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Cálculo multivariável

Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2

Lição 3: Derivada parcial e gradiente (artigos)
Matemática
Cálculo multivariável
Derivadas de funções multivariáveis
Derivada parcial e gradiente (artigos)
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Segundas derivadas parciais

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Uma breve visão geral da segunda derivada parcial, da simetria das derivadas parciais mistas e das derivadas parciais de maior ordem.

Contexto:

Generalizando a segunda derivada

Considere uma função com entrada bidimensional, tal como
f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, x, squared, y, cubed.
Suas derivadas parciais start fraction, \partial, f, divided by, \partial, x, end fraction e start fraction, \partial, f, divided by, \partial, y, end fraction usam a mesma entrada bidimensional left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis:
∂f∂x=∂∂x(x2y3)=2xy3∂f∂y=∂∂y(x2y3)=3x2y2\begin{aligned} &\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} = \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^2 y^3) = 2\blueE{x} y^3 \\\\ &\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} = \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(x^2 \redE{y}^3) = 3x^2 \redE{y}^2 \end{aligned}
Portanto, também podem podemos calcular a derivadas parciais das das derivadas parciais.
Essas são chamadas derivadas parciais de segunda ordem, e a notação é análoga à notação start fraction, d, squared, f, divided by, d, x, squared, end fraction da segunda derivada em cálculo de uma variável:
∂∂x(∂f∂x)=∂2f∂x2∂∂x(∂f∂y)=∂2f∂x∂y∂∂y(∂f∂x)=∂2f∂y∂x∂∂y(∂f∂y)=∂2f∂y2\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x}^2} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \blueE{x} \partial \redE{y}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \blueE{x}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y} \partial \blueE{x}} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} \left(\dfrac{\partial f}{\partial \redE{y}} \right) &= \dfrac{\partial^2 f}{\partial \redE{y}^2} \end{aligned}
Usando a notação f, start subscript, x, end subscript para a derivada parcial (nesse caso, em relação a x), você também pode ver as derivadas parciais de segunda ordem escritas como:
(fx)x=fxx(fy)x=fyx(fx)y=fxy(fy)y=fyy\begin{aligned} (f_\blueE{x})_\blueE{x} &= f_{\blueE{x}\blueE{x}} \\\\ (f_\redE{y})_\blueE{x} &= f_{\redE{y}\blueE{x}} \\\\ (f_\blueE{x})_\redE{y} &= f_{\blueE{x}\redE{y}} \\\\ (f_\redE{y})_\redE{y} &= f_{\redE{y}\redE{y}} \end{aligned}
As derivadas parciais de segunda ordem que envolvem múltiplas variáveis de entrada distintas, como f, start subscript, start color #bc2612, y, end color #bc2612, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, end subscript e f, start subscript, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #bc2612, y, end color #bc2612, end subscript, são chamadas de "derivadas parciais mistas"

Exemplo 1: a árvore completa

Problema: encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem de f, left parenthesis, x, comma, y, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, right parenthesis, y, squared
Solução: primeiro, calcule as duas derivadas parciais:
∂∂x(sen⁡(x)y2)=cos⁡(x)y2∂∂y(sen⁡(x)y2)=2sen⁡(x)y\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}} (\operatorname{sen}(\blueE{x})y^2) &= \cos(\blueE{x})y^2 \\ \\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}} (\operatorname{sen}(x)\redE{y}^2) &= 2\operatorname{sen}(x)\redE{y} \end{aligned}
Então para cada uma, escreva as duas derivadas parciais:
∂∂x(∂∂x(sen⁡(x)y2))=∂∂x(cos⁡(x)y2)=−sen⁡(x)y2∂∂x(∂∂y(sen⁡(x)y2))=∂∂x(2sen⁡(x)y)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂x(sen⁡(x)y2))=∂∂y(cos⁡(x)y2)=2cos⁡(x)y∂∂y(∂∂y(sen⁡(x)y2))=∂∂y(2sen⁡(x)y)=2sen⁡(x)\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen}(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\cos(\blueE{x})y^2) = -\operatorname{sen}(\blueE{x})y^2 \\\\ \dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(2\operatorname{sen}(\blueE{x})y) = 2\cos(\blueE{x})y \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial x}(\operatorname{sen}(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(\cos(x)\redE{y}^2) = 2\cos(x)\redE{y} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial y}(\operatorname{sen}(x)y^2) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redE{y}}(2\operatorname{sen}(x)\redE{y}) = 2\operatorname{sen}(x) \end{aligned}
sen⁡(x)y2∂∂x↙↘∂∂ycos⁡(x)y22sen⁡(x)y∂∂x↙↘∂∂y∂∂x↙↘∂∂ysen⁡(x)y22cos⁡(x)y2cos⁡(x)y⏟As derivadas parciais mistas sa˜o iguais!2sen⁡(x)\begin{array}{ccccccc} &\large\operatorname{sen}(x)y^2 \\\\ &\small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow\quad\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ &\large\cos(x)y^2\qquad\qquad\qquad 2\operatorname{sen}(x)y \\\\ \small\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y}\qquad\qquad\qquad\dfrac{\partial}{\partial x}\large\swarrow&\large\searrow\small\dfrac{\partial}{\partial y} \\\\ \large\operatorname{sen}(x)y^2&\large\maroonD{\underbrace{\blueE{2\cos(x)y\qquad2\cos(x)y}}_{\text{As derivadas parciais mistas são iguais!}}}&\large2\operatorname{sen}(x) \end{array}

Simetria das segundas derivadas

Repare que, no exemplo acima, as duas derivadas parciais mistas start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, x, \partial, y, end fraction e start fraction, \partial, squared, f, divided by, \partial, y, \partial, x, end fraction são iguais. Isso não é coincidência; acontece com quase toda função que você encontra na prática. Por exemplo, veja o que acontece com um polinômio geral x, start superscript, n, end superscript, y, start superscript, k, end superscript:
∂∂x(∂∂y(xnyk))=∂∂x(kxnyk−1)=nkxn−1yk−1∂∂y(∂∂x(xnyk))=∂∂y(nxn−1yk)=nkxn−1yk−1\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(k \blueE{x}^n \redD{y}^{k-1}) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \\\\ \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}\left( \dfrac{\partial}{\partial \blueE{x}}(\blueE{x}^n \redD{y}^k) \right) &= \dfrac{\partial}{\partial \redD{y}}(n \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^k) = nk \blueE{x}^{n-1} \redD{y}^{k-1} \end{aligned}
Tecnicamente, a simetria de segundas derivadas não é sempre verdadeira. Existe um teorema, chamado muitas vezes de Teorema de Schwarz ou Teorema de Clairaut, que afirma que a simetria de segundas derivadas vai sempre valer em um ponto se as derivadas parciais de segunda ordem forem contínuas na vizinhança daquele ponto. Para realmente entender isso, precisaremos de algumas análises reais.
Você deve ter em mente que exceções existem, mas que a simetria de segundas derivadas funciona para praticamente todas as funções que pareçam "normais" com as quais você se deparará.

Exemplo 2: derivadas de ordem superior

Por que parar nas derivadas parciais de segunda ordem? Poderíamos também considerar, digamos, cinco derivadas parciais em relação a várias variáveis de entrada.
Problema: se f, left parenthesis, x, comma, y, comma, z, right parenthesis, equals, s, e, n, left parenthesis, x, y, right parenthesis, e, start superscript, x, plus, z, end superscript, quanto é f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript?
Solução: como a notação f, start subscript, z, y, z, y, x, end subscript é uma abreviação para left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, left parenthesis, f, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, z, end subscript, right parenthesis, start subscript, y, end subscript, right parenthesis, start subscript, x, end subscript, calculamos a derivada em relação a z, depois em relação a y, depois z, depois y, depois x. Isto é, lemos da esquerda para a direita.
Vale salientar que a ordem é diferente na outra notação:
∂∂x∂∂y∂∂z∂∂y∂f∂z=∂5f∂x⏟5a∂y⏟4a∂z⏟3a∂y⏟2a∂z⏟1a\begin{aligned} \quad \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial}{\partial z} \dfrac{\partial}{\partial y} \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\partial^5 f}{ \underbrace{\partial x}_{5^{a}} \underbrace{\partial y}_{4^{a}} \underbrace{\partial z}_{3^{a}} \underbrace{\partial y}_{2^{a}} \underbrace{\partial z}_{1^{a}} } \end{aligned}
Logo a ordem de diferenciação é indicada pela ordem dos termos no denominador da direita para a esquerda.
De qualquer maneira, voltamos ao problema em questão. Esta é uma daquelas tarefas que você tem que arregaçar as mangas e trabalhar arduamente, mas para ajudar com o processo nós vamos colorir as variáveis start color #11accd, x, end color #11accd, comma, start color #e84d39, y, end color #e84d39, comma, start color #0d923f, z, end color #0d923f para manter o controle de onde elas estão:
f(x,y,z)=sen⁡(xy)ex+zfz(x,y,z)=∂f∂z(sen⁡(xy)ex+z)=sen⁡(xy)ex+zfzy(x,y,z)=∂f∂y(sen⁡(xy)ex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyz(x,y,z)=∂f∂z(cos⁡(xy)xex+z)=cos⁡(xy)xex+zfzyzy(x,y,z)=∂f∂y(cos⁡(xy)xex+z)=−sen⁡(xy)x2ex+zfzyzyx(x,y,z)=∂f∂x(−sen⁡(xy)x2ex+z)=−cos⁡(xy)y⏟∂∂x(−sen⁡(xy))x2ex+z=−sen⁡(xy)2x⏟∂∂xx2ex+z=−sen⁡(xy)x2ex+z⏟∂∂xex+z\begin{aligned} \quad f(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \greenE{z}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \redD{y}} \left( \cos(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= -\operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ f_{\greenE{z}\redD{y}\greenE{z}\redD{y}\blueD{x}}(\blueD{x}, \redD{y}, \greenE{z}) &= \dfrac{\partial f}{\partial \blueD{x}} \left( -\operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \right) \\\\ &= \underbrace{-\cos(\blueD{x}\redD{y})\redD{y}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x} (-\operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})) }\blueD{x}^2 e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ &\phantom{=}-\operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y}) \underbrace{2\blueD{x}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x}\blueD{x}^2 }e^{\blueD{x} + \greenE{z}} \\\\ &\phantom{=}-\operatorname{sen}(\blueD{x}\redD{y})\blueD{x}^2 \underbrace{e^{\blueD{x} + \greenE{z}}}_{ \small\dfrac{\partial}{\partial x} e^{\blueD{x} + \greenE{z}} } \end{aligned}
Esta última etapa usa a regra do produto estendida,
=ddx(f(x)g(x)h(x))=f′(x)g(x)h(x)+f(x)g′(x)h(x)+f(x)g(x)h′(x)\begin{aligned} &\phantom{=} \dfrac{d}{dx}\Big(f(x)g(x)h(x)\Big) \\\\ &= f'(x)g(x)h(x) + f(x)g'(x)h(x) + f(x)g(x)h'(x) \end{aligned}
Cara! Esse foi um exemplo chato. Mas se você puder seguir até o fim, calcular múltiplas derivadas parciais não deve ser um problema para você. É uma dessas coisas que apenas exigem um trabalho mais de contabilidade do que de qualquer outra coisa.

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