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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 3: Derivada parcial e gradiente (artigos)

Introdução às derivadas parciais

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O que é derivada parcial, como você a calcula e o que ela significa?

Conhecimentos prévios

O que estamos construindo

Para uma função multivariável, como f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, calcular derivadas parciais se parece com isso:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Trate }y\text{ como uma constante;}\\\\ \text{calcule a derivada.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Trate }x\text{ como uma constante;}\\\\ \text{calcule a derivada.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \end{aligned}

Este símbolo d curvado, \partial, normalmente chamado "del", é usado para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias de uma variável. Ou, devemos dizer... para diferenciá-las.
A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as outras constantes.
No que diz respeito a gráficos tridimensionais, você pode imaginar a derivada parcial start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction cortando o gráfico de f com um plano representando um valor constante de y e medir a inclinação da curva resultante ao longo do corte.

O que é uma derivada parcial?

Vamos assumir que você está familiarizado com as derivadas ordinárias start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction do cálculo de uma variável. Eu, na verdade, gosto dessa notação para a derivada, porque você pode interpretá-la assim:

Interprete d, x como "uma mudança muito pequena em x".
Interprete d, f como "uma mudança muito pequena na saída de f", onde entende-se que essa pequena mudança é o que resulta da pequena mudança d, x na entrada.

De fato, acredito que essa intuição para o símbolo start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction é uma das conclusões mais úteis do cálculo de uma variável, e quando você se aprofundar no assunto, a maioria dos conceitos sobre derivadas começará a fazer sentido.

Por exemplo, quando aplicá-la no gráfico de f, você pode interpretar essa "relação" start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction como a inclinação do gráfico de f, que depende do ponto onde você começou.

Como isso funciona para funções de múltiplas variáveis?

Considere uma função com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional.

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, minus, 2, x, y

Não há nada nos impedindo de escrever a mesma expressão, start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction e interpretá-la da mesma forma:

d, x ainda pode representar uma pequena mudança na variável x, que agora é apenas um componente da nossa entrada.
d, f ainda pode representar a mudança resultante na saída da função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis.

Entretanto, isso ignora o fato de que há outra variável de entrada y. O domínio agora tem dimensões múltiplas, então podemos variar a entrada em várias direções que não sejam a direção x. Por exemplo, e se variarmos y por um pequeno valor d, y? Se agora reinterpretarmos d, f como sendo a variação infinitesimal na função que essa mudança em d, y causa, teríamos uma derivada diferente start fraction, d, f, divided by, d, y, end fraction.

Nenhuma dessas derivadas conta a história completa de como nossa função f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis muda quando sua entrada muda ligeiramente, então as chamaremos de derivadas parciais. Para enfatizar a diferença, nós não iremos mais usar a letra d para indicar pequenas mudanças, mas, em vez disso, introduziremos o símbolo \partial para isso, escrevendo cada derivada parcial como start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction, start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction, etc.

Você lê o símbolo start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction em voz alta, dizendo "a derivada parcial de f em relação a x".

\begin{array}{c} \text{Pode ser visto como } \\ \text{"uma pequena alteração no} \\ \text{resultado da função"} \\\\ \begin{array}{c} \begin{array}{c} \blueE{\text{Usado no lugar de "d" na}} \\ \blueE{\text{notação }\dfrac{df}{dx}\text{ comum para}} \\ \blueE{\text{destacar que isso é}} \\ \blueE{\text{uma derivada parcial.}} \end{array} & \begin{array}{c} \LARGE\blueE\nearrow^{\huge\,\overbrace{\blueE\partial \greenE f}\,}\greenE \nwarrow \\\\ \Huge \text{\textemdash} \\\\ \LARGE\blueE\searrow_{\huge\,\underbrace{\blueE\partial \maroonE x}\,}\maroonE \swarrow \end{array} & \begin{array}{c} \\\\ \greenE{\text{Função}} \\ \greenE{\text{multivariável}} \\\\ \maroonE{\text{Indica qual}} \\ \maroonE{\text{variável de entrada}} \\ \maroonE{\text{é levemente alterada.}} \end{array} \end{array} \\\\ \text{Pode ser visto como} \\ \text{"uma pequena alteração em }x\text{"} \end{array}

Exemplo: cálculo de uma derivada parcial

Considere essa função:

f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, start color #bc2612, y, end color #bc2612, cubed

Suponha que eu pedi a você para calcular start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, a derivada parcial em relação a x, no ponto left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.

"O quê? Mas eu ainda não aprendi como!"

Não se preocupe, é praticamente a mesma mecânica das derivadas comuns.

Pela introdução acima, você deveria saber que o que está sendo perguntado é a taxa na qual f varia quando variamos um pouco o componente x da entrada, talvez variando de left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis para left parenthesis, start color #0c7f99, 3, comma, 01, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis.

Já que só nos interessa o movimento na direção start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, podemos muito bem tratar o valor start color #bc2612, y, end color #bc2612 como constante. Na verdade, podemos fixá-lo como start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612 antes de calcular quaisquer derivadas:

f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, left parenthesis, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, cubed, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared

Agora, a pergunta de como f varia em resposta a uma pequena mudança em start color #0c7f99, x, end color #0c7f99 é só uma derivada comum, de uma variável.

Verificação do conceito

Qual é a derivada da função f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis, equals, 8, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared calculada em start color #0c7f99, x, equals, 3, end color #0c7f99?

Sem calcular y previamente

Agora suponha que eu pedi para você calcular start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, mas não pedi para você calcular em um ponto específico. Em outras palavras, você deve me dar uma nova função multivariável que toma qualquer ponto left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, y, end color #bc2612, right parenthesis como entrada e me diz qual é a taxa de variação de f perto do ponto quando nos movemos no eixo start color #0c7f99, x, end color #0c7f99.

Você pode começar do mesmo jeito, tratando o valor de start color #bc2612, y, end color #bc2612 como constante. Entretanto, dessa vez, você não pode substituir por um valor numérico constante, como start color #bc2612, y, equals, 2, end color #bc2612. Ao invés disso, finja que start color #bc2612, y, end color #bc2612 é constante e derive:

start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start underbrace, start fraction, d, divided by, start color #0c7f99, d, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, end underbrace, start subscript, start text, F, i, n, j, a, space, q, u, e, space, end text, y, start text, space, e, with, \', on top, space, u, m, a, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, end subscript, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed

Ou melhor, para enfatizar que essa é uma função multivariável, usamos o símbolo \partial no lugar de d:

start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, f, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, \partial, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, squared, y, cubed, right parenthesis, equals, 2, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, y, cubed

Para testar, você pode substituir left parenthesis, start color #0c7f99, 3, end color #0c7f99, comma, start color #bc2612, 2, end color #bc2612, right parenthesis para ver que obtemos o mesmo resultado mostrado acima.

"Então, qual é a diferença entre start fraction, d, divided by, d, x, end fraction e start fraction, \partial, divided by, \partial, x, end fraction? Elas parecem ser usados da mesma forma".

Honestamente, até onde eu sei, não existem diferenças reais entre essas operações. Você poderia ser formal e dizer que a primeira é definida apenas para as funções de uma variável. Mas, até onde a intuição e os cálculos vão, elas são iguais, e a diferença existe apenas para esclarecer o tipo de função que está sendo diferenciada.

Interpretação de derivadas parciais com gráficos

Considere essa função:

f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3,

Aqui está um vídeo mostrando a rotação do seu gráfico, apenas para termos a sensação de sua natureza tridimensional.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

Pense sobre a derivada parcial de f em relação a start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, talvez avaliada no ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis.

start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction, left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis

Em termos do gráfico, o que o valor dessa expressão nos diz sobre o comportamento da função f no ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis?

Tratar y como constante right arrow cortar o gráfico com um plano

O primeiro passo quando calculamos esse valor é tratar y como constante. Especificamente, se nós estamos limitando nossa visão do que acontece com o ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis, devemos olhar apenas para o conjunto de pontos em que y, equals, 0. No espaço tridimensional, esse conjunto é um plano perpendicular ao eixo y, passando pela origem.

Esse plano y, equals, 0, mostrado em branco, corta o gráfico em left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis ao longo de uma curva parabólica, mostrada em vermelho. Nós podemos interpretar start fraction, \partial, f, divided by, start color #0c7f99, \partial, x, end color #0c7f99, end fraction como a inclinação de uma reta tangente a essa curva. Por quê? Porque \partial, x é uma leve variação no eixo x, na horizontal, e \partial, f é o variação no eixo z, na altura.

E start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction no mesmo ponto left parenthesis, 2, comma, 0, right parenthesis? Os pontos onde start color #0c7f99, x, equals, 2, end color #0c7f99 também constituem um plano, mas dessa vez é um plano perpendicular ao eixo x interceptando o ponto x, equals, 2. Isso corta o gráfico ao longo de uma nova curva, e start fraction, \partial, f, divided by, start color #bc2612, \partial, y, end color #bc2612, end fraction dará a inclinação da nova curva.

Pergunta para reflexão

Na figura à direita, a "curva" na qual o gráfico de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, start fraction, 1, divided by, 5, end fraction, left parenthesis, x, squared, minus, 2, x, y, right parenthesis, plus, 3 intercepta o plano definido por x, equals, 2 parece ser uma linha reta.

