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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 7: Derivadas parciais de funções vetoriais- Calculando a derivada parcial de uma função vetorial
- Superfícies parametrizadas visualmente
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2
- Derivadas parciais de funções vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
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Derivadas parciais de campos vetoriais
Como você interpreta as derivadas parciais da função que define um campo vetorial? Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui, chegando ao final da nossa série de vídeos
de derivadas parciais. E, nos vídeos passados, nós aprendemos tanto como calcular estas derivadas parciais
de funções vetoriais, como também tivemos a chance
de visualizar e interpretar o significado deste tipo de derivada. Estes dois últimos vídeos da série, serão dedicados às derivadas
parciais de campos vetoriais. Então, primeiramente, vamos ver como se dá
a parametrização de um campo vetorial. E para definir este campo vetorial, nós temos que utilizar dois parâmetros que nos definem duas componentes, serão eles "x" e "y". Então, teremos v(x, y). E neste vídeo, especificamente, nós trataremos do seguinte campo vetorial. Para a primeira componente
teremos "x" vezes "y". E para a segunda componente
teremos y² - x². Podemos, então, aqui
facilmente definir a derivada parcial ∂x/ ∂v. Ou seja, parcial de "v"
pelo parâmetro "x", componente por componente. Para a primeira componente,
teremos apenas "y" e para a segunda componente
teremos -2x. Já que y² se comporta como uma
constante em relação a "x". Podemos ver que o processo
de diferenciação para campos vetoriais é exatamente igual ao processo
para funções vetoriais. Porém, como sempre, a importância aqui não está
em fazer o cálculo em si, mas sim como você interpreta
esta derivada. E a interpretação, neste caso, tem tudo a ver com o jeito que você
visualiza este campo vetorial. O motivo para chamarmos
de campo vetorial é porque você pega um plano (x, y)
e enche de vetores. E o que quer dizer com isso é, para cada par de pontos (x, y), você gera um vetor dado por
estas duas componentes. E como exemplo, vamos pegar aqui o par
de pontos (1, 2), para análise. Então, vamos marcar aqui
o ponto onde "x = 1" e "y = 2". Lembrando que estes são apenas
os pontos de entrada, beleza? Então, é importante saber que
o nosso vetor de saída terá o início aqui neste ponto escolhido. Vamos, então, calcular o vetor
referente a este par de ponto (x, y). Para a primeira componente
teremos 1 vezes 2, que é igual a 2. Para a segunda componente,
teremos 2² - 1², que é igual a 3. Então, a partir do par ordenado (1, 2), teremos um vetor cuja a componente
vetorial horizontal será 2, e a componente vetorial vertical será 3. Temos aqui definido um dos vetores
do nosso campo vetorial. Então, a princípio você faz
isso para todos os pontos, até que você tenha vetores suficientes
para chamar isto aqui de campo vetorial, e você vai acabar com algo
parecido com isto aqui. Lembrando que toda vez que
utilizamos um computador ou algum tipo de recurso gráfico para demonstrar um campo vetorial, há uma adaptação em relação
aos módulos destes vetores para que não haja sobreposição e eventual poluição visual
aqui no nosso desenho. Neste exemplo específico, todos os vetores estão representados
com o mesmo tamanho, só que existe a escala cromática para dar uma vaga noção em relação
ao tamanho destes vetores. Neste caso, os vetores em azul são bem menores do que os
vetores desenhados na cor amarela. Porém, quando nós falamos
de derivadas parciais, estes tamanhos
nos importam muito. Então, vamos voltar
aos nossos cálculos. Nós temos que imaginar este ∂x este parcial "x", como um pequeno
deslocamento na direção "x". Conforme nós explicamos
nos vídeos passados. E conforme vimos de passados também, a pergunta que esta derivada
parcial quer responder é, qual a variação da minha
função como um todo quando eu fixo um valor
para os outros parâmetros e vario apenas este parâmetro
em específico. Que, neste caso aqui do parcial "x", é o próprio parâmetro "x"
que será avaliado. Aqui no gráfico nós temos o valor
de entrada, que é este ponto. E o parcial "x" seria este
pequeno vetor aqui. E, a partir disso, qual a mudança no valor final
da função campo vetorial que teremos ao nos deslocarmos
apenas nesta direção "x". E esta mudança será
também um vetor e é justamente o nosso vetor
parcial "v", beleza? O que estamos tentando dizer é, este próximo ponto terá
outro vetor atrelado a ele, certo? Então, vamos imaginar aqui
este segundo vetor, vamos também nomear
estes dois vetores para não atrapalhar o raciocínio. O primeiro vetor
vamos chamar de v₁ e este segundo vetor aqui
desenhado em em rosa será o nosso v₂. Como nós já estamos comparando dois vetores cujo as origens estão
localizadas em pontos diferentes, uma boa prática para
comparar estes dois vetores é desenhá-los em seu próprio plano com a origem no mesmo ponto. Então, temos aqui
no espaço para v₁ e v₂. Vamos desenhá-los partindo da origem. v₁ novamente em verde
e v₂ novamente em rosa. E lembrando que este vetor v₂
que nós estamos desenhando, não necessariamente irá corresponder com a nossa função que apresentamos
no começo de vídeo, beleza? Estamos aqui pensando
de maneira mais generalista. Então, a gente pode exagerar um pouco
na diferença entre destes dois vetores, já que, como estamos tratando
de um diferencial em "x", a mudança seria tão pequena, que provavelmente nós não notaríamos. É a mudança real. A diferença entre estes dois vetores, seria um vetor que conecta
as duas pontas aqui. Então, temos este vetor em azul
que também é o nosso ∂v. Podemos dizer aqui, levando em consideração a regra
da poligonal para soma de vetores, que o vetor v₁ mais o vetor ∂v
é igual ao vetor v₂, beleza? Que seria o próximo vetor
em relação ao parâmetro "x". E voltando a nossa derivada parcial, o que nós estamos calculando,
na verdade, é este vetor ∂v dividido pelo
pequeno vetor de deslocamento até o "x". Então, nós iremos, na verdade, ter um vetor escalonado de acordo com
o valor escolhido para o seu ∂x. Se, inicialmente, nós tivéssemos pensado no valor 0,5
para o nosso parcial "x", teríamos, então, um vetor ∂v por ∂x duas vezes maior do que
o próprio vetor ∂v. Já que dividir por meio
é igual a multiplicar por 2. Então, este vetor aqui em azul, seria justamente a nossa
derivada parcial, beleza? Então, mesmo se tiver um
vetor parcial "v" muito pequeno, e um deslocamento parcial "x"
muito pequeno, você teria mesmo assim um vetor
de tamanho normal, digamos assim. E a importância desta
derivada parcial aqui é simplesmente saber em qual direção e em qual sentido o vetor vai mudar em relação ao vetor referente
ao próximo ponto escolhido, beleza? Então, vamos aqui calcular
o valor final desta derivada para os nossos pontos 1 e 2. Para a primeira componente teremos 2, e para a segunda componente teremos
-2 vezes 1 que é igual a -2. Podemos ver aqui que realmente
o exemplo utilizado para o vetor v₂ não condiz
com a nossa função e era apenas um vetor imaginado
para fins didáticos, beleza? Como eu expliquei mais cedo. Vamos aqui apagar
este exemplo que eu dei, que era o vetor v₂ e desenhar
o real vetor ∂v/∂x. De acordo com os nossos cálculos, muda na direção 2 para "x",
e -2 para "y". O que resulta em um vetor
mais ou menos assim, digamos. Então, andamos duas unidades
para a direita e andamos duas
unidades para baixo. Pronto! Esta aí então o vetor que representa
a nossa derivada parcial do ponto (1, 2). E apenas para reforçar,
nesta função dada aqui, conforme você move
o seu ponto na direção "x" e considera os inúmeros
vetores resultantes referentes a cada ponto, a tendência é que os
vetores se movimentem para o canto inferior
direito do gráfico. Ou seja, no sentido noroeste-sudeste, como você quiser imaginar. Também, o módulo deste
vetor está diminuindo conforme você se afasta
deste ponto (1, 2). No próximo vídeo, nós iremos nos aprofundar
um pouco neste assunto, explicando um pouco melhor o que estas componentes verticais
e horizontais significam separadamente. Então, é isso, galera
da Khan Academy. Nos vemos no próximo vídeo!