Derivadas parciais de campos vetoriais

RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui, chegando ao final da nossa série de vídeos de derivadas parciais. E, nos vídeos passados, nós aprendemos tanto como calcular estas derivadas parciais de funções vetoriais, como também tivemos a chance de visualizar e interpretar o significado deste tipo de derivada. Estes dois últimos vídeos da série, serão dedicados às derivadas parciais de campos vetoriais. Então, primeiramente, vamos ver como se dá a parametrização de um campo vetorial. E para definir este campo vetorial, nós temos que utilizar dois parâmetros que nos definem duas componentes, serão eles "x" e "y". Então, teremos v(x, y). E neste vídeo, especificamente, nós trataremos do seguinte campo vetorial. Para a primeira componente teremos "x" vezes "y". E para a segunda componente teremos y² - x². Podemos, então, aqui facilmente definir a derivada parcial ∂x/ ∂v. Ou seja, parcial de "v" pelo parâmetro "x", componente por componente. Para a primeira componente, teremos apenas "y" e para a segunda componente teremos -2x. Já que y² se comporta como uma constante em relação a "x". Podemos ver que o processo de diferenciação para campos vetoriais é exatamente igual ao processo para funções vetoriais. Porém, como sempre, a importância aqui não está em fazer o cálculo em si, mas sim como você interpreta esta derivada. E a interpretação, neste caso, tem tudo a ver com o jeito que você visualiza este campo vetorial. O motivo para chamarmos de campo vetorial é porque você pega um plano (x, y) e enche de vetores. E o que quer dizer com isso é, para cada par de pontos (x, y), você gera um vetor dado por estas duas componentes. E como exemplo, vamos pegar aqui o par de pontos (1, 2), para análise. Então, vamos marcar aqui o ponto onde "x = 1" e "y = 2". Lembrando que estes são apenas os pontos de entrada, beleza? Então, é importante saber que o nosso vetor de saída terá o início aqui neste ponto escolhido. Vamos, então, calcular o vetor referente a este par de ponto (x, y). Para a primeira componente teremos 1 vezes 2, que é igual a 2. Para a segunda componente, teremos 2² - 1², que é igual a 3. Então, a partir do par ordenado (1, 2), teremos um vetor cuja a componente vetorial horizontal será 2, e a componente vetorial vertical será 3. Temos aqui definido um dos vetores do nosso campo vetorial. Então, a princípio você faz isso para todos os pontos, até que você tenha vetores suficientes para chamar isto aqui de campo vetorial, e você vai acabar com algo parecido com isto aqui. Lembrando que toda vez que utilizamos um computador ou algum tipo de recurso gráfico para demonstrar um campo vetorial, há uma adaptação em relação aos módulos destes vetores para que não haja sobreposição e eventual poluição visual aqui no nosso desenho. Neste exemplo específico, todos os vetores estão representados com o mesmo tamanho, só que existe a escala cromática para dar uma vaga noção em relação ao tamanho destes vetores. Neste caso, os vetores em azul são bem menores do que os vetores desenhados na cor amarela. Porém, quando nós falamos de derivadas parciais, estes tamanhos nos importam muito. Então, vamos voltar aos nossos cálculos. Nós temos que imaginar este ∂x este parcial "x", como um pequeno deslocamento na direção "x". Conforme nós explicamos nos vídeos passados. E conforme vimos de passados também, a pergunta que esta derivada parcial quer responder é, qual a variação da minha função como um todo quando eu fixo um valor para os outros parâmetros e vario apenas este parâmetro em específico. Que, neste caso aqui do parcial "x", é o próprio parâmetro "x" que será avaliado. Aqui no gráfico nós temos o valor de entrada, que é este ponto. E o parcial "x" seria este pequeno vetor aqui. E, a partir disso, qual a mudança no valor final da função campo vetorial que teremos ao nos deslocarmos apenas nesta direção "x". E esta mudança será também um vetor e é justamente o nosso vetor parcial "v", beleza? O que estamos tentando dizer é, este próximo ponto terá outro vetor atrelado a ele, certo? Então, vamos imaginar aqui este segundo vetor, vamos também nomear estes dois vetores para não atrapalhar o raciocínio. O primeiro vetor vamos chamar de v₁ e este segundo vetor aqui desenhado em em rosa será o nosso v₂. Como nós já estamos comparando dois vetores cujo as origens estão localizadas em pontos diferentes, uma boa prática para comparar estes dois vetores é desenhá-los em seu próprio plano com a origem no mesmo ponto. Então, temos aqui no espaço para v₁ e v₂. Vamos desenhá-los partindo da origem. v₁ novamente em verde e v₂ novamente em rosa. E lembrando que este vetor v₂ que nós estamos desenhando, não necessariamente irá corresponder com a nossa função que apresentamos no começo de vídeo, beleza? Estamos aqui pensando de maneira mais generalista. Então, a gente pode exagerar um pouco na diferença entre destes dois vetores, já que, como estamos tratando de um diferencial em "x", a mudança seria tão pequena, que provavelmente nós não notaríamos. É a mudança real. A diferença entre estes dois vetores, seria um vetor que conecta as duas pontas aqui. Então, temos este vetor em azul que também é o nosso ∂v. Podemos dizer aqui, levando em consideração a regra da poligonal para soma de vetores, que o vetor v₁ mais o vetor ∂v é igual ao vetor v₂, beleza? Que seria o próximo vetor em relação ao parâmetro "x". E voltando a nossa derivada parcial, o que nós estamos calculando, na verdade, é este vetor ∂v dividido pelo pequeno vetor de deslocamento até o "x". Então, nós iremos, na verdade, ter um vetor escalonado de acordo com o valor escolhido para o seu ∂x. Se, inicialmente, nós tivéssemos pensado no valor 0,5 para o nosso parcial "x", teríamos, então, um vetor ∂v por ∂x duas vezes maior do que o próprio vetor ∂v. Já que dividir por meio é igual a multiplicar por 2. Então, este vetor aqui em azul, seria justamente a nossa derivada parcial, beleza? Então, mesmo se tiver um vetor parcial "v" muito pequeno, e um deslocamento parcial "x" muito pequeno, você teria mesmo assim um vetor de tamanho normal, digamos assim. E a importância desta derivada parcial aqui é simplesmente saber em qual direção e em qual sentido o vetor vai mudar em relação ao vetor referente ao próximo ponto escolhido, beleza? Então, vamos aqui calcular o valor final desta derivada para os nossos pontos 1 e 2. Para a primeira componente teremos 2, e para a segunda componente teremos -2 vezes 1 que é igual a -2. Podemos ver aqui que realmente o exemplo utilizado para o vetor v₂ não condiz com a nossa função e era apenas um vetor imaginado para fins didáticos, beleza? Como eu expliquei mais cedo. Vamos aqui apagar este exemplo que eu dei, que era o vetor v₂ e desenhar o real vetor ∂v/∂x. De acordo com os nossos cálculos, muda na direção 2 para "x", e -2 para "y". O que resulta em um vetor mais ou menos assim, digamos. Então, andamos duas unidades para a direita e andamos duas unidades para baixo. Pronto! Esta aí então o vetor que representa a nossa derivada parcial do ponto (1, 2). E apenas para reforçar, nesta função dada aqui, conforme você move o seu ponto na direção "x" e considera os inúmeros vetores resultantes referentes a cada ponto, a tendência é que os vetores se movimentem para o canto inferior direito do gráfico. Ou seja, no sentido noroeste-sudeste, como você quiser imaginar. Também, o módulo deste vetor está diminuindo conforme você se afasta deste ponto (1, 2). No próximo vídeo, nós iremos nos aprofundar um pouco neste assunto, explicando um pouco melhor o que estas componentes verticais e horizontais significam separadamente. Então, é isso, galera da Khan Academy. Nos vemos no próximo vídeo!