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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 7: Derivadas parciais de funções vetoriais- Calculando a derivada parcial de uma função vetorial
- Superfícies parametrizadas visualmente
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 1
- Derivada parcial de uma superfície paramétrica- Parte 2
- Derivadas parciais de funções vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais
- Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
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Derivadas parciais de campos vetoriais, componente por componente
Aqui nós passamos por cada derivada parcial de cada componente no campo vetorial e entendemos o que cada uma significa geometricamente. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA8JV - Fala, galera da Khan Academy. Estamos aqui no último vídeo da série
sobre derivadas parciais, e no vídeo passado, nós estávamos
falando um pouco sobre as derivadas parciais
de campos vetoriais. E neste vídeo aqui, nós iremos nos aprofundar
um pouco mais nesse assunto falando sobre as duas componentes que aqui definem o nosso campo vetorial. Este assunto que vamos tratar é fundamental para o entendimento
de conceitos futuros que nós iremos apresentar aqui no nosso
curso de cálculo multivariável. Então, um campo vetorial como este
que você vê na sua tela será definido por dois parâmetros. Neste caso aqui, escolhemos "x" e "y'', então, temos um campo vetorial V(x,y) que terá como valor de saída
outras duas funções de (x, y), que são as nossas duas componentes,
beleza? Horizontal e vertical. E desta vez, nós vamos nomear
estas funções, beleza? A primeira componente do
nosso campo vetorial será P(x, y) e a segunda componente
será Q(x, y), beleza? Lembrando que "P"
é a componente horizontal e "Q" é a componente vertical. Vale ressaltar que essas duas letras
"P" e "Q" são utilizadas em diversos
materiais e literaturas justamente para definir
campos vetoriais. Então, não será difícil encontrar
textos ou teoremas completos utilizando apenas "P" e "Q" para definir os componentes horizontal
e vertical do campo vetorial. Neste caso aqui, a função que escolhi é a mesma que nós utilizamos
no vídeo passado, onde "P = xy"
e "Q = y² - x²". No vídeo passado também estávamos falando sobre a interpretação
da derivada da função "V" em relação ao diferencial
de uma das variáveis, que no caso foi o nosso ∂x, então, ∂v/∂x. E o raciocínio apresentado neste
último vídeo tem os seus méritos, e se transformam em uma poderosa
ferramenta conceitual. Porém, neste vídeo aqui nós
não iremos finalizar essa derivada, mas sim as derivadas parciais
de cada componente separadamente. O que eu quero dizer com isso é que
nós iremos analisar as derivadas parciais de P(x,y) e de Q(x, y). Então, temos aqui 4 possíveis
derivadas parciais, 2 em relação a "P",
2 em relação a "Q". Teremos a derivada ∂p/∂x. A de "P" em relação a "y", ∂P/∂y, e para "Q" teremos 2 também. Tanto o ∂Q/∂x quanto ∂Q/∂y. Temos aqui 4 valores para você avaliar
a mudança do campo vetorial como um todo, então, vamos calcular estas parciais para a função que definimos
aqui mais cedo. Derivando "p" em relação a "x", lembrando que "p"
é este primeiro componente, teremos apenas "y'', já que a derivada de "x" é 1
e "y" se comporta como uma constante, e similarmente, para a derivada
de "p" em relação a "y", teremos apenas "x". Para esta primeira derivada
de "Q", que é ∂Q/∂x, teremos -2x, já que a derivada de y²
em relação a "x" é zero, e para a parcial ∂Q/∂y nós teremos apenas 2y. Então, são estas aqui as
4 possíveis derivadas parciais. Vamos, agora, voltar à nossa
representação gráfica e ver se conseguimos entender
como essas 4 parciais aqui influenciam o nosso campo vetorial. Vamos focar aqui um ponto, beleza, um vetor em específico para