Ela é mesmo uma reta?

[Explicação aprofundada dessa derivada parcial]

Frases e notações

Aqui estão algumas frases que você pode ouvir em referência à operação start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction:

"A derivada parcial de f em relação a x"
"Del f, del x"
"Parcial f, parcial x"
"A derivada parcial (de f) na direção de x"

Notação alternativa

Da mesma forma que as pessoas às vezes preferem escrever f, prime em vez de start fraction, d, f, divided by, d, x, end fraction, temos a seguinte notação:

\begin{aligned} f_\blueE{x} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} \\\\ f_\redE{y} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} \\\\ f_{\greenE{\langle\text{Alguma variável }\rangle}} &\leftrightarrow \dfrac{\partial f}{\greenE{\partial \langle\text{A mesma variável} \rangle}} \end{aligned}

Uma observação sobre "del"

Embora seja comum nos referirmos ao símbolo parcial \partial como "del", isso pode ser confuso, porque "del" também é o nome do símbolo Nabla del, o qual vamos introduzir no próximo artigo.

Uma definição mais formal

Embora pensar em d, x ou \partial, x como mudanças realmente pequenas no valor de x é intuitivamente útil, é bom ocasionalmente dar um passo para trás e lembrar que sua definição requer a introdução de limites. Afinal, qual valor pequeno específico seria \partial, x? Um centésimo? Um milionésimo? 10, start superscript, minus, 10, start superscript, 10, end superscript, end superscript?

O ponto do cálculo é que não usamos nenhum número muito pequeno, mas consideremos todos os possíveis valores e depois analisamos o que tende a acontecer quando eles se aproximam de um valor limite. Uma derivada de uma única variável, por exemplo, é definida assim:

\begin{aligned} \dfrac{{df}}{\blueE{dx}}(x_0) = \lim_{\blueE{h}\to 0} \dfrac{{f(x_0\blueE{+h}) - f(x_0)}}{\blueE{h}} \end{aligned}

h representa o "pequeno valor" que intuitivamente pensamos como d, x.
h, \to, 0 abaixo do limite indica que nós estamos usando valores muito pequenos de h, aqueles que se aproximam de 0.
f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, plus, h, right parenthesis, minus, f, left parenthesis, x, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis é a mudança na saída que resulta de adicionar h à entrada, o que nós consideramos como d, f.

A definição formal da derivada parcial é quase igual. Se f, left parenthesis, x, comma, y, comma, dots, right parenthesis é uma função multivariável, ela tem essa aparência:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\blueE{h} \to 0} \dfrac{f(\blueE{x_0\blueE{+h}}, y_0, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)} {\blueE{h}} \end{aligned}

De modo similar, é assim que a derivada parcial em relação a y se parece:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\redD{\partial y}}(x_0, y_0, \dots) &= \lim_{\redD{h} \to 0} \dfrac{f(x_0, \redD{y_0+h}, \dots) - f(x_0, y_0, \dots)}{\redD{h}} \end{aligned}

O ponto é que h, que representa uma pequena variação na entrada, é adicionada a diferentes variáveis de entrada dependendo da derivada parcial que estamos calculando.

As pessoas muitas vezes se referem a isso como definição de limite da derivada parcial.

Questão de reflexão: como podemos pensar sobre essa definição de limite no contexto da interpretação gráfica acima? O que é h? Como ele se parece quando h, \to, 0?

Resumo

Para uma função multivariável, como f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, calcular derivadas parciais se parece com isso:

\begin{aligned} \dfrac{\partial f}{\blueE{\partial x}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\blueE{\partial x}} \blueE{x^2}y }_{\substack{ \text{Trate }y\text{ como uma constante;}\\\\ \text{calcule a derivada.} }}\!\!\!\!\! = 2\blueE{x}y \\\\ \dfrac{\partial f}{\redE{\partial y}} &= \!\!\!\!\! \underbrace{ \dfrac{\partial}{\redE{\partial y}} x^2\redE{y} }_{\substack{ \text{Trate }x\text{ como uma constante;}\\\\ \text{calcule a derivada.} }}\!\!\!\!\! = x^2\cdot \redE{1} \end{aligned}

O símbolo do "d curvado" \partial, normalmente chamado "del", é usado para distinguir as derivadas parciais das derivadas de variável única comuns.
A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as outras constantes.
No que diz respeito a gráficos tridimensionais, você pode imaginar a derivada parcial start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction cortando o gráfico de f com um plano representando um valor constante de y e medir a inclinação da curva resultante.

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