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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 1: Derivadas parciaisDefinição formal das derivadas parciais
Derivadas parciais são formalmente definidas usando um limite, assim como as derivadas comuns. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a
definição formal das derivadas parciais. Nos últimos vídeos, eu falei com você
sobre as derivadas parciais. Como você calcula uma derivada parcial e como você a interpreta
em termos gráficos. Mas o que eu quero fazer aqui é formalizar um pouco mais as coisas. Ou seja, eu quero apresentar a definição
formal de uma derivada parcial. Então, só para te lembrar, a derivada parcial é o tipo
de coisa que se aplica a uma função que tem
uma entrada multivariável. Por exemplo, podemos ter
uma função de "x" e "y", mas é bom enfatizar que poderíamos
ter um número muito maior de entradas. Poderíamos ter até 100
entradas ou algo assim. Para começar a definir a derivada parcial, eu acho legal a gente dar uma olhada na definição da derivada
em um caso unidimensional. Ou seja, pensar em como
definimos a derivada comum. Vamos dizer então que temos uma
função de apenas uma variável. Vamos colocar algo simples aqui. Que tal f(x) = x²? A forma de pensar na definição
da derivada para essa função é basicamente como interpretamos df/dx. Pensando nisso, vamos tentar
formalizar isso aqui que eu escrevi. Que tal colocar o gráfico
desta função aqui? Quando a gente colocar
o gráfico para esta função, vamos obter uma curva. E aí, quem sabe, a gente
queira avaliá-la em algum ponto. Digamos que você queira
avaliar em um ponto "a", assim você pode pensar este "dx"
aqui como um leve empurrão, apenas um pequeno empurrão
no valor da entrada que, neste caso, é na direção "x". Esta função terá uma saída f(x) que é representada pelo eixo "y" aqui. Assim, você pode pensar no "df"
como sendo o empurrão resultante aqui, a variação resultante para a função. Então, quando formalizamos isso, estaremos pensando em uma
fração que vai representar df/dx. Bem, eu vou deixar um espaço aqui, porque daqui a pouco a gente
vai colocar alguma coisa aqui. Se você já sabe o que é,
pode se antecipar, porque você já deve saber
o que está acontecendo aqui. Além disso, em vez
de colocar aqui "dx", eu vou colocar "h". Então, em vez de pensar em "dx"
sendo um pequeno empurrão, a gente vai pensar neste
empurrão como "h". Claro, não precisa usar
a letra "h" necessariamente. Pense nisso como algum tipo
de variável que seja muito pequena. Talvez todas as outras
letras do alfabeto foram tomadas e só restou "h"
para a gente usar aqui. Agora, o que queremos dizer com
a variação resultante em "f"? Para onde ela vai depois que
você der um empurrão? Se você está interessado ou interessada
na variação resultante, você pega o "f" de onde ele estava,
no ponto de entrada. No ponto "a", no caso. Mais um empurrão, ou seja,
mais aquele pequeno "h". Aí, você subtrai disso
o valor da função onde ele estava, que, neste caso aqui, vai ser f(a). O que você está fazendo é calcular a diferença entre o que temos ao final e a função original ou o valor
original da função naquele ponto. Então, esta parte superior
é realmente o que representa "df". Isto é o que está representando
o "df" aqui. Mas você não está fazendo isso
para qualquer valor real de "h", você não faz isso para
qualquer empurrão. Não se esqueça que
em grande parte do cálculo, a gente está considerando aqui
o limite disso quando "h" tende a zero. Isso é o que faz concreta a ideia
de um pequeno empurrão ou uma minúscula variação resultante. Não é um valor qualquer, certo? É um limite. E, claro, a gente poderia entrar aqui
na definição formal de um limite, mas a rigor podemos escrever algo assim. Agora, no mundo multivariável,
a história é muito semelhante. Podemos basicamente
fazer a mesma coisa. A gente olha aqui
para função original e apenas começa a formalizar o que pensamos sobre
cada uma dessas variáveis e suas representações. Ainda podemos usar a letra "h"
para esta parcial "x". Ou seja, estamos representando
um pequeno empurrão na direção "x". Agora, se a gente pensar
sobre o que é este empurrão, eu vou até desenhar isto aqui, é melhor para a gente entender. O jeito que eu gosto
de desenhar isto aqui é pensar em todo o espaço de entrada
como o plano (x, y). Claro, se fossem mais variáveis,
isto seria um espaço de alta dimensão. Estamos pensando aqui
em algum ponto, talvez a gente esteja pensando
em avaliar o ponto (a, b). Então, é legal especificar isso. A gente sempre faz isso em um ponto
específico definido por você. Então, estamos pensando aqui
em um ponto muito específico (a, b). E aí, quando você pensa
na pequena variação em "x", você estaria pensando em um
pequeno empurrão na direção "x", uma pequena mudança aqui. E aí, toda a função vai
mapear este espaço de entrada, seja ele qual for,
e levar para reta dos números reais. Este aqui é o espaço de saída. E como que este pequeno empurrão
vai influenciar na saída? Bem, eu desenhei este esboço
aqui deste jeito, mas é importante saber que isto aqui
tem que ser uma forma bem livre. Porque depois que a gente começar
a pensar em saídas dimensionais, e, saídas mais altas ou algo assim, isto aqui tem que ser adaptável. Assim, vai ficar mais fácil
representar como que o parcial "x", a mudança na direção "x", vai gerar um resultado
na variação da função. Mas, voltando aqui,
o que isso significa? Se "h" representa aquela
minúscula variação para o valor "x", você tem que avaliar a função
no ponto "a" mais aquele "h". Já que você está adicionando
isso ao valor de "x". Isto aqui é a primeira componente, porque estamos falando de uma
derivada parcial em relação a "x". Aí, colocamos "b" na segunda componente. O ponto "b" permanece inalterado. Então, você está variando isso
no novo ponto, mas você precisa fazer a diferença
com o valor da função no ponto (a, b). Então, colocamos aqui menos
a função no ponto (a, b). E é isso, esta é a definição formal
da sua derivada parcial. Exceto que está faltando
uma parte muito importante. A parte mais importante aqui é que não estamos fazendo isso
em qualquer valor de "h". Sendo assim, nós temos que
colocar este cara aqui na frente. O limite disso tudo aqui quando
"h" tende a zero. Isso significa que você não está considerando nenhum tamanho
específico de "dx", mas sim quando ele
é muito pequeno. Sendo assim, considerando
esta notação aqui, você pode pensar neste "h" como sendo um empurrão
muito pequeno. E quanto menor ele for, menor será a variação resultante. Assim, com esta expressão, estamos tentando determinar
qual é a proporção entre a variação resultante
na função e "h" quando "h" é muito pequeno. Bem, esta é a derivada em relação a "x". E apenas por uma questão prática, vamos escrever aqui a
derivada parcial em relação a "y"? Bem, vamos nos livrar disso tudo
aqui para a gente ter um pouco de espaço. Eu não preciso mais disso afinal. Vamos pensar aqui agora
sobre como a derivada parcial em relação a uma variável
diferente seria? Se estivéssemos fazendo isso
como a derivada parcial de "f" em relação a "y", agora estaríamos empurrando
ligeiramente na outra direção, não é? Estamos empurrando na direção "y". Provavelmente, você pensou
o seguinte agora. Ok, ainda vamos dividir algo
pelo pequeno empurrão, não é? Então, novamente,
eu vou usar a mesma variável. Talvez, fosse mais claro
escrever algo como a variação em "y" ou aqui escrever algo
como a variação em "x". Inclusive, tem pessoas
que fazem isso, mas é menos comum. Na verdade, eu acho que
grande parte das pessoas preferem mesmo utilizar
a variável de limitação padrão. Enfim, vamos continuar aqui. Desta vez, quando você
estiver considerando qual é o resultado da variação. Ah, novamente! Eu sempre esqueço de escrever
que estamos avaliando isso em um ponto específico,
em um ponto específico (a, b). Enfim, como resultado,
nós vamos ter aqui o quê? A gente pega tudo que está
no numerador e divide por "h". Mas o que fica no numerador? Desta vez, a gente
vai escrever aqui "fd". Na primeira variável, temos o valor de "a",
que não vai mudar. A mudança acontece
na segunda variável. Assim, temos aqui
na segunda variável o "b + h". Ou seja, estamos adicionando
aquele pequeno empurrão para o valor de "y". Aí, como antes nós
subtraímos isso com f(a, b). Ou seja, calculamos a diferença
entre o que obtemos com um empurrão e o que a gente tinha
com a função original. Novamente, a gente precisa tirar
o limite disso tudo quando "h" tende a zero. A forma que pensamos sobre
isso é muito semelhante. Só que quando você muda a entrada
adicionando "h" ao valor de "y", você está variando para cima. Aí, novamente, nós temos a definição
formal para a derivada parcial. Ela se parece muito com a definição
formal da derivada. Enfim, é sempre importante
ter em mente esta definição quando a gente for calcular
as derivadas parciais. Saber também que a gente
sempre fala parcial "f", parcial "y" ou parcial "f" parcial "x"
para as derivadas parciais. Conhecer esta definição é importante, principalmente para quando
a gente introduzir novas noções, novos tipos de derivadas multivariáveis, como a derivada direcional. E eu acho que esta definição
ajuda muito a esclarecer o que realmente está acontecendo
em certos contextos. Eu espero que você tenha
compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!