Definição formal das derivadas parciais

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a definição formal das derivadas parciais nos últimos vídeos eu falei com você sobre as derivadas parciais Como você calcula uma derivada parcial E como você interpreta ela em termos gráficos Mas o que eu quero fazer aqui é formalizar um pouco mais as coisas Ou seja eu quero apresentar a definição formal de uma derivada parcial então só para te lembrar a derivada parcial é o tipo de coisa que se aplica uma função que tem uma entrada multivariável por exemplo podemos ter uma função de x e y Mas é bom enfatizar que poderíamos ter um número muito maior de entradas poderíamos ter até sem entradas ou algo assim para começar a definir a derivada parcial eu acho legal a gente dá uma olhada na definição da derivada em um caso unidimensional ou seja e como definimos a derivada comum vamos dizer então que temos uma função de apenas uma variável Vamos colocar algo simples aqui que tal f de x é igual a x ao quadrado a forma de pensar na definição da derivada para essa função é basicamente como interpretamos DF sobre deixes pensando nisso Vamos tentar formalizar isso aqui que eu escrevi Que tal colocar o gráfico dessa função aqui quando a gente colocar o gráfico para essa função vamos obter uma curva E aí quem sabe a gente queira avaliar ou em algum ponto Digamos que você queira avaliar em um ponto a assim você pode pensar esse DX aqui como leve empurrão apenas um pequeno empurrão no valor da entrada que nesse caso já na direção x essa função terá uma saída f de x que é representada pelo eixo Y aqui assim você pode pensar no DF como sendo o empurrão resultante aqui a variação essa parafunção então quando formalizamos isso estaremos pensando em uma fração que vai representar DF sobre DX aí eu vou deixar um espacinho aqui agora porque daqui a pouco a gente vai colocar alguma coisa aqui ok e você já sabe o que a pode ser antecipar porque você já deve saber o que está acontecendo aqui além disso ao invés de colocar aqui de X eu vou colocar H então ao invés de pensar em de X sendo pequeno empurrãozinho a gente vai pensar nesse empurrãozinho como h a Claro não precisa usar a letra h necessariamente Pense nisso como algum tipo de variável que seja muito pequena talvez todas as outras letras do alfabeto foram tomadas e só restou h para a gente usar aqui OK agora o que queremos dizer com a variação resultante em F para onde ela vai depois que você der um empurrãozinho se você está interessado o interessado na variação resultante você pega o f de onde ele estava no ponto de entrada no ponto a no caso um empurrão ou seja mais aquele pequeno H aí você subir traz disso o valor da função onde ele estava que nesse caso aqui vai ser f de ar o que você está fazendo é calcular a diferença entre o que temos ao final e a função original ou o valor original da função naquele. Então essa parte superior é realmente o que representa DF e só que está representando o DF aqui mas você não está fazendo isso para qualquer valor real DH você não faz isso para qualquer empurram não se esqueça que em grande parte do cálculo a gente está considerando a que o limite disso quando H tende a zero Isso é o que faz concreta e daí é de um pequeno empurrão ou uma minúscula variação resultante não é um valor qualquer certo é um limite e claro a gente poderia entrar aqui na definição formal de um limite mas a Rigor podemos escrever algo assim agora no mundo multivariável a história é muito semelhante é basicamente fazer a mesma coisa a gente olha aqui para função original e apenas começa a formalizar o que pensamos sobre cada uma dessas variáveis e suas representações ainda podemos usar a letra h para essa passear Oxe ou seja estamos representando um pequeno empurrão na direção x Agora se a gente pensar aquilo sobre o que essa empurrãozinho eu vou até desenhar Isso aqui é melhor para a gente entender o jeito que eu gosto de desenhar isso aqui é pensar em todo o espaço de entrada como o plano XY a Claro se fossem mais variáveis isso seria um espaço de Alta Dimensão Ok estamos pensando aqui em algum ponto talvez a gente esteja pensando em avaliar o ponto AB então é legal especificar isso a gente sempre faz isso em um ponto específico definido por você então estamos pensando e quem um ponto muito específico AB e aí quando você pensa na pequena variação em x você estaria pensando em um pequeno