desenvolvermos o raciocínio, e vamos escolher este vetor
circulado em amarelo, que é um vetor que possui a sua
origem diretamente no eixo "x", então, podemos dizer que o seu ponto "y''
é igual a zero e "x" é um número positivo, digamos aqui que ''x = 2". O par ordenado que estamos observando
aqui é o par (2, 0). Então, vamos calcular
os valores para as 4 parciais. Para esta primeira derivada parcial, nós teremos de valor zero, para esta segunda aqui,
que é o ∂P/∂y, teremos 2, para ∂Q/∂x teremos -4, e a última derivada parcial
será igual a zero. Vamos primeiro olhar apenas
para parcial de "P" em relação a "x". E o que significa? Que estamos analisando como que a
componente horizontal desses vetores muda quando variamos apenas
o parâmetro "x" da nossa função e deixamos o valor fixado para "y". Então, aqui no gráfico, estamos pensando no movimento no sentido "+x" aqui,
desenhado em verde, então, nós queremos olhar
para os vetores vizinhos nessa direção, e considerar o que está acontecendo com a componente horizontal
desses vetores. E estes 3 vetores não possuem
componente horizontal. Você pode ver que, conforme você se move para a direita, esses vetores continuam não
possuindo a componente horizontal. Todos os vetores apontam
puramente para baixo, o que faz sentido, já que a nossa derivada é zero, ou seja, não há mudança
na componente horizontal dos vetores resultantes de "P''. Agora nós iremos realizar
o mesmo raciocínio para as outras 3 derivadas parciais. Olhando para ∂P/∂y,
esta deve ser positiva, ou seja, a componente horizontal
dos vetores resultantes são positivas conforme você se move aqui
para cima no nosso gráfico. Vamos pegar o mesmo vetor
circulado em amarelo, só que dessa vez nós iremos considerar apenas os vetores vizinhos
aqui na vertical, já que estamos analisando
a mudança do parâmetro "P" em relação ao deslocamento vertical
do nosso par ordenado. Podemos notar aqui a mudança, já que o vetor anterior a este,
circulado em vermelho, aponta para a esquerda, isto é, aponta para "-x". Já o vetor original da análise, este circulado em amarelo, não possui componente vertical,
já que ele aponta só para baixo. Por último, o vetor subsequente
ao escolhido aponta para a direita, ou seja, aponta para o sentido "+x". Podemos dizer que conforme
o parâmetro "y" cresce, a componente horizontal dos
nossos vetores também cresce. E novamente, essa interpretação
faz sentido, pois se voltarmos
ao cálculo dessa parcial, podemos ver que resulta
em um valor positivo. Então, vamos aqui repetir
o raciocínio para derivadas. Esta aqui, ∂Q/∂x está nos dizendo como a componente vertical
do nosso vetor muda conforme você se desloca
na direção "x", beleza? Então, voltando ao gráfico, novamente, olhando os vetores vizinhos, e conforme nós nos movemos
aqui na horizontal, podemos ver que os vetores
aumentam o seu módulo, só que para baixo, ou seja, somente a componente vertical
desses vetores está diminuindo, conforme aumentamos o valor de "x". E novamente, essa
interpretação faz sentido. Por último mas não menos importante, iremos analisar ∂Q/∂y. Novamente, voltando aqui
para o nosso gráfico, olhando os vetores
vizinhos na vertical àquele que escolhermos, vemos que conforme "y" varia, não há mudança nenhuma
na componente vertical dos vetores. Você pode ver isso pois não há mudança de tamanho
na vertical para esses vetores. E, novamente, esse resultado
se alinha com a nossa predição, já que calculamos que ∂Q/∂y é zero. Galera, esse tipo de
análise aqui que fizemos é imprescindível para que
entendamos a fundo uma derivada parcial de um campo vetorial. E, com esse assunto, nós encerramos o curso sobre
derivadas parciais vetoriais. Porém, iremos utilizar os
conceitos obtidos neste curso para explicar outros conceitos
mais complexos no futuro. Então, é isso, galera. Nos vemos aqui pela Khan Academy.