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Conteúdo principal

Introdução às derivadas parciais

O que é derivada parcial, como você a calcula e o que ela significa?

O que estamos construindo

  • Para uma função multivariável, como f(x,y)=x2y, calcular derivadas parciais se parece com isso:
fx=xx2yTrate y como uma constante;calcule a derivada.=2xyfy=yx2yTrate x como uma constante;calcule a derivada.=x21
  • Este símbolo d curvado, , normalmente chamado "del", é usado para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias de uma variável. Ou, devemos dizer... para diferenciá-las.
  • A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as outras constantes.
  • No que diz respeito a gráficos tridimensionais, você pode imaginar a derivada parcial fx cortando o gráfico de f com um plano representando um valor constante de y e medir a inclinação da curva resultante ao longo do corte.
Interceptação do plano y=0 com o gráfico

O que é uma derivada parcial?

Vamos assumir que você está familiarizado com as derivadas ordinárias dfdx do cálculo de uma variável. Eu, na verdade, gosto dessa notação para a derivada, porque você pode interpretá-la assim:
  • Interprete dx como "uma mudança muito pequena em x".
  • Interprete df como "uma mudança muito pequena na saída de f", onde entende-se que essa pequena mudança é o que resulta da pequena mudança dx na entrada.
De fato, acredito que essa intuição para o símbolo dfdx é uma das conclusões mais úteis do cálculo de uma variável, e quando você se aprofundar no assunto, a maioria dos conceitos sobre derivadas começará a fazer sentido.
Por exemplo, quando aplicá-la no gráfico de f, você pode interpretar essa "relação" dfdx como a inclinação do gráfico de f, que depende do ponto onde você começou.
Interpretação de dfracdfdx em uma função de uma variável.

Como isso funciona para funções de múltiplas variáveis?

Considere uma função com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional.
f(x,y)=x22xy
Não há nada nos impedindo de escrever a mesma expressão, dfdx e interpretá-la da mesma forma:
  • dx ainda pode representar uma pequena mudança na variável x, que agora é apenas um componente da nossa entrada.
  • df ainda pode representar a mudança resultante na saída da função f(x,y).
Entretanto, isso ignora o fato de que há outra variável de entrada y. O domínio agora tem dimensões múltiplas, então podemos variar a entrada em várias direções que não sejam a direção x. Por exemplo, e se variarmos y por um pequeno valor dy? Se agora reinterpretarmos df como sendo a variação infinitesimal na função que essa mudança em dy causa, teríamos uma derivada diferente dfdy.
Indicação de que a entrada de uma função multivariável pode mudar em várias direções.
Nenhuma dessas derivadas conta a história completa de como nossa função f(x,y) muda quando sua entrada muda ligeiramente, então as chamaremos de derivadas parciais. Para enfatizar a diferença, nós não iremos mais usar a letra d para indicar pequenas mudanças, mas, em vez disso, introduziremos o símbolo para isso, escrevendo cada derivada parcial como fx, fy, etc.
Você lê o símbolo fx em voz alta, dizendo "a derivada parcial de f em relação a x".
Pode ser visto como "uma pequena alteração noresultado da função"Usado no lugar de "d" nanotação dfdx comum paradestacar que isso éuma derivada parcial.fxFunçãomultivariávelIndica qualvariável de entradaé levemente alterada.Pode ser visto como"uma pequena alteração em x"

Exemplo: cálculo de uma derivada parcial

Considere essa função:
f(x,y)=x2y3
Suponha que eu pedi a você para calcular fx, a derivada parcial em relação a x, no ponto (3,2).
"O quê? Mas eu ainda não aprendi como!"
Não se preocupe, é praticamente a mesma mecânica das derivadas comuns.
Pela introdução acima, você deveria saber que o que está sendo perguntado é a taxa na qual f varia quando variamos um pouco o componente x da entrada, talvez variando de (3,2) para (3,01,2).
Já que só nos interessa o movimento na direção x, podemos muito bem tratar o valor y como constante. Na verdade, podemos fixá-lo como y=2 antes de calcular quaisquer derivadas:
f(x,2)=x2(2)3=8x2
Agora, a pergunta de como f varia em resposta a uma pequena mudança em x é só uma derivada comum, de uma variável.
Verificação do conceito
Qual é a derivada da função f(x,2)=8x2 calculada em x=3?

Sem calcular y previamente

Agora suponha que eu pedi para você calcular fx, mas não pedi para você calcular em um ponto específico. Em outras palavras, você deve me dar uma nova função multivariável que toma qualquer ponto (x,y) como entrada e me diz qual é a taxa de variação de f perto do ponto quando nos movemos no eixo x.
Você pode começar do mesmo jeito, tratando o valor de y como constante. Entretanto, dessa vez, você não pode substituir por um valor numérico constante, como y=2. Ao invés disso, finja que y é constante e derive:
ddxf(x,y)=ddx(x2y3)Finja que y é uma constante=2xy3
Ou melhor, para enfatizar que essa é uma função multivariável, usamos o símbolo no lugar de d:
xf(x,y)=x(x2y3)=2xy3
Para testar, você pode substituir (3,2) para ver que obtemos o mesmo resultado mostrado acima.
"Então, qual é a diferença entre ddx e x? Elas parecem ser usados da mesma forma".
Honestamente, até onde eu sei, não existem diferenças reais entre essas operações. Você poderia ser formal e dizer que a primeira é definida apenas para as funções de uma variável. Mas, até onde a intuição e os cálculos vão, elas são iguais, e a diferença existe apenas para esclarecer o tipo de função que está sendo diferenciada.

