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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 1: Derivadas parciaisCompreensão gráfica das derivadas parciais.
Uma das melhores maneiras de pensar nas derivadas parciais é fatiando o gráfico de uma função multivariável. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre
derivadas parciais e gráficos. Para começar, observe este gráfico aqui
de uma função de duas variáveis. O que eu quero falar com você aqui é sobre como você pode interpretar
a derivada parcial desta função. Especificamente a função
que você está olhando é f(x, y) igual a x² vezes y + sen(y). E a questão aqui é, se eu calcular
a derivada parcial desta função, talvez eu esteja olhando aqui
para a derivada parcial de "f" em relação a "x". E digamos que eu queira
avaliar isso em (-1, 1). Sendo assim, eu vou olhar para a
derivada parcial em um ponto específico. Como podemos interpretar isso no gráfico? Primeiro, vamos considerar
onde (-1, 1) está. Para visualizar melhor, vamos colocar o eixo "z"
apontado para fora da tela. Assim, a gente vai ter
o nosso eixo "x" aqui, e aqui o nosso eixo "y". O ponto (-1, 1) está bem aqui. 1 negativo no eixo "x",
e 1 positivo no eixo "y". Este é o nosso ponto no gráfico. E a primeira coisa que você quer fazer é que quando estamos calculando
a derivada parcial em relação a "x", a gente finge que "y" é uma constante. Então, vamos adiante aqui e avaliar isto. Quando você está fazendo isso, x² é uma variável
e "y" é uma constante. Sendo assim, sen(y)
também vai ser uma constante. Então, isto vai ser igual a: derivando x²,
vamos ter 2 vezes "x", vezes "y",
que é uma constante. Aí, a derivada do sen(y),
que é uma constante, é igual a zero. Não se esqueça que estamos avaliando
tudo isso em x = -1 e y = 1. Então, substituindo aqui, temos 2 vezes -1,
vezes 1 que, neste caso, é -2. Mas o que isso significa? Nós avaliamos isso e talvez você esteja pensando nisso como uma leve cutucada
na direção "x" que provoca um empurrão
resultante em "f". Mas o que isso significa para o gráfico? Bem, antes de tudo, quando tratamos "y"
como uma constante, nós basicamente estamos fatiando
todo o gráfico com o plano que representa
um valor "y" constante. Então, este é o eixo "y". E o plano que corta o gráfico
de forma perpendicular a este eixo é o que representa
um valor "y" constate. Este representa o valor "y"
constante igual a 1, mas você pode imaginar este plano
deslizando ao longo do eixo "y". E que isso representaria
vários valores "y" diferentes. Então, para a derivada parcial geral, você pode imaginar o que você quiser,
mas este é y = 1. Então, eu vou fatiar aqui
o gráfico neste ponto e desenhar uma linha vermelha. Esta linha vermelha é basicamente
todos os pontos no gráfico onde y = 1. É bom enfatizar isto aqui. Onde y = 1. Então, este y = 1. Sendo assim, quando olhamos para isso, podemos realmente interpretar
a derivada parcial como uma inclinação, porque estamos olhando
para o ponto aqui. Estamos perguntando
como a função muda conforme nos movemos na direção "x". Do cálculo de variável única, você pode estar familiarizado pensando nisso como
a inclinação de uma reta e estar com as ideias mais
solidificadas em relação a isso. Com isso, eu posso dizer
que você está começando aqui, aí você considera um empurrão aqui. Apenas um pequeno passo. Eu estou desenhando isso aqui
com o tamanho considerável, mas você tem que imaginar isso aqui
como um passo muito pequeno, como seu "dx". E aí, a distância para
a sua função aqui é a variação no valor da sua função. Eu disse "dx", não foi? Mas o correto é para
falar parcial "x" ou ∂x. E aqui parcial "f" ou ∂f. E como aquele pequeno
empurrão fica cada vez menor, esta variação aqui vai corresponder
com a tangente que a reta faz. E é por isso que você tem esta
inclinação com o sentido descendente. E se você olhar o valor
e a própria reta, parece que tem uma inclinação
de cerca de 2 negativos. Então, isto faz total sentido, porque encontramos
este 2 negativo aqui, que é o que
estamos vendo aqui. Agora, vamos fazer isso com
a derivada parcial em relação a "y". Vamos apagar o que fizemos aqui. Vamos voltar aqui com o gráfico
para o que era no início. Vamos, então, nos livrar
destes caras aqui. Agora, a gente não vai mais
fatiar em relação a "y". Em vez disso, vamos cortar o gráfico
em um valor "x" constante. Sendo este aqui o eixo "x", este plano representa
o valor constante x = -1. Podemos dividir
o gráfico neste ponto. Depois de cortar, eu vou desenhar
uma linha vermelha novamente para representar a curva. Desta vez, esta curva
representa este valor x = -1. Ou seja, todos os pontos
do gráfico onde x = -1. Agora, quando calculamos
a derivada parcial, vamos interpretar isso como
a inclinação desta reta resultante. Então, esta inclinação acaba ficando assim representado aqui por esta linha azul. Vamos em frente, calcular
a derivada parcial de "f" em relação a "y" agora. Eu vou usar uma cor diferente aqui. A derivada parcial de "f"
em relação a "y". Aqui que podemos dizer o seguinte. Ok, temos x² vezes "y". Considerando o "x"
como uma constante aqui, x² também será uma constante. E isto vai multiplicar "y", que é uma variável agora. Derivando esta relação, ficamos apenas com a constante
que neste caso é x². Agora, temos o sen(y). A derivada do sen(y) em relação a "y" é o cosseno de "y". A gente quer avaliar isto
no ponto (-1, 1). Ao fazer isso, temos
como resposta -1² + cos(1). Bem, eu não tenho certeza
qual é o valor do cos(1), mas eu sei que é algo
um pouco positivo. Sendo assim, o resultado disso
vai ser 1 positivo mais alguma coisa. Eu não sei o que é esta coisa,
mas eu sei que é algo positivo. Isso deve fazer sentido, porque quando olhamos aqui
para a inclinação desta reta, temos algo um
pouco maior que 1. Eu não tenho certeza
exatamente do valor, mas é um pouco maior que 1. Você vai ouvir muitas pessoas falando que a derivada parcial é como se fosse a inclinação de uma fatia de um gráfico. O que é ótimo! Principalmente, quando você está olhando para uma função que tem
uma entrada de duas variáveis e uma saída de uma variável. Esta ideia é ótima para
pensar sobre o gráfico da função, porém em outros contextos
este pode não ser o caso. Talvez seja algo que tem
uma saída multