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Conteúdo principal

Derivada direcional (aprofundado)

Uma olhada mais detalhada na fórmula das derivadas direcionais, juntamente com uma explicação de por que o gradiente dá a inclinação do aclive máximo.

Contexto:

Este artigo é direcionado para aqueles que querem um conhecimento mais profundo da derivada direcional e sua fórmula.

Definição formal da derivada direcional

Há algumas razões pelas quais você deveria se importar com uma definição formal. Por um lado, entender realmente a definição formal de um novo conceito pode tornar claro o que realmente está acontecendo. Porém, mais importante do que isso, eu acho que o principal benefício que ela traz é a certeza de reconhecer quando tal conceito pode ou não aplicado.
Para aquecer, vamos rever a definição formal da derivada parcial, por exemplo, em relação a x:
start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, start color #0c7f99, plus, h, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, h, end color #0c7f99, end fraction
A relação entre a maneira informal de ler start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction e a maneira formal de ler o lado direito da igualdade é a seguinte:
SímboloEntendimento informalEntendimento formal
\partial, xUm pequeno deslocamento na direção x.Uma variável limitante h que vai a 0, e será adicionada ao primeiro componente da entrada da função.
\partial, fA mudança resultante na saída de f após o deslocamento.A diferença entre f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis e f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, levada pelo mesmo limite de h, \to, 0.
Também poderíamos escrever isso em notação vetorial, visualizando o ponto de entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis como um vetor bidimensional.
x0=[x0y0]\begin{aligned} \textbf{x}_0 = \left[ \begin{array}{c} x_0 \\\\ y_0 \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}
Aqui, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript é escrito em negrito para enfatizar seu caráter vetorial. É um pouco confuso usar start bold text, x, end bold text em negrito para a entrada toda em vez de alguma outra letra, já que a letra x já foi usada (sem estar em negrito) para denotar a primeira componente do vetor. Porém, como isso é convenção, vamos trabalhar com isso.
Ao invés de escrever a entrada "desviada" como left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, nós a escrevemos como start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start bold text, i, end bold text, with, hat, on top, onde start bold text, i, end bold text, with, hat, on top é o vetor unitário na direção x:
fx(x0)=limh0f(x0+hi^)f(x0)h\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\partial x}(\textbf{x}_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(\textbf{x}_0 + h \hat{\textbf{i}}) - f(\textbf{x}_0)}{h} \end{aligned}
Nessa notação, é muito mais fácil ver como generalizar a derivada parcial em relação a x para a derivada direcional na direção de qualquer vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top:
start color #0c7f99, del, start subscript, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, end subscript, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, equals, limit, start subscript, h, \to, 0, end subscript, start fraction, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #e84d39, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top, end color #e84d39, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, start bold text, x, end bold text, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, divided by, h, end fraction, end color #0c7f99
Neste caso, ao adicionar h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top à entrada para uma variável limitante h, \to, 0, formalizamos a ideia de um pequeno deslocamento na direção de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
Mostrando a cutucada da derivada direcional

A busca pela relação entre definição e o cálculo

Calcular a derivada direcional envolve um produto escalar entre o gradiente del, f e o vetor start bold text, v, end bold text, with, vector, on top. Por exemplo, em duas dimensões, isso ficaria assim:
vf(x,y)=fv=[fxfy][v1v2]=v1fx(x,y)+v2fy(x,y)\begin{aligned} \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x, y) &= \nabla f \cdot \vec{\textbf{v}} \\\\ &= \left[ \begin{array}{c} \dfrac{\partial f}{\partial x} \\\\ \dfrac{\partial f}{\partial y} \end{array} \right] \cdot \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\\\ \greenE{v_2} \end{array} \right] \\\\ &= \blueE{v_1} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, y) + \greenE{v_2} \dfrac{\partial f}{\partial y}(x, y) \end{aligned}
Aqui, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 e start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f são os componentes de start bold text, v, end bold text, with, vector, on top.
v=[v1v2]\begin{aligned} \vec{\textbf{v}} = \left[ \begin{array}{c} \blueE{v_1} \\ \\ \greenE{v_2} \\\\ \end{array} \right] \end{aligned}
A questão central é: o que essa fórmula tem a ver com a definição dada acima?

