Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2

RKA8JV - E aí, galera da Khan Academy. Nos últimos vídeos, nós estávamos falando sobre derivadas parciais de funções vetoriais, e até agora aprendemos a calcular essas derivadas e também tivemos um início de intuição sobre como interpretá-las. Todo o processo de interpretação dessas derivadas vem através daquela simplificação que utilizamos, onde desenhamos este plano xadrez aqui no espaço e observamos como este plano (t, s) se transforma na nossa superfície paramétrica v(t,s). Lembrando que este plano somente contempla valores entre zero e 3 para "t" e para "s" também. Como dito anteriormente, para interpretar esta derivada ∂v/∂t, você imagina uma linha que representa o movimento no sentido "+t", e conforme todos os pontos do plano (t, s) se movem para seus respectivos valores de saída, você obtém uma curva, desenhada aqui vermelho. E, além disso, você também consegue observar as outras curvas paralelas a esta em vermelho. Essa derivada parcial nos dá um certo vetor tangente que corresponde ao movimento na direção "t". Quanto maior for o vetor, mais rápida é essa mudança, indicando que a função é muito mais sensível a deslocamentos na direção "t" por exemplo. Vamos agora calcular e interpretar a derivada parcial em relação à variável "s". Então, teremos ∂v/∂s, e desta vez, antes de calcular a derivada, nós vamos ver primeiro a interpretação gráfica. Podemos pensar agora: qual a linha que representa o movimento na direção "s" e que ao mesmo tempo mantém os valores de "t" constante? Esta é a linha desenhada em amarelo no nosso gráfico, e como você pode ver, esta linha passa pelo ponto (1, 1), então sabemos que "t = 1" e que "s'' varia livremente aí dentro do nosso limite zero e 3. E observando o comportamento desta linha amarela, quando o plano (t, s) se transforma na superfície escrita pela função v(t,s), você consegue observar o comportamento dessa função conforme "s" varia e "t" permanece constante. A linha se inicia aqui, e conforme "s" sobe seu valor, a função vai para esquerda e para cima. E novamente, essa textura em xadrez que utilizamos para o nosso plano e para a nossa superfície ajuda muito, pois ao observar a intersecção dessas linhas que são formadas, sabemos que uma linha representa o movimento na direção "t", e a outra, o movimento na direção ''s". Voltando então para o nosso plano, podemos pensar neste ∂s aqui como um pequeno deslocamento na direção "s". Já o deslocamento na superfície resultante seria este aqui, tangente à nossa curva, e ele é justamente o nosso ∂v dividido ou escalonado de acordo com aquele pequeno deslocamento "s". E temos aqui definida a razão em que deslocamentos no parâmetro "s" influenciam a nossa superfície resultante. Vamos agora voltar e realizar o cálculo desta derivada aqui . Para a primeira componente teremos -2s, já que t² se comporta como uma constante. Para a segunda componente, teremos apenas "t", e para a terceira componente, teremos 2ts - t². Vamos inserir, então, valores de entrada aqui na nossa função. Vamos inserir, dessa vez, os valores (1, 1), que é aquele ponto em vermelho no gráfico. Para a primeira componente temos -2 vezes 1, que é -2. Para a segunda componente temos apenas 1, por substituição direta. Já para a última componente, teremos (2 - 1)², que é igual a 1. Então, conforme vocês podem ver, o esperado é que deslocamentos na direção "s" resultem em valores de saída mais à esquerda, ou seja, não sentido -x, Subindo, ou seja, no sentido +y, e também valores que avançam na própria direção "s", ou seja, sentido +e. E, se voltarmos ao nosso gráfico, podemos ver que esse cálculo também está bem alinhado com a nossa função, já que, de fato, "x'' está se tornando mais negativo conforme ''s" avança, e as variáveis "y" e "z" se tornam mais positivas conforme o "s" avança. Dá até para notar que o movimento na direção "x" é favorecido em relação às outras direções, dado o coeficiente 2 aqui da nossa derivada. Lembrando também que este resultado da derivada aqui é um vetor tangente a essas curvas formadas, então, teríamos aqui vetores, um ∂v/∂t, e o outro ∂v/∂s. E partir dos conceitos apresentados neste e nos outros vídeos, muitos outros conceitos podem ser entendidos como plano tangente, derivadas para cálculos direcionais e também o conceito que iremos abordar no próximo vídeo, que são derivadas parciais de campos vetoriais, onde dessas ideias de linhas que se movem em determinadas direções não são tão válidas. Porém, o que permanece é aquela pergunta que a derivada parcial tenta responder. Qual o deslocamento resultante gerado por um pequeno deslocamento em determinada direção? Então, é isso, galera! Nos vemos no próximo vídeo.