Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1

e fala galera do cancado no último vídeo Nós aprendemos como calcular a derivada parcial de uma função vetorial que Mas a pergunta que talvez tenha ficado na sua cabeça é é o significado dessa derivada e levando em consideração a perspectiva mais geométrica em Curitiba ficaremos este vídeo aqui e o próximo para explicar e principalmente Visualizar por meio de animações o que que esse cálculo significa por causa dessa função podemos notar que a nossa parametrização foi feita com apenas duas variáveis Mas no fim essas variáveis nos Retornam valores limite mais já que temos aqui e isso é podemos então visualizar Esta função aqui com uma superfície paramétrica então recursos que utilizaremos aqui é imaginar o plano TS tentar visualizar o que ocorre quando transportamos o que está nesse plano para um espaço dimensional mas ao invés de nós desenhar mas esse plano separadamente depois tentar animar nossos passos nós iremos diretamente e seria um plano ali no nosso espaço o jornal EA partir das animações não saberemos como que essas superfícies com porta esperando aqui é o plano PS mas não inteiramente já que neste caso os valores de textão entre 03 e e valores DS também estão em 1503 isso aqui apenas um recurso para gente limitar o tamanho da nossa animação e não acho que nós sobre escrevemos e plano XY com o nosso planta é se tá porque a ideia por trás disso é observaremos como cada ponto do plano se comporta conforme nós ajustamos esse ano aqui a nossa função paramétrica do é animação vai mostrar para gente como que um par de pontos de é se transforma na superfície para métrica de acordo com a função para médica que nós apresentamos então aqui nesta animação cada pouco para ordenar está se movendo para um pouco correspondente beleza definido lá pela nossa função Verde ST e nós acabamos aqui com uma superfície e para entendermos melhor o que realmente está acontecendo na animação Vamos colocar apenas de um ponto do nosso clã Ah e não só para facilitar o entendimento da animação mas também para facilitar o cálculo Tá e por fim o entendimento da nossa a derivada parcial em relação a p e o ponto que nós vamos observar aqui é o ponto 1 ou seja é igual a 1 e é esse long E com isso nós podemos saber para onde esse ponto do plano TS será movido após aplicar Mas a nossa função tão substituindo os valores um na nossa função teremos para X1 - 10 para Y tres vezes o também e Prazer teremos um x ao quadrado menos 1 vezes um quadrado que no fim também da Zero Então se contarmos os valores ui hum pra te essa espectivamente teremos um vetor de saída 0110 ou seja um vetor unitário que aponta a direção e sabendo que esse aqui é o eixo Y podemos desenhar esse vetor e nosso espaço e ver se realmente ao transformar o plano SP na superfície paramétrica ver e tipo dá para ouvir porque nós calculamos E lembrando que a pontinha injetor tá que define o ponto na nossa função para médica como que esse devedores se movimentassem pelo espaço e conforme esse movimento passo Conforme você faria e essa né ele desenha a nossa superfície para médica Beleza então assistindo aquela animação que nós mostramos no começo novamente aquele. Um fato se move para a ponta do cálculos através da função pelo menos por este valor você pode ver que a nossa animação realmente com disco a função ele te apresentou a princípio você pode fazer isso para qualquer. Quase quer que seja os valores de entrar na nossa função este dado. Tem que se mover para o vetor resultante na nossa função Conforme você transforma em um plano na superfície e agora que já entendemos melhor temos uma visualizada melhor na nossa função nós podemos iniciar a discussão sobre o que esta derivada parcial significa Elenice esse parcial de está te dizendo para considerar apenas a direção ter então eu devo fazer para entender esta derivada é como são os movimentos e relação a t neste recorte que fizemos da função ver DST adireção TS direção aqui ou são representados os valores três e estado em rosa representa um valor constante eo se igual a 1 e sabemos disso pois essa linha passa pelo. 1 enquanto o nosso te varia livremente entre 03 E aí que definir para o nosso plano e assistir como está linha transformada pela nossa função para métrica Isto é assistindo essa animação do plano PS se transformando na nossa função vê se consegue ter uma ideia do resultado da avaliação de ter na nossa superfície de saída toda essa linha desenhada na cor rosa tá basicamente nos dizer o que acontece se você fixar essa igual deixar ter variados livremente você obtém Na verdade uma certa curva e no espaço você pode ver E caso nós fixação nos S = outro número seria uma curva diferente você pode até o E aí por conta da textura de xadrez da nossa superfície as outras Curvas e de certa forma todas essas curvas aí são paralelas e Se você começar a pensar não do movimento entender como um todo mas sim pequenos deslocamentos deslocamentos infinitas e mais na direção de como se você tivesse gravando os valores da função ver para cada deslocamento na direção de você começa a pensar na própria derivada parcial da função ver em relação ao parâmetro e ficar um campo muito Imaginário nós podemos até definir um valor para esse del ter vamos dizer aqui que ele varia de 0,01 0,01 vamos novamente assistir à transformação PS na função ver podemos ver o nosso ponto de entrada apiadinha representando ter esse pequeno deslocamento na direção tem provavelmente será esticado ou encolhido durante a nossa transformação e isso pode ser percebido através das distorções aí dos quadradinhos da nossa superfície o e-mail esticamento do pequeno deslocamento Vai resultar em um vetor apontando na direção desta curva e mais importante ainda Vai resultar num vetor tangente a essa curva desenhado em rosa e esse deslocamento é justamente o que estamos tentando calcular através da nossa parcial então a grandeza representada quando temos um delvecchio edelter é basicamente qual pequeno deslocamento resultante e minha função quando eu desloca os meus pontos de entrada na direção de ter e como vimos nós temos um valor muito pequeno para o nosso del ter o nosso parcial ter então quando existe a divisão de um número um número que não existe a chance de que este resultado seja um número bem grande ou seja essa derivada que pode nos retornar vetor estrangeiros um grande módulo então o vetor que representa essa derivada não necessariamente ser apenas um pequeno vetor mas sim de fato um vetor tangente a curva só que escalonado apropriadamente aos valores de entrada e é Nossa função quanto maior for o módulo dessa derivada maior mais rápido ao deslocamento através da superfície analisando novamente a nossa superfície residente podemos ver que essa função nos região tem uma superfície e se move positivamente na direção de X positivamente na direção y e na direção Z se move para baixo ou seja no sentido negativo da direção Z Isso mostra que mesmo antes de realizar o cálculo da derivada Isto é mesmo antes de tentarmos os valores 1,1 na nossa função deve deve ter nós Podemos prever que parar x temos um valor positivo para Y também creme de bola Positivo já que lembram tênis novo para direita em X para frente e e parasitas nos valor negativo Então vamos confirmar esta Nossa predição aqui e vamos substituir os valores para x teremos duas vezes e é igual a 2 para Y teremos apenas um prazer 12 que é menos um confirmando para nós que a interpretação da nossa derivada parcial consegue de forma assertiva prever os valores Então galera apresentamos aqui o significado geométrico aí uma intuição geométrica da nossa derivada parcial e apenas reforçando quando calculamos essa derivada de um obtemos vetores proporcionais a explicar em deslocamento mas sim diretores inversamente proporcionais a esse pequeno deslocamento ou seja não necessariamente por ter um pequeno deslocamento você terá um pequeno vetor tangente beleza e caso vocês não tenham entendido completamente as intuição aqui nos próximos vídeos nós fazemos a mesma linha de pensamento Só que desta vez iremos calcular a derivada parcial da nossa função ver em relação a variável S Então é isso galera nós nos vemos no próximo vídeo