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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 7: Derivadas parciais de funções vetoriais- Calculando a derivada parcial de uma função vetorial
- Superfícies parametrizadas visualmente
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2
- Derivadas parciais de funções vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
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Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2
Tomando a mesma superfície usada no último exemplo, vamos agora examinar a derivada parcial na outra direção. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - E aí, galera da Khan Academy. Nos últimos vídeos, nós estávamos falando sobre
derivadas parciais de funções vetoriais, e até agora aprendemos
a calcular essas derivadas e também tivemos um início
de intuição sobre como interpretá-las. Todo o processo de interpretação
dessas derivadas vem através daquela simplificação
que utilizamos, onde desenhamos este
plano xadrez aqui no espaço e observamos como este plano (t, s) se transforma na nossa
superfície paramétrica v(t,s). Lembrando que este plano somente contempla valores entre zero e 3
para "t" e para "s" também. Como dito anteriormente, para interpretar esta derivada ∂v/∂t, você imagina uma linha que representa
o movimento no sentido "+t", e conforme todos os pontos do plano (t, s) se movem para seus respectivos
valores de saída, você obtém uma curva,
desenhada aqui vermelho. E, além disso, você também
consegue observar as outras curvas paralelas
a esta em vermelho. Essa derivada parcial nos dá
um certo vetor tangente que corresponde ao movimento
na direção "t". Quanto maior for o vetor,
mais rápida é essa mudança, indicando que a função
é muito mais sensível a deslocamentos na direção "t"
por exemplo. Vamos agora calcular e interpretar
a derivada parcial em relação à variável "s". Então, teremos ∂v/∂s, e desta vez, antes de calcular a derivada, nós vamos ver primeiro
a interpretação gráfica. Podemos pensar agora: qual a linha que representa
o movimento na direção "s" e que ao mesmo tempo mantém
os valores de "t" constante? Esta é a linha desenhada
em amarelo no nosso gráfico, e como você pode ver, esta linha passa pelo ponto (1, 1), então sabemos que "t = 1" e que "s'' varia livremente aí
dentro do nosso limite zero e 3. E observando o comportamento
desta linha amarela, quando o plano (t, s) se transforma na
superfície escrita pela função v(t,s), você consegue observar o comportamento
dessa função conforme "s" varia e "t" permanece constante. A linha se inicia aqui, e conforme "s" sobe seu valor, a função vai para esquerda e para cima. E novamente, essa textura em xadrez
que utilizamos para o nosso plano e para a nossa superfície ajuda muito, pois ao observar a intersecção dessas
linhas que são formadas, sabemos que uma linha representa
o movimento na direção "t", e a outra, o movimento na direção ''s". Voltando então para o nosso plano, podemos pensar neste ∂s aqui como um pequeno deslocamento
na direção "s". Já o deslocamento na superfície
resultante seria este aqui, tangente à nossa curva, e ele é justamente o nosso ∂v dividido ou escalonado de acordo
com aquele pequeno deslocamento "s". E temos aqui definida a razão em que deslocamentos no parâmetro "s"
influenciam a nossa superfície resultante. Vamos agora voltar e realizar
o cálculo desta derivada aqui . Para a primeira componente teremos -2s, já que t² se comporta como uma constante. Para a segunda componente,
teremos apenas "t", e para a terceira componente,
teremos 2ts - t². Vamos inserir, então, valores
de entrada aqui na nossa função. Vamos inserir, dessa vez,
os valores (1, 1), que é aquele ponto em vermelho no gráfico. Para a primeira componente
temos -2 vezes 1, que é -2. Para a segunda componente
temos apenas 1, por substituição direta. Já para a última componente,
teremos (2 - 1)², que é igual a 1. Então, conforme vocês podem ver, o esperado é que deslocamentos
na direção "s" resultem em valores de saída
mais à esquerda, ou seja, não sentido -x, Subindo, ou seja, no sentido +y, e também valores que avançam
na própria direção "s", ou seja, sentido +e. E, se voltarmos ao nosso gráfico, podemos ver que esse cálculo também
está bem alinhado com a nossa função, já que, de fato, "x'' está se tornando
mais negativo conforme ''s" avança, e as variáveis "y" e "z" se tornam
mais positivas conforme o "s" avança. Dá até para notar que
o movimento na direção "x" é favorecido em relação
às outras direções, dado o coeficiente 2 aqui
da nossa derivada. Lembrando também que
este resultado da derivada aqui é um vetor tangente
a essas curvas formadas, então, teríamos aqui vetores,
um ∂v/∂t, e o outro ∂v/∂s. E partir dos conceitos apresentados
neste e nos outros vídeos, muitos outros conceitos podem
ser entendidos como plano tangente, derivadas para cálculos direcionais e também o conceito que iremos
abordar no próximo vídeo, que são derivadas parciais
de campos vetoriais, onde dessas ideias de linhas que
se movem em determinadas direções não são tão válidas. Porém, o que permanece é aquela pergunta que a derivada parcial tenta responder. Qual o deslocamento resultante gerado por um pequeno deslocamento
em determinada direção? Então, é isso, galera! Nos vemos no próximo vídeo.