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Conteúdo principal

Derivadas direcionais (introdução)

Como o valor de uma função multivariável muda conforme você altera ligeiramente a entrada em uma direção específica?

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

  • Se você tem uma função multivariável, f(x,y), e algum vetor no espaço de entrada da função, v, a derivada direcional de f ao longo do vetor v nos diz a taxa na qual f vai variar enquanto a entrada se mover com o vetor velocidade v.
  • A notação aqui é vf, e é calculada como o produto escalar do gradiente de f e do vetor v, ou seja, fv
  • Quando a derivada direcional é usada para calcular a inclinação, certifique-se de primeiro normalizar o vetor v.

Generalizando as derivadas parciais

Considere uma função multivariável:
f(x,y)=x2xy
Nós sabemos que as derivadas parciais em relação a x e y nos dizem a taxa de variação de f conforme variamos a entrada, tanto na direção de x quanto na direção de y.
A questão agora é o que acontece quando nós deslocamos a entrada de f em uma direção que não é paralela aos eixos x ou y.
Por exemplo, a imagem abaixo mostra o gráfico de f juntamente com uma pequena inclinação ao longo de um vetor v no espaço de entrada, nesse caso, o plano cartesiano xy. Será que existe uma operação que compare a altura do gráfico acima da ponta de v com a altura do gráfico acima da origem do mesmo vetor?
Como você já deve ter adivinhado, há um novo tipo de derivada, chamada derivada direcional, que responde essa pergunta.
Assim como a derivada parcial é calculada em relação a uma determinada variável de entrada — por exemplo, x ou y — a derivada direcional é calculada ao longo de um vetor v no espaço de entrada.
Uma maneira intuitiva de pensar nisso é imaginar um ponto no espaço de entrada se movendo a uma velocidade v. A derivada direcional de f ao longo do vetor v é a taxa de variação resultante nos valores de saída da função. Então, por exemplo, ao se multiplicar um vetor v por dois, o valor da derivada direcional dobraria, já que todas as variações estariam acontecendo duas vezes mais rápido.

Notação

Existem algumas notações diferentes para esse conceito:
  • vf
  • fv
  • fv
  • Dvf
  • vf
Tudo isso representa a mesma coisa: a taxa de variação de f conforme a entrada é deslocada ao longo do sentido de v. Usaremos a notação vf apenas porque ela sutilmente nos dá uma dica de como calcular a derivada direcional usando o gradiente, o que veremos em breve.

Exemplo 1: v=j^

Antes de abordarmos a regra geral do cálculo de vf, vamos dar uma olhada em como podemos reescrever a noção mais familiar de derivada parcial como uma derivada direcional.
Por exemplo, a derivada parcial fy nos diz a que taxa f varia conforme deslocamos a entrada na direção de y. Em outras palavras, conforme deslocamos a entrada ao longo do vetor j^. Portanto, podemos escrever a derivada parcial em relação a y como fy=j^f.
Tudo isso se trata apenas de mexer com diferentes notações. O mais importante é que esteja claro para nós o que essa notação representa.
Questão para reflexão: suponha que v=i^+j^, qual é o seu melhor palpite paravf?

Como calcular a derivada direcional

Digamos que você tenha uma função multivariável f(x,y,z) que recebe três variáveis — x, y e z — e que queira calcular sua derivada direcional ao longo do seguinte vetor:
v=[231]
A resposta, como se vê, será
vf=2fx+3fy+(1)fz
Isso deve fazer sentido porque um pequeno deslocamento ao longo do vetor v pode ser dividido em dois pequenos deslocamentos na direção de x, três pequenos deslocamentos na direção de y, e um pequeno deslocamento para trás, de 1, na direção de z. Nós nos aprofundaremos mais no raciocínio por trás disso no próximo artigo.
De forma mais genérica, podemos escrever o vetor v abstratamente como:
v=[v1v2v3]
A derivada direcional tem essa aparência:
vf=v1fx+v2fy+v3fz
Ou seja, um pequeno deslocamento na direção do vetor v consiste em v1 vezes o pequeno deslocamento na direção de x, v2 vezes o pequeno deslocamento na direção de y, e v3 vezes o pequeno deslocamento na direção de z.
Isso tudo pode ser escrito de uma forma agradavelmente compacta usando o produto escalar e o gradiente:
=vf(x,y,z)=v1fx(x,y,z)+v2fy(x,y,z)+v3fz(x,y,z)=[fx(x,y,z)fy(x,y,z)fz(x,y,z)][v1v2v3]=f(x,y,z)v
É por isso que a notação v é tão sugestiva sobre como calcular a derivada direcional:
vf=fv
Tire um segundo para se deleitar com o fato de que uma única operação, o gradiente, contém informação suficiente para calcular a taxa de variação de uma função em todas as direções possíveis! São muitas direções! Esquerda, direita, para baixo, para cima, nordeste, -34,8 no sentido horário a partir do eixo x... Loucura!

Exemplo 2:

Problema: dê uma olhada nessa função:
f(x,y)=x2xy,
Qual é a derivada direcional de f no ponto (2,3) ao longo do vetor v=0,6i^+0,8j^?
Solução: você pode pensar na derivada direcional como uma soma ponderada de derivadas parciais, como abaixo:
vf=0,6fx+0,8fy
Ou você pensar nela como um produto escalar com o gradiente, como aqui:
vf=fv
O primeiro jeito é mais rápido, mas, só para praticar, vamos ver como a interpretação do gradiente se desenvolve. Começamos calculando o gradiente em si:
f=[fxfy]=[x(x2xy)y(x2xy)]=[2xyx]
Depois, substituímos o ponto (x,y)=(2,3) na equação, já que esse é o ponto que a questão nos pede.
f(2,3)=[2(2)(3)(2)]=[72]
Para conseguir a derivada direcional desejada, calculamos o produto escalar entre esse gradiente e v:
vf(2,3)=f(2,3)(0,6i^+0,8j^)=[72][0,60,8]=7(0,6)+(2)(0,8)=2,6

Cálculo da inclinação

Como você calcula a inclinação de um gráfico que intercepta um plano que não seja paralelo aos eixos x ou y?
Você pode usar a derivada direcional, mas há uma coisa importante a se lembrar:
Se a derivada direcional for usada para calcular a inclinação, ou v deve ser um vetor unitário, ou você deve se lembrar de dividir por ||v|| no final.
Na definição e no cálculo acima, dobrar o comprimento do vetor v dobra o valor da derivada direcional. Em termos do cálculo, isso acontece porque f(2v)=2(fv).
No entanto, isso nem sempre será o que você deseja. A inclinação de um gráfico no sentido de v, por exemplo, depende apenas do sentido de v, e não da magnitude ||v||. Vamos ver por quê.
Como podemos imaginar essa inclinação? Fatie o gráfico de f com um plano vertical que corte o plano xy no sentido de v. A inclinação em questão é aquela de uma reta tangente à curva resultante. Assim como em qualquer inclinação, queremos a elevação sobre a distância.
Nesse caso, a distância percorrida na horizontal será um pequeno deslocamento na direção de v. Nós podemos expressar tal deslocamento como uma soma de hv a um ponto de entrada x0, no qual h deve ser entendido como um número bem pequeno. A magnitude desse deslocamento será h||v||.
A variação resultante na saída de f pode ser calculada de forma aproximada pela multiplicação desse pequeno valor h pela derivada direcional:
hvf(x0,y0)
De fato, a elevação da reta tangente—ao contrário do gráfico da função—é exatamente hvf(x0,y0) devido a essa distância de tamanho h||v||. Para saber mais detalhes do porquê isso é verdade, veja a definição formal da derivada direcional no próximo artigo.
Portanto, a inclinação "elevação sobre distância" do nosso gráfico é
hvf(x0,y0)h||v||=vf(x0,y0)||v||
Note que, se v for um vetor unitário, ou seja, ||v||=1, então a derivada direcional nos dá a inclinação do gráfico naquela direção. Caso contrário, é importante lembrar de dividir o resultado pela magnitude de v.
Alguns autores chegam ao ponto de incluir a normalização na definição de vf.
Definição alternativa de derivada direcional:
vf(x)=limh0f(x+hv)f(x)h||v||
Pessoalmente, eu acho que essa definição coloca muita ênfase no caso particular do cálculo da inclinação, então prefiro usar a definição original e normalizar o vetor v quando necessário.

Exemplo 3: inclinação

Problema: nesse estágio do problema, temos três jogadores.
Jogador 1, a função:
f(x,y)=sen(xy)
Jogador 2, o ponto:
(x0,y0)=(π3,12)
Jogador 3, o vetor:
v=2i^+3j^
Qual é a inclinação do gráfico de f no ponto (x0,y0) ao longo do vetor v?
Resposta: como estamos calculando a inclinação, devemos primeiramente normalizar o vetor em questão. A magnitude ||v|| é 22+32=13, então dividiremos cada termo por 13 para obter o vetor unitário resultante u^ no sentido de v:
Em seguida, calcule o gradiente de f:
Substitua o ponto (x0,y0)=(π3,12) no gradiente.
Finalmente, calcule o produto escalar entre u^ e f(π/3,1/2):

Resumo

  • Se você tem uma função multivariável, f(x,y), e algum vetor no espaço de entrada da função, v, a derivada direcional de f ao longo do vetor v nos diz a taxa na qual f vai variar enquanto a entrada se mover com o vetor velocidade v.
  • A notação aqui é vf, e ela é calculada como o produto escalar do gradiente de f e do vetor v, ou seja, fv.
  • Quando a derivada direcional é usada para calcular a inclinação, certifique-se de primeiro normalizar o vetor v.

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