Interpretação de derivadas parciais com gráficos

Considere essa função:
f(x,y)=15(x22xy)+3,
Aqui está um vídeo mostrando a rotação do seu gráfico, apenas para termos a sensação de sua natureza tridimensional.
Invólucro do vídeo da Khan Academy
Pense sobre a derivada parcial de f em relação a x, talvez avaliada no ponto (2,0).
fx(2,0)
Em termos do gráfico, o que o valor dessa expressão nos diz sobre o comportamento da função f no ponto (2,0)?

Tratar y como constante cortar o gráfico com um plano

O primeiro passo quando calculamos esse valor é tratar y como constante. Especificamente, se nós estamos limitando nossa visão do que acontece com o ponto (2,0), devemos olhar apenas para o conjunto de pontos em que y=0. No espaço tridimensional, esse conjunto é um plano perpendicular ao eixo y, passando pela origem.
Interceptação do plano y=0 com o gráfico
Esse plano y=0, mostrado em branco, corta o gráfico em (x,y) ao longo de uma curva parabólica, mostrada em vermelho. Nós podemos interpretar fx como a inclinação de uma reta tangente a essa curva. Por quê? Porque x é uma leve variação no eixo x, na horizontal, e f é o variação no eixo z, na altura.
E fy no mesmo ponto (2,0)? Os pontos onde x=2 também constituem um plano, mas dessa vez é um plano perpendicular ao eixo x interceptando o ponto x=2. Isso corta o gráfico ao longo de uma nova curva, e fy dará a inclinação da nova curva.
Interceptação do plano x=2 com o gráfico.
Pergunta para reflexão
Na figura à direita, a "curva" na qual o gráfico de f(x,y)=15(x22xy)+3 intercepta o plano definido por x=2 parece ser uma linha reta.
Ela é mesmo uma reta?
Escolha 1 resposta:

Frases e notações

Aqui estão algumas frases que você pode ouvir em referência à operação fx:
  • "A derivada parcial de f em relação a x"
  • "Del f, del x"
  • "Parcial f, parcial x"
  • "A derivada parcial (de f) na direção de x"

Notação alternativa

Da mesma forma que as pessoas às vezes preferem escrever f em vez de dfdx, temos a seguinte notação:
fxfxfyfyfAlguma variável fA mesma variável

Uma observação sobre "del"

Embora seja comum nos referirmos ao símbolo parcial como "del", isso pode ser confuso, porque "del" também é o nome do símbolo Nabla , o qual vamos introduzir no próximo artigo.

Uma definição mais formal

Embora pensar em dx ou x como mudanças realmente pequenas no valor de x é intuitivamente útil, é bom ocasionalmente dar um passo para trás e lembrar que sua definição requer a introdução de limites. Afinal, qual valor pequeno específico seria x? Um centésimo? Um milionésimo? 101010?
O ponto do cálculo é que não usamos nenhum número muito pequeno, mas consideremos todos os possíveis valores e depois analisamos o que tende a acontecer quando eles se aproximam de um valor limite. Uma derivada de uma única variável, por exemplo, é definida assim:
dfdx(x0)=limh0f(x0+h)f(x0)h
  • h representa o "pequeno valor" que intuitivamente pensamos como dx.
  • h0 abaixo do limite indica que nós estamos usando valores muito pequenos de h, aqueles que se aproximam de 0.
  • f(x0+h)f(x0) é a mudança na saída que resulta de adicionar h à entrada, o que nós consideramos como df.
A definição formal da derivada parcial é quase igual. Se f(x,y,) é uma função multivariável, ela tem essa aparência:
fx(x0,y0,)=limh0f(x0+h,y0,)f(x0,y0,)h
De modo similar, é assim que a derivada parcial em relação a y se parece:
fy(x0,y0,)=limh0f(x0,y0+h,)f(x0,y0,)h
O ponto é que h, que representa uma pequena variação na entrada, é adicionada a diferentes variáveis de entrada dependendo da derivada parcial que estamos calculando.
As pessoas muitas vezes se referem a isso como definição de limite da derivada parcial.
Questão de reflexão: como podemos pensar sobre essa definição de limite no contexto da interpretação gráfica acima? O que é h? Como ele se parece quando h0?

Resumo

  • Para uma função multivariável, como f(x,y)=x2y, calcular derivadas parciais se parece com isso:
fx=xx2yTrate y como uma constante;calcule a derivada.=2xyfy=yx2yTrate x como uma constante;calcule a derivada.=x21
  • O símbolo do "d curvado" , normalmente chamado "del", é usado para distinguir as derivadas parciais das derivadas de variável única comuns.
  • A razão para um novo tipo de derivada é que quando a entrada de uma função é composta de múltiplas variáveis, queremos ver como a função muda quando deixamos apenas uma dessas variáveis mudar enquanto mantemos todas as outras constantes.
  • No que diz respeito a gráficos tridimensionais, você pode imaginar a derivada parcial fx cortando o gráfico de f com um plano representando um valor constante de y e medir a inclinação da curva resultante.
Interceptação do plano y=0 com o gráfico

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