empurrãozinho na direção x uma a dança aqui e aí toda a função vai mapear esse espaço de entrada seja ele qual for e levar para reta dos números reais esse aqui é o espaço de saída e como que esse pequeno empurrãozinho vai influenciar na saída bem Eu desenhei esse esboço aqui desse jeito mas é importante saber que isso aqui tem que ser uma forma bem livre porque depois que a gente começar a pensar em sair das dimensionais e sair das mais altas ou algo assim isso daqui tem que ser adaptável assim vai ficar mais fácil representar como que eu parcial x a mudança na direção x vai gerar um resultado na variação da função Mas voltando aqui o que isso significa se H representa aquela minúscula variação para o valor x você tem que avaliar a função no ponto a mais aquele H já que você está adicionando e eu só o valor de X isso aqui é a primeira componente porque estamos falando de uma derivada parcial em relação a x aí colocamos Bia na segunda componente o ponto b permanece inalterado Então você está é isso novo. Mas você precisa fazer a diferença com o valor da função no ponto AB então colocamos aqui menos a função no ponto AB e é isso essa é a definição formal da sua derivada parcial e Celta que está faltando uma parte muito importante não é a parte mais importante aqui é que não estamos fazendo isso em qualquer valor de H sendo assim nós temos que colocar esse carinho aqui na frente o limite de isso tudo aqui quando a gata em dia Zero Isso significa que você não está considerando nenhum tamanho específico de DX mas sim quando ele é muito pequeno sendo assim considerando essa notação aqui você pode pensar nesse H como sendo um empurrão muito muito pequeno e quanto menor ele for menor será a avaliação resultante assim com essa expressão estamos tentando determinar Qual é a proporção entre a variação resultante na função e h quando H é muito pequeno bem essa é a derivada em relação a x e apenas por uma questão prática vamos escrever aqui a derivada parcial em relação à Y vamos nos livrar disso tudo aqui para gente ter um pouquinho de espaço aí eu não preciso mais disso é final vamos pensar aqui agora sobre como a derivada parcial em relação a uma variável diferente seria se estivéssemos fazendo isso como a derivada parcial de f em relação à Y agora estaremos empurrando ligeiramente na outra direção não é estamos empurrando na direção Y Provavelmente você pensou o seguinte agora OK ainda vamos dividir algo pelo pequeno empurrão não é então novamente eu vou usar a mesma variável talvez você mais claro escrever algo como a variação em Y ou aqui escrever algo como a variação em x Inclusive tem pessoas que fazem isso mas é menos comum na verdade eu acho que grande parte das pessoas preferem mesmo utilizar a variável delimitação padrão aqui é enfim vamos continuar aqui dessa vez que a ver considerando Qual é o resultado da variação a novamente o sempre esqueço de escrever que estamos avaliando isso em um ponto específico em um ponto específico AB enfim como resultado nós vamos ter aqui o que a gente pega tudo que está no numerador e dividir por H mas o que fica no numerador né dessa vez a gente vai escrever aqui FD na primeira variável temos o valor de ar que não vai mudar a mudança acontece na segunda variável assim temos aqui na segunda variável O B + H ou seja estamos adicionando aquele pequeno empurrão para o valor de y aí como antes nos subtraímos isso com f de abrir ou seja calculamos a diferença entre o que obtemos com um empurrão e o que a gente tinha com a função original novamente a gente precisa tirar o limite de isso tudo quando a gata hein de 0 a forma que pensamos sobre isso é muito semelhante só que quando você muda entrada e o valor de y você está variando para cima aí o novamente nós estamos a definição formal para a derivada parcial Ela se parece muito com a definição formal da derivada enfim é sempre importante ter em mente essa definição quando a gente for calcular as derivadas parciais saber também que a gente sempre fala parcial F parcial de Y ou parcial é foi passear o X para as derivadas parciais conhecer essa definição é importante principalmente para quando a gente introduzir novas noções novos tipos de derivadas multivariáveis com a derivada direcional e eu acho que essa definição ajuda muito esclareceram que realmente está acontecendo em certos contextos Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima