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Definição formal das derivadas parciais

Derivadas parciais são formalmente definidas usando um limite, assim como as derivadas comuns.   Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a definição formal das derivadas parciais. Nos últimos vídeos, eu falei com você sobre as derivadas parciais. Como você calcula uma derivada parcial e como você a interpreta em termos gráficos. Mas o que eu quero fazer aqui é formalizar um pouco mais as coisas. Ou seja, eu quero apresentar a definição formal de uma derivada parcial. Então, só para te lembrar, a derivada parcial é o tipo de coisa que se aplica a uma função que tem uma entrada multivariável. Por exemplo, podemos ter uma função de "x" e "y", mas é bom enfatizar que poderíamos ter um número muito maior de entradas. Poderíamos ter até 100 entradas ou algo assim. Para começar a definir a derivada parcial, eu acho legal a gente dar uma olhada na definição da derivada em um caso unidimensional. Ou seja, pensar em como definimos a derivada comum. Vamos dizer então que temos uma função de apenas uma variável. Vamos colocar algo simples aqui. Que tal f(x) = x²? A forma de pensar na definição da derivada para essa função é basicamente como interpretamos df/dx. Pensando nisso, vamos tentar formalizar isso aqui que eu escrevi. Que tal colocar o gráfico desta função aqui? Quando a gente colocar o gráfico para esta função, vamos obter uma curva. E aí, quem sabe, a gente queira avaliá-la em algum ponto. Digamos que você queira avaliar em um ponto "a", assim você pode pensar este "dx" aqui como um leve empurrão, apenas um pequeno empurrão no valor da entrada que, neste caso, é na direção "x". Esta função terá uma saída f(x) que é representada pelo eixo "y" aqui. Assim, você pode pensar no "df" como sendo o empurrão resultante aqui, a variação resultante para a função. Então, quando formalizamos isso, estaremos pensando em uma fração que vai representar df/dx. Bem, eu vou deixar um espaço aqui, porque daqui a pouco a gente vai colocar alguma coisa aqui. Se você já sabe o que é, pode se antecipar, porque você já deve saber o que está acontecendo aqui. Além disso, em vez de colocar aqui "dx", eu vou colocar "h". Então, em vez de pensar em "dx" sendo um pequeno empurrão, a gente vai pensar neste empurrão como "h". Claro, não precisa usar a letra "h" necessariamente. Pense nisso como algum tipo de variável que seja muito pequena. Talvez todas as outras letras do alfabeto foram tomadas e só restou "h" para a gente usar aqui. Agora, o que queremos dizer com a variação resultante em "f"? Para onde ela vai depois que você der um empurrão? Se você está interessado ou interessada na variação resultante, você pega o "f" de onde ele estava, no ponto de entrada. No ponto "a", no caso. Mais um empurrão, ou seja, mais aquele pequeno "h". Aí, você subtrai disso o valor da função onde ele estava, que, neste caso aqui, vai ser f(a). O que você está fazendo é calcular a diferença entre o que temos ao final e a função original ou o valor original da função naquele ponto. Então, esta parte superior é realmente o que representa "df". Isto é o que está representando o "df" aqui. Mas você não está fazendo isso para qualquer valor real de "h", você não faz isso para qualquer empurrão. Não se esqueça que em grande parte do cálculo, a gente está considerando aqui o limite disso quando "h" tende a zero. Isso é o que faz concreta a ideia de um pequeno empurrão ou uma minúscula variação resultante. Não é um valor qualquer, certo? É um limite. E, claro, a gente poderia entrar aqui na definição formal de um limite, mas a rigor podemos escrever algo assim. Agora, no mundo multivariável, a história é muito semelhante. Podemos basicamente fazer a mesma coisa. A gente olha aqui para função original e apenas começa a formalizar o que pensamos sobre cada uma dessas variáveis e suas representações. Ainda podemos usar a letra "h" para esta parcial "x". Ou seja, estamos representando um pequeno empurrão na direção "x". Agora, se a gente pensar sobre o que é este empurrão, eu vou até desenhar isto aqui, é melhor para a gente entender. O jeito que eu gosto de desenhar isto aqui é pensar em todo o espaço de entrada como o plano (x, y). Claro, se fossem mais variáveis, isto seria um espaço de alta dimensão. Estamos pensando aqui em algum ponto, talvez a gente esteja pensando em avaliar o ponto (a, b). Então, é legal especificar isso. A gente sempre faz isso em um ponto específico definido por você. Então, estamos pensando aqui em um ponto muito específico (a, b). E aí, quando você pensa na pequena variação