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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 3: Derivada parcial e gradiente (artigos)

Derivadas direcionais (introdução)

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Como o valor de uma função multivariável muda conforme você altera ligeiramente a entrada em uma direção específica?

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Se você tem uma função multivariável, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, e algum vetor no espaço de entrada da função, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, a derivada direcional de f ao longo do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top nos diz a taxa na qual f vai variar enquanto a entrada se mover com o vetor velocidade start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

A notação aqui é del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, e é calculada como o produto escalar do gradiente de f e do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, ou seja, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Quando a derivada direcional é usada para calcular a inclinação, certifique-se de primeiro normalizar o vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Generalizando as derivadas parciais

Considere uma função multivariável:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y

Nós sabemos que as derivadas parciais em relação a x e y nos dizem a taxa de variação de f conforme variamos a entrada, tanto na direção de x quanto na direção de y.

[Me mostre um exemplo disso]

A questão agora é o que acontece quando nós deslocamos a entrada de f em uma direção que não é paralela aos eixos x ou y.

Por exemplo, a imagem abaixo mostra o gráfico de f juntamente com uma pequena inclinação ao longo de um vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top no espaço de entrada, nesse caso, o plano cartesiano x, y. Será que existe uma operação que compare a altura do gráfico acima da ponta de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top com a altura do gráfico acima da origem do mesmo vetor?

Como você já deve ter adivinhado, há um novo tipo de derivada, chamada derivada direcional, que responde essa pergunta.

Assim como a derivada parcial é calculada em relação a uma determinada variável de entrada — por exemplo, x ou y — a derivada direcional é calculada ao longo de um vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top no espaço de entrada.

Uma maneira intuitiva de pensar nisso é imaginar um ponto no espaço de entrada se movendo a uma velocidade start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. A derivada direcional de f ao longo do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top é a taxa de variação resultante nos valores de saída da função. Então, por exemplo, ao se multiplicar um vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top por dois, o valor da derivada direcional dobraria, já que todas as variações estariam acontecendo duas vezes mais rápido.

Notação

Existem algumas notações diferentes para esse conceito:

del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f
start fraction, \partial, f, divided by, \partial, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end fraction
f, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, prime
D, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, f, end subscript
\partial, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f

Tudo isso representa a mesma coisa: a taxa de variação de f conforme a entrada é deslocada ao longo do sentido de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Usaremos a notação

$\nabla_\vec{\textbf{v}} f$ apenas porque ela sutilmente nos dá uma dica de como calcular a derivada direcional usando o gradiente, o que veremos em breve.

Exemplo 1: start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Antes de abordarmos a regra geral do cálculo de del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, vamos dar uma olhada em como podemos reescrever a noção mais familiar de derivada parcial como uma derivada direcional.

Por exemplo, a derivada parcial start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction nos diz a que taxa f varia conforme deslocamos a entrada na direção de y. Em outras palavras, conforme deslocamos a entrada ao longo do vetor start bold text, j, end bold text, with, hat, on top. Portanto, podemos escrever a derivada parcial em relação a y como start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, equals, del, start subscript, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, end subscript, f.

Tudo isso se trata apenas de mexer com diferentes notações. O mais importante é que esteja claro para nós o que essa notação representa.

Questão para reflexão: suponha que start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top, qual é o seu melhor palpite paradel, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f?

[Mostrar resposta.]

Como calcular a derivada direcional

Digamos que você tenha uma função multivariável f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis que recebe três variáveis — x, y e z — e que queira calcular sua derivada direcional ao longo do seguinte vetor:

\vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{2} \\ \redE{3} \\ \greenE{-1} \end{array} \right]

A resposta, como se vê, será

del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, 2, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, 3, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, left parenthesis, minus, 1, right parenthesis, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction

Isso deve fazer sentido porque um pequeno deslocamento ao longo do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top pode ser dividido em start color #0c7f99, d, o, i, s, end color #0c7f99 pequenos deslocamentos na direção de x, start color #bc2612, t, r, e, with, hat, on top, s, end color #bc2612 pequenos deslocamentos na direção de y, e um pequeno deslocamento para trás, de start color #0d923f, minus, 1, end color #0d923f, na direção de z. Nós nos aprofundaremos mais no raciocínio por trás disso no próximo artigo.

De forma mais genérica, podemos escrever o vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top abstratamente como:

\vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \redE{v_2} \\ \greenE{v_3} \end{array} \right]

A derivada direcional tem essa aparência:

del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, equals, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, plus, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, plus, start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, z, end fraction

Ou seja, um pequeno deslocamento na direção do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top consiste em start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 vezes o pequeno deslocamento na direção de x, start color #bc2612, v, start subscript, 2, end subscript, end color #bc2612 vezes o pequeno deslocamento na direção de y, e start color #0d923f, v, start subscript, 3, end subscript, end color #0d923f vezes o pequeno deslocamento na direção de z.

Isso tudo pode ser escrito de uma forma agradavelmente compacta usando o produto escalar e o gradiente:

\begin{aligned} &\phantom{=}\nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x, y, z) \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) + \redE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) + \greenE{v_3} \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y, z) \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial z}(x, y, z) \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \redE{v_2} \\\\ \greenE{v_3} \end{array} \right] \\\\ &= \nabla f(x, y, z) \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}

É por isso que a notação del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript é tão sugestiva sobre como calcular a derivada direcional:

\begin{aligned} \nabla_{\maroonD{\vec{\textbf{v}}}} f = \nabla f \cdot \maroonD{\vec{\textbf{v}}} \end{aligned}

Tire um segundo para se deleitar com o fato de que uma única operação, o gradiente, contém informação suficiente para calcular a taxa de variação de uma função em todas as direções possíveis! São muitas direções! Esquerda, direita, para baixo, para cima, nordeste, -34,8degrees no sentido horário a partir do eixo x... Loucura!

Exemplo 2:

Problema: dê uma olhada nessa função:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, x, y,

Qual é a derivada direcional de f no ponto left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis ao longo do vetor

\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \end{aligned}

Solução: você pode pensar na derivada direcional como uma soma ponderada de derivadas parciais, como abaixo:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \blueE{0{,}6} \dfrac{\partial f}{\partial x} + \redE{0{,}8} \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{aligned}

Ou você pensar nela como um produto escalar com o gradiente, como aqui:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}}f = \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \end{aligned}

O primeiro jeito é mais rápido, mas, só para praticar, vamos ver como a interpretação do gradiente se desenvolve. Começamos calculando o gradiente em si:

\nabla f = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\ \\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial }{\blueE{\partial x}} (\blueE{x}^2 - \blueE{x}y) \\ \\ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} (x^2 - x\redE{y}) \\ \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 2\blueE{x} - y \\ -x \end{array} \right]

Depois, substituímos o ponto left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, left parenthesis, 2, comma, minus, 3, right parenthesis na equação, já que esse é o ponto que a questão nos pede.

\begin{aligned} \nabla f(2, -3) = \left[\begin{array}{c} 2(2) - (-3) \\\\ -(2) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \end{aligned}

Para conseguir a derivada direcional desejada, calculamos o produto escalar entre esse gradiente e start bold text, v, end bold text:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(2, -3) &= \nabla f(2, -3) \cdot \left( \blueE{0{,}6} \hat{\textbf{i}} + \redE{0{,}8} \hat{\textbf{j}} \right) \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} 7 \\\\ -2 \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{0{,}6} \\\\ \redE{0{,}8} \end{array} \right] \\\\ &= 7(\blueE{0{,}6}) + (-2)(\redE{0{,}8}) \\\\ &= 2{,}6 \end{aligned}

Cálculo da inclinação

Como você calcula a inclinação de um gráfico que intercepta um plano que não seja paralelo aos eixos x ou y?

Você pode usar a derivada direcional, mas há uma coisa importante a se lembrar:

Se a derivada direcional for usada para calcular a inclinação, ou start bold text, v, end bold text, with, vector, on top deve ser um vetor unitário, ou você deve se lembrar de dividir por vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar no final.

Na definição e no cálculo acima, dobrar o comprimento do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top dobra o valor da derivada direcional. Em termos do cálculo, isso acontece porque del, f, dot, left parenthesis, 2, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, right parenthesis, equals, 2, left parenthesis, del, f, dot, v, right parenthesis.