Explicando o deslocamento

O cálculo de del, start subscript, start bold text, v, end bold text, end subscript, f pode ser visto como uma maneira de dividir o pequeno incremento na direção de start bold text, v, end bold text em seus componentes x e y.
Divida um passo ao longo do vetor h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top
Especificamente, você pode imaginar o seguinte procedimento:
  1. Comece em algum ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
  2. Escolha um pequeno valor para h.
  3. Adicione h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99 a x, start subscript, 0, end subscript, o que significa avançar ao ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Com base no que sabemos sobre derivadas parciais, isso vai alterar a saída da função em aproximadamente
hv1(fx(x0,y0))\begin{aligned} h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \right) \end{aligned}
  • Agora adicione h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f a y, start subscript, 0, end subscript, o que nos leva para cima/baixo até o ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis. A alteração resultante em f é agora de
hv2(fy(x0+hv1,y0))\begin{aligned} h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 + h\blueE{v_1}, y_0) \right) \end{aligned}
Somando os resultados dos passos 3 e 4, a alteração total na função ao mudar da entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis para a entrada left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0d923f, v, start subscript, 2, end subscript, end color #0d923f, right parenthesis é, aproximadamente
hv1(fx(x0,y0))+hv2(fy(x0+hv1,y0))\begin{aligned} h\blueE{v_1} \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) \right) + h\greenE{v_2}\left( \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0 \redD{+ h\blueE{v_1}}, y_0) \right) \end{aligned}
Isto é muito próximo da expressão da derivada direcional, que diz que a alteração em f por causa desse passo h, start bold text, v, end bold text, with, vector, on top deve ser, aproximadamente
=hvf(x0,y0)=hvf(x0,y0)=hv1fx(x0,y0)+hv2fy(x0,y0)\begin{aligned} &\phantom{=}h \nabla_{\vec{\textbf{v}}} f(x_0, y_0) \\\\ &= h \vec{\textbf{v}} \cdot \nabla f(x_0, y_0)\\\\ &= h\blueE{v_1}\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) + h\greenE{v_2}\dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) \end{aligned}
Entretanto, isso difere ligeiramente do resultado do nosso raciocínio passo a passo, no qual a derivada parcial em relação a y é tomada no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, e não no ponto left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Felizmente, estamos considerando valores muito pequenos para h. Na verdade, tecnicamente falando, deveríamos falar sobre o limite quando h, \to, 0. Portanto, calcular start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction em left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, start color #0c7f99, v, start subscript, 1, end subscript, end color #0c7f99, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis é quase o mesmo que calculá-la em left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis. Além disso, quando h se aproxima de 0, a diferença entre esses dois valores diminui, mas temos que assumir que f é contínua.

Por que o gradiente aponta na direção de maior inclinação?

Tendo aprendido sobre as derivadas direcionais, podemos agora entender porque a direção do gradiente é a direção de maior inclinação.
Conceito da subida mais íngreme.
Especificamente, essa é a questão.
Preparação:
  • Seja f uma função real, de várias variáveis. Por exemplo, f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, plus, y, squared.
  • Seja left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis um ponto de entrada específico
  • Considere todas as direções possíveis, isto é, todos os vetores unitários start bold text, u, end bold text, with, hat, on top no domínio de f.
Questão (informal): se partimos de left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis, em que direção devemos caminhar para que a saída de f aumente mais rapidamente?
Questão (formal): qual vetor unitário start bold text, u, end bold text, with, hat, on top maximiza a derivada direcional na direção de start bold text, u, end bold text, with, hat, on top?
u^f(x0,y0)=u^f(x0,y0)Maximizar essa grandeza\begin{aligned} \nabla_{\hat{\textbf{u}}} f(x_0, y_0) = \underbrace{\hat{\textbf{u}} \cdot \nabla f(x_0, y_0)}_{ \text{Maximizar essa grandeza} } \end{aligned}
A famosa desigualdade triangular nos diz que isso será maximizado pelo vetor unitário na direção de del, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, comma, y, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.
Maximizar o produto escalar
Note que o fato de o gradiente apontar na direção da maior inclinação é uma consequência do fato mais fundamental de que todas as derivadas direcionais requerem o cálculo do produto escalar com del, f.