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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 7: Derivadas parciais de funções vetoriais- Calculando a derivada parcial de uma função vetorial
- Superfícies parametrizadas visualmente
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2
- Derivadas parciais de funções vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
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Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1
Quando uma função vetorial representa uma superfície paramétrica, como você interpreta sua derivada parcial? Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Fala, galera da Khan Academy! No último vídeo, nós aprendemos
como calcular a derivada parcial de uma função vetorial, mas a pergunta que talvez tenha
ficado na sua cabeça é: qual é o significado dessa derivada? Levando em consideração a perspectiva
mais geométrica e intuitiva, dedicaremos este vídeo aqui e o próximo para explicar e principalmente visualizar, por meio de animações,
o que esse cálculo significa. No caso desta função, podemos notar que
a nossa parametrização foi feita com apenas
duas variáveis. Mas no fim, essas variáveis nos
retornam valores tridimensionais já que temos "x", "y" e "z". Podemos, então, visualizar esta função
aqui com uma superfície paramétrica, então, o recurso que utilizaremos aqui é imaginar o plano (t, s) e tentar visualizar o que ocorre quando
transportamos o que está neste plano para um espaço tridimensional. Mas, em vez de nós desenharmos
esse plano separadamente, depois tentar animar no nosso espaço, nós iremos diretamente inserir um plano ali no nosso
espaço tridimensional e a partir das animações nós saberemos
como que essa superfície se comporta. Este plano aqui é o plano (t, s), mas não inteiramente, já que neste caso os valores de "t"
entre zero e 3 e os valores de "s" também estão
entre zero e 3, isto aqui é apenas um recurso para a gente limitar o tamanho
da nossa animação. E note que nós sobrescrevemos
o plano (x, y) com o nosso plano (t, s). A ideia por trás disso é observarmos como cada
ponto do plano se comporta. Conforme nós ajustamos este plano aqui à nossa função paramétrica, isto é, a animação vai
mostrar para a gente como que um
par de pontos (t, s) se transforma na superfície paramétrica de acordo com a função paramétrica
que nós apresentamos. Então, aqui nesta animação,
cada ponto, par ordenado, está se movendo para um
ponto correspondente, beleza? Definido pela nossa função v(s, t), e nós acabamos aqui com uma superfície. Para entendermos melhor o que realmente
está acontecendo na animação, vamos nos concentrar apenas em
um ponto do nosso plano, e não só para facilitar o entendimento
da animação mas também para facilitar o cálculo, tá? E, por fim, o entendimento
da nossa derivada parcial em relação a "t". O ponto que nós vamos observar
aqui é o ponto (1, 1), ou seja, "t =1" e "s = 1", e com isso nós podemos saber
para onde esse ponto do plano (t, s) será movido após aplicarmos
a nossa função. Então, substituindo os valores (1, 1)
na nossa função, teremos para x,
1 menos 1, que é zero, para "y", teremos 1 vezes 1
que também é 1, e para "z" teremos 1 vezes 1²
menos 1 vezes 1² que, no fim, também dá zero. Então, se imputarmos os valores
(1, 1) para (t, s) respectivamente, teremos um vetor
de saída (0, 1, 0), ou seja, um vetor unitário que
aponta na direção "y". Sabendo que este aqui é o eixo "y", nós podemos desenhar esse vetor em nosso espaço e ver se realmente, ao transformar o plano (s, t)
na superfície paramétrica "v", este ponto se moverá para
o vetor que nós calculamos. E lembrando que a pontinha
desse vetor que define o ponto na
nossa função paramétrica, como se esses vetores se
movimentassem pelo espaço, e conforme eles se
movimentam no espaço, conforme você varia "t" e "s", ele desenha a nossa superfície
paramétrica, beleza? Então, assistindo àquela animação que
nós mostramos no começo novamente, aquele ponto (1, 1),
de fato se move para a ponta do vetor que nós calculamos
através da função, pelo menos para este valor você pode ver que a nossa
animação realmente condiz com a função que a gente apresentou. A princípio, você pode fazer
isso para qualquer ponto. Quaisquer que sejam os valores
de entrada na nossa função, este dado ponto tem que se mover
para o vetor resultante na nossa função conforme você transforma
um plano na superfície. E agora que já entendemos melhor e demos uma visualizada
melhor na nossa função, nós podemos iniciar a discussão sobre o que essa derivada
parcial significa. E lembre-se, este ∂t está te dizendo para considerar apenas a direção "t". Então, a pergunta que nós devemos
nos fazer para entender esta derivada é: como são os movimentos em relação a "t", neste recorte que fizemos
da função v(s, t)? A direção "t" é esta direção aqui onde
estão representados os valores 1, 2 e 3, e esta linha em rosa representa um
valor constante, que é "s = 1". E sabemos disso pois esta linha
passa pelo ponto (1, 1) enquanto o nosso "t" varia livremente
entre o zero e 3 que definimos para o nosso plano. Se assistirmos como esta linha
é transformada pela nossa função paramétrica, isto é, assistindo a esta animação
do plano (t, s) se transformando na nossa função "v", você consegue ter uma ideia
do resultado da variação de "t" na nossa superfície de saída. Toda esta linha desenhada na cor rosa está basicamente nos dizendo
o que acontece se você fixar "s = 1" e deixar "t" variar livremente. Você obtém, na verdade,
uma certa curva aí no espaço, como você pode ver, e caso nós fixássemos "s"
igual a outro número seria uma curva diferente. Você pode até observar, por conta da
textura em xadrez da nossa superfície, as outras curvas, e, de certa forma, todas essas curvas são paralelas. Se você começar a pensar, não no movimento do "t'' como um todo, mas sim em pequenos deslocamentos, deslocamentos infinitesimais
na direção de "t", como se você tivesse gravando
os valores da função "v" para cada deslocamento na direção "t", você começa a pensar na própria
derivada parcial da função "v" em relação ao parâmetro "t''. E para não em um campo muito imaginário, nós podemos até definir
um valor para esse ∂t. Vamos dizer que ele varia
de 0,01 em 0,01. Então, vamos novamente assistir à transformação dos pontos (t, s)
na função ''v". Podemos ver o nosso ponto de entrada e a linha representando "t". Esse pequeno deslocamento na direção "t" provavelmente será
esticado ou encolhido durante a nossa transformação, e isso pode ser percebido através
das distorções dos quadradinhos da nossa superfície. Este encolhimento ou esticamento
do pequeno deslocamento vai resultar em um vetor apontando
na direção desta curva. E, mais importante ainda, vai resultar em um vetor tangente
à esta curva desenhada em rosa. Este deslocamento é justamente
o que estamos tentando calcular através da nossa parcial. Então, a grandeza representada
quando temos um ∂v/∂t é basicamente qual o pequeno deslocamento
resultante em minha função quando eu desloco os meus pontos
de entrada na direção de "t". Como vimos, nós temos um valor
muito pequeno para o nosso ∂t, nosso parcial "t". Então, quando existe
a divisão de um número por um número
muito pequeno, existe a chance de que este resultado
seja um número bem grande, ou seja, esta derivada aqui pode nos retornar vetores tangentes com um grande módulo. Então, o vetor que representa
essa derivada não necessariamente será
apenas um pequeno vetor, mas sim de fato, um
vetor tangente à curva só que escalonado apropriadamente aos valores de entrada
e saída da nossa função. E quanto maior for o módulo
dessa derivada, maior e mais rápido é o deslocamento
através da superfície "t". Analisando novamente a nossa
superfície resultante, podemos ver que esta função resulta em uma superfície que se move
positivamente na direção de "x", positivamente na direção "y", e na direção "z" se move para baixo, ou seja, no sentido negativo
da direção "z". Isso mostra que mesmo antes
de realizar o cálculo da derivada, isto é, mesmo antes de imputarmos
os valores (1,1) na nossa função ∂v/∂t, nós podemos prever que, para "x",
teremos um valor positivo, para "y", também teremos
um valor positivo, já que, lembrando, temos um movimento
para a direita em "x", para frente em "y", e para "z" temos um valor negativo. Então, vamos confirmar
esta nossa predição aqui e vamos substituir os valores. Para ''x" teremos 2 vezes 1,
que é igual a 2, para "y" teremos apenas 1 e para "z" teremos 1 menos 2,
que é -1, confirmando para nós que a interpretação
da nossa derivada parcial consegue, de forma assertiva,
prever os valores. Então, galera, apresentamos aqui
o significado geométrico, uma intuição geométrica
da nossa derivada parcial, e apenas reforçando,
quando calculamos esta derivada, não obtemos vetores proporcionais
a esses pequenos deslocamentos, mas sim vetores
inversamente proporcionais a esses pequenos deslocamentos. Ou seja, não necessariamente, por ter um pequeno deslocamento, você terá um pequeno
vetor tangente, beleza? Caso vocês não tenham entendido
completamente esta intuição aqui, nos próximos vídeos nós fazemos
a mesma linha de pensamento, só que, desta vez, iremos calcular a derivada parcial
da nossa função "v" em relação à variável "s". Então, é isso, galera! Nos vemos no próximo vídeo.