No entanto, isso nem sempre será o que você deseja. A inclinação de um gráfico no sentido de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, por exemplo, depende apenas do sentido de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, e não da magnitude vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar. Vamos ver por quê.

Como podemos imaginar essa inclinação? Fatie o gráfico de f com um plano vertical que corte o plano x, y no sentido de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. A inclinação em questão é aquela de uma reta tangente à curva resultante. Assim como em qualquer inclinação, queremos a elevação sobre a distância.

Nesse caso, a distância percorrida na horizontal será um pequeno deslocamento na direção de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Nós podemos expressar tal deslocamento como uma soma de h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top a um ponto de entrada start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, no qual h deve ser entendido como um número bem pequeno. A magnitude desse deslocamento será h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar.

A variação resultante na saída de f pode ser calculada de forma aproximada pela multiplicação desse pequeno valor h pela derivada direcional:

h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

De fato, a elevação da reta tangente—ao contrário do gráfico da função—é exatamente h, del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis devido a essa distância de tamanho h, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar. Para saber mais detalhes do porquê isso é verdade, veja a definição formal da derivada direcional no próximo artigo.

Portanto, a inclinação "elevação sobre distância" do nosso gráfico é

\begin{aligned} \dfrac{h\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{h||v||} = \boxed{\dfrac{\nabla_{\vec{\textbf{v}}}f(x_0, y_0)}{||v||}} \end{aligned}

Note que, se start bold text, v, end bold text, with, vector, on top for um vetor unitário, ou seja, vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar, equals, 1, então a derivada direcional nos dá a inclinação do gráfico naquela direção. Caso contrário, é importante lembrar de dividir o resultado pela magnitude de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.

Alguns autores chegam ao ponto de incluir a normalização na definição de del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f.

Definição alternativa de derivada direcional:

\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(\textbf{x}) = \lim_{h \to 0}\dfrac{f(\textbf{x} + h\vec{\textbf{v}}) - f(\textbf{x})}{h\blueE{||\vec{\textbf{v}}||}} \end{aligned}

Pessoalmente, eu acho que essa definição coloca muita ênfase no caso particular do cálculo da inclinação, então prefiro usar a definição original e normalizar o vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top quando necessário.

Exemplo 3: inclinação

Problema: nesse estágio do problema, temos três jogadores.

Jogador 1, a função:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, y, right parenthesis

Jogador 2, o ponto:

left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis

Jogador 3, o vetor:

start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, equals, 2, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, plus, 3, start bold text, j, end bold text, with, hat, on top

Qual é a inclinação do gráfico de f no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis ao longo do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top?

Resposta: como estamos calculando a inclinação, devemos primeiramente normalizar o vetor em questão. A magnitude vertical bar, vertical bar, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, vertical bar, vertical bar é square root of, 2, squared, plus, 3, squared, end square root, equals, square root of, 13, end square root, então dividiremos cada termo por square root of, 13, end square root para obter o vetor unitário resultante start bold text, u, end bold text, with, hat, on top no sentido de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:

[Mostrar resposta.]

Em seguida, calcule o gradiente de f:

[Mostrar resposta.]

Substitua o ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, left parenthesis, start fraction, pi, divided by, 3, end fraction, comma, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, right parenthesis no gradiente.

[Mostrar resposta.]

Finalmente, calcule o produto escalar entre start bold text, u, end bold text, with, hat, on top e del, f, left parenthesis, pi, slash, 3, comma, 1, slash, 2, right parenthesis:

[Mostrar resposta.]

Resumo

Se você tem uma função multivariável, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, e algum vetor no espaço de entrada da função, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, a derivada direcional de f ao longo do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top nos diz a taxa na qual f vai variar enquanto a entrada se mover com o vetor velocidade start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
A notação aqui é del, start subscript, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end subscript, f, e ela é calculada como o produto escalar do gradiente de f e do vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, ou seja, del, f, dot, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Quando a derivada direcional é usada para calcular a inclinação, certifique-se de primeiro normalizar o vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.