em "x", você estaria pensando em um pequeno empurrão na direção "x", uma pequena mudança aqui. E aí, toda a função vai mapear este espaço de entrada, seja ele qual for, e levar para reta dos números reais. Este aqui é o espaço de saída. E como que este pequeno empurrão vai influenciar na saída? Bem, eu desenhei este esboço aqui deste jeito, mas é importante saber que isto aqui tem que ser uma forma bem livre. Porque depois que a gente começar a pensar em saídas dimensionais, e, saídas mais altas ou algo assim, isto aqui tem que ser adaptável. Assim, vai ficar mais fácil representar como que o parcial "x", a mudança na direção "x", vai gerar um resultado na variação da função. Mas, voltando aqui, o que isso significa? Se "h" representa aquela minúscula variação para o valor "x", você tem que avaliar a função no ponto "a" mais aquele "h". Já que você está adicionando isso ao valor de "x". Isto aqui é a primeira componente, porque estamos falando de uma derivada parcial em relação a "x". Aí, colocamos "b" na segunda componente. O ponto "b" permanece inalterado. Então, você está variando isso no novo ponto, mas você precisa fazer a diferença com o valor da função no ponto (a, b). Então, colocamos aqui menos a função no ponto (a, b). E é isso, esta é a definição formal da sua derivada parcial. Exceto que está faltando uma parte muito importante. A parte mais importante aqui é que não estamos fazendo isso em qualquer valor de "h". Sendo assim, nós temos que colocar este cara aqui na frente. O limite disso tudo aqui quando "h" tende a zero. Isso significa que você não está considerando nenhum tamanho específico de "dx", mas sim quando ele é muito pequeno. Sendo assim, considerando esta notação aqui, você pode pensar neste "h" como sendo um empurrão muito pequeno. E quanto menor ele for, menor será a variação resultante. Assim, com esta expressão, estamos tentando determinar qual é a proporção entre a variação resultante na função e "h" quando "h" é muito pequeno. Bem, esta é a derivada em relação a "x". E apenas por uma questão prática, vamos escrever aqui a derivada parcial em relação a "y"? Bem, vamos nos livrar disso tudo aqui para a gente ter um pouco de espaço. Eu não preciso mais disso afinal. Vamos pensar aqui agora sobre como a derivada parcial em relação a uma variável diferente seria? Se estivéssemos fazendo isso como a derivada parcial de "f" em relação a "y", agora estaríamos empurrando ligeiramente na outra direção, não é? Estamos empurrando na direção "y". Provavelmente, você pensou o seguinte agora. Ok, ainda vamos dividir algo pelo pequeno empurrão, não é? Então, novamente, eu vou usar a mesma variável. Talvez, fosse mais claro escrever algo como a variação em "y" ou aqui escrever algo como a variação em "x". Inclusive, tem pessoas que fazem isso, mas é menos comum. Na verdade, eu acho que grande parte das pessoas preferem mesmo utilizar a variável de limitação padrão. Enfim, vamos continuar aqui. Desta vez, quando você estiver considerando qual é o resultado da variação. Ah, novamente! Eu sempre esqueço de escrever que estamos avaliando isso em um ponto específico, em um ponto específico (a, b). Enfim, como resultado, nós vamos ter aqui o quê? A gente pega tudo que está no numerador e divide por "h". Mas o que fica no numerador? Desta vez, a gente vai escrever aqui "fd". Na primeira variável, temos o valor de "a", que não vai mudar. A mudança acontece na segunda variável. Assim, temos aqui na segunda variável o "b + h". Ou seja, estamos adicionando aquele pequeno empurrão para o valor de "y". Aí, como antes nós subtraímos isso com f(a, b). Ou seja, calculamos a diferença entre o que obtemos com um empurrão e o que a gente tinha com a função original. Novamente, a gente precisa tirar o limite disso tudo quando "h" tende a zero. A forma que pensamos sobre isso é muito semelhante. Só que quando você muda a entrada adicionando "h" ao valor de "y", você está variando para cima. Aí, novamente, nós temos a definição formal para a derivada parcial. Ela se parece muito com a definição formal da derivada. Enfim, é sempre importante ter em mente esta definição quando a gente for calcular as derivadas parciais. Saber também que a gente sempre fala parcial "f", parcial "y" ou parcial "f" parcial "x" para as derivadas parciais. Conhecer esta definição é importante, principalmente para quando a gente introduzir novas noções, novos tipos de derivadas multivariáveis, como a derivada direcional. E eu acho que esta definição ajuda muito a esclarecer o que realmente está acontecendo em certos contextos. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!