Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1

RKA8JV - Fala, galera da Khan Academy! No último vídeo, nós aprendemos como calcular a derivada parcial de uma função vetorial, mas a pergunta que talvez tenha ficado na sua cabeça é: qual é o significado dessa derivada? Levando em consideração a perspectiva mais geométrica e intuitiva, dedicaremos este vídeo aqui e o próximo para explicar e principalmente visualizar, por meio de animações, o que esse cálculo significa. No caso desta função, podemos notar que a nossa parametrização foi feita com apenas duas variáveis. Mas no fim, essas variáveis nos retornam valores tridimensionais já que temos "x", "y" e "z". Podemos, então, visualizar esta função aqui com uma superfície paramétrica, então, o recurso que utilizaremos aqui é imaginar o plano (t, s) e tentar visualizar o que ocorre quando transportamos o que está neste plano para um espaço tridimensional. Mas, em vez de nós desenharmos esse plano separadamente, depois tentar animar no nosso espaço, nós iremos diretamente inserir um plano ali no nosso espaço tridimensional e a partir das animações nós saberemos como que essa superfície se comporta. Este plano aqui é o plano (t, s), mas não inteiramente, já que neste caso os valores de "t" entre zero e 3 e os valores de "s" também estão entre zero e 3, isto aqui é apenas um recurso para a gente limitar o tamanho da nossa animação. E note que nós sobrescrevemos o plano (x, y) com o nosso plano (t, s). A ideia por trás disso é observarmos como cada ponto do plano se comporta. Conforme nós ajustamos este plano aqui à nossa função paramétrica, isto é, a animação vai mostrar para a gente como que um par de pontos (t, s) se transforma na superfície paramétrica de acordo com a função paramétrica que nós apresentamos. Então, aqui nesta animação, cada ponto, par ordenado, está se movendo para um ponto correspondente, beleza? Definido pela nossa função v(s, t), e nós acabamos aqui com uma superfície. Para entendermos melhor o que realmente está acontecendo na animação, vamos nos concentrar apenas em um ponto do nosso plano, e não só para facilitar o entendimento da animação mas também para facilitar o cálculo, tá? E, por fim, o entendimento da nossa derivada parcial em relação a "t". O ponto que nós vamos observar aqui é o ponto (1, 1), ou seja, "t =1" e "s = 1", e com isso nós podemos saber para onde esse ponto do plano (t, s) será movido após aplicarmos a nossa função. Então, substituindo os valores (1, 1) na nossa função, teremos para x, 1 menos 1, que é zero, para "y", teremos 1 vezes 1 que também é 1, e para "z" teremos 1 vezes 1² menos 1 vezes 1² que, no fim, também dá zero. Então, se imputarmos os valores (1, 1) para (t, s) respectivamente, teremos um vetor de saída (0, 1, 0), ou seja, um vetor unitário que aponta na direção "y". Sabendo que este aqui é o eixo "y", nós podemos desenhar esse vetor em nosso espaço e ver se realmente, ao transformar o plano (s, t) na superfície paramétrica "v", este ponto se moverá para o vetor que nós calculamos. E lembrando que a pontinha desse vetor que define o ponto na nossa função paramétrica, como se esses vetores se movimentassem pelo espaço, e conforme eles se movimentam no espaço, conforme você varia "t" e "s", ele desenha a nossa superfície paramétrica, beleza? Então, assistindo àquela animação que nós mostramos no começo novamente, aquele ponto (1, 1), de fato se move para a ponta do vetor que nós calculamos através da função, pelo menos para este valor você pode ver que a nossa animação realmente condiz com a função que a gente apresentou. A princípio, você pode fazer isso para qualquer ponto. Quaisquer que sejam os valores de entrada na nossa função, este dado ponto tem que se mover para o vetor resultante na nossa função conforme você transforma um plano na superfície. E agora que já entendemos melhor e demos uma visualizada melhor na nossa função, nós podemos iniciar a discussão sobre o que essa derivada parcial significa. E lembre-se, este ∂t está te dizendo para considerar apenas a direção "t". Então, a pergunta que nós devemos nos fazer para entender esta derivada é: como são os movimentos em relação a "t", neste recorte que fizemos da função v(s, t)? A direção "t" é esta direção aqui onde estão representados os valores 1, 2 e 3, e esta linha em rosa representa um valor constante, que é "s = 1". E sabemos disso pois esta linha passa pelo ponto (1, 1) enquanto o nosso "t" varia livremente entre o zero e 3 que definimos para o nosso plano. Se assistirmos como esta linha é transformada pela nossa função paramétrica, isto é, assistindo a esta animação do plano (t, s) se transformando na nossa função "v", você consegue ter uma ideia do resultado da variação de "t" na nossa superfície de saída. Toda esta linha desenhada na cor rosa está basicamente nos dizendo o que acontece se você fixar "s = 1" e deixar "t" variar livremente. Você obtém, na verdade, uma certa curva aí no espaço, como você pode ver, e caso nós fixássemos "s" igual a outro número seria uma curva diferente. Você pode até observar, por conta da textura em xadrez da nossa superfície, as outras curvas, e, de certa forma, todas essas curvas são paralelas. Se você começar a pensar, não no movimento do "t'' como um todo, mas sim em pequenos deslocamentos, deslocamentos infinitesimais na direção de "t", como se você tivesse gravando os valores da função "v" para cada deslocamento na direção "t", você começa a pensar na própria derivada parcial da função "v" em relação ao parâmetro "t''. E para não em um campo muito imaginário, nós podemos até definir um valor para esse ∂t. Vamos dizer que ele varia de 0,01 em 0,01. Então, vamos novamente assistir à transformação dos pontos (t, s) na função ''v". Podemos ver o nosso ponto de entrada e a linha representando "t". Esse pequeno deslocamento na direção "t" provavelmente será esticado ou encolhido durante a nossa transformação, e isso pode ser percebido através das distorções dos quadradinhos da nossa superfície. Este encolhimento ou esticamento do pequeno deslocamento vai resultar em um vetor apontando na direção desta curva. E, mais importante ainda, vai resultar em um vetor tangente à esta curva desenhada em rosa. Este deslocamento é justamente o que estamos tentando calcular através da nossa parcial. Então, a grandeza representada quando temos um ∂v/∂t é basicamente qual o pequeno deslocamento resultante em minha função quando eu desloco os meus pontos de entrada na direção de "t". Como vimos, nós temos um valor muito pequeno para o nosso ∂t, nosso parcial "t". Então, quando existe a divisão de um número por um número muito pequeno, existe a chance de que este resultado seja um número bem grande, ou seja, esta derivada aqui pode nos retornar vetores tangentes com um grande módulo. Então, o vetor que representa essa derivada não necessariamente será apenas um pequeno vetor, mas sim de fato, um vetor tangente à curva só que escalonado apropriadamente aos valores de entrada e saída da nossa função. E quanto maior for o módulo dessa derivada, maior e mais rápido é o deslocamento através da superfície "t". Analisando novamente a nossa superfície resultante, podemos ver que esta função resulta em uma superfície que se move positivamente na direção de "x", positivamente na direção "y", e na direção "z" se move para baixo, ou seja, no sentido negativo da direção "z". Isso mostra que mesmo antes de realizar o cálculo da derivada, isto é, mesmo antes de imputarmos os valores (1,1) na nossa função ∂v/∂t, nós podemos prever que, para "x", teremos um valor positivo, para "y", também teremos um valor positivo, já que, lembrando, temos um movimento para a direita em "x", para frente em "y", e para "z" temos um valor negativo. Então, vamos confirmar esta nossa predição aqui e vamos substituir os valores. Para ''x" teremos 2 vezes 1, que é igual a 2, para "y" teremos apenas 1 e para "z" teremos 1 menos 2, que é -1, confirmando para nós que a interpretação da nossa derivada parcial consegue, de forma assertiva, prever os valores. Então, galera, apresentamos aqui o significado geométrico, uma intuição geométrica da nossa derivada parcial, e apenas reforçando, quando calculamos esta derivada, não obtemos vetores proporcionais a esses pequenos deslocamentos, mas sim vetores inversamente proporcionais a esses pequenos deslocamentos. Ou seja, não necessariamente, por ter um pequeno deslocamento, você terá um pequeno vetor tangente, beleza? Caso vocês não tenham entendido completamente esta intuição aqui, nos próximos vídeos nós fazemos a mesma linha de pensamento, só que, desta vez, iremos calcular a derivada parcial da nossa função "v" em relação à variável "s". Então, é isso, galera! Nos vemos no próximo vídeo.