desenvolver
a notação vetorial dessa regra. Isso vai nos ajudar a generalizar
um pouco mais as coisas para quando a gente estiver trabalhando
com um espaço intermediário que possua uma dimensão maior. Então, talvez, ao invés de escrever x(t)
e y(t) como funções separadas, e ter que enfatizar que "x" e "y"
possuem o mesmo espaço de entrada, e inclusive recebem a mesma variável,
é melhor deixar as coisas mais limpas. E para isso, basta a gente dizer
que existe uma função com um valor vetorial que recebe um único valor "t" e que,
em seguida, produz algum tipo de vetor. Neste caso, você pode dizer que as componentes
de "v" são x(t) e y(t), e tudo bem. Sendo assim, eu quero mostrar
como tudo isso vai ficar se a gente utilizar uma notação vetorial. É agora que você pode me falar o seguinte: "Ah, a gente tem um dx/dt aqui
e um dy/dt aqui, então, podemos calcular a derivada
dessa função com um valor de vetor?" Bem, a derivada de "v" em relação a "t"
é apenas as derivadas de cada componente. Então, neste caso, a derivada de "x"
é dx/dt e a derivada de "y" é dy/dt. Isto é a derivada do valor do vetor. Agora você pode começar a notar algo aqui. Temos que uma das componentes
foi multiplicada por um certo valor e a outra componente foi multiplicada
por um outro certo valor. A gente pode pensar nessa multiplicação
como um produto escalar. Sendo assim, isto é o produto escalar entre
o vetor que contém as derivadas parciais (parcial de "f" em relação a "x"
e parcial de "f" em relação a "y") e o vetor que contém as derivadas comuns:
dx/dt e dy/dt. Claro, ambos são vetores especiais.
Eles não são apenas vetores aleatórios. Se você reparar bem, o vetor aqui da esquerda
é o gradiente de "f" e o vetor aqui da direita é o que acabamos
de escrever aqui embaixo, ou seja, é a derivada de "v"
em relação a "t". Só para economizar espaço aqui,
eu vou apenas colocar v'(t). Isto está dizendo exatamente
a mesma coisa que dv/dt. Então, esta é outra forma de escrever
a regra da cadeia multivariável. Aí, talvez, para ser um pouco mais exato nisso, a gente possa dizer aqui
que estamos calculando o gradiente de "f" de alguma coisa que você vai inserir em "f",
que neste caso é o vetor "v". E é nesse vetor que está a saída
desta função de valor vetorial, onde você está inserindo o "x" de "t"
e o "y" de "t". Você faz isso para enfatizar que pega isto
como uma entrada e aí multiplica (quer dizer, na verdade faz o produto escalar)
com a derivada do vetor que está sendo avaliado. Ou seja, a derivada de v(t). Como eu falei, quando eu digo "multiplicar", nós estamos calculando o produto escalar
entre estes dois vetores. Isto talvez seja mais familiar para você, porque lembra bastante a regra da cadeia
com uma única variável. E só para relembrar isso:
se você calcular a derivada de uma composição de duas funções
de variáveis únicas f(g(x)), você calcula a derivada da função externa,
que neste caso é o "f". Assim, teremos f'(g(x)). E aí multiplicamos isso com a derivada
da função interna, que neste caso é "g". Ou seja, multiplicamos isto por g'(x). Isso é super útil em cálculo de variável única
para calcular muitas derivadas. E aqui nós temos algo muito semelhante, não é? O gradiente funciona como uma espécie
de extensão da derivada para as funções de múltiplas variáveis. Pelo menos para funções de múltiplas variáveis
que tenham um valor escalar. Você pega a derivada da função externa, que tem em seu interior uma função
que possui um caráter vetorial, aí você multiplica isso com a derivada do vetor,
da função interior. Na verdade, nesse contexto, este é
um produto escalar entre estes dois vetores. Isso pode significar que, se você tem
uma função com diversas variáveis diferentes, digamos que você tenha algum f(x₁, x₂, x₃…),
até chegar a x₁₀₀, o que você coloca na função,
de verdade, é a função de valor vetorial. Por exemplo, vamos supor que este vetor
aqui possui uma única variável. E para compô-lo, vai ter um monte
de funções intermediárias, que você pode escrever
como x₁(t), x₂(t), x₃(t) e vai fazendo isso até chegar a x₁₀₀(t). Todas estas são funções neste ponto. Estas são funções das componentes
de seu vetor com o valor "v". Esta expressão ainda faz sentido, não é? Você ainda pode pegar o gradiente de "f".
Claro, vai ter 100 componentes. Aí você pega esse gradiente de "f"
com 100 componentes e faz o produto escalar
com a derivada desse vetor. Enfim, isto é a versão geral
da regra da cadeia multivariável. E o legal de escrever dessa forma é que você ainda pode interpretar tudo isso
em termos da derivada direcional, que inclusive é o que vamos conversar
no próximo vídeo. Enfim, espero que você tenha compreendido
tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você
um grande abraço e até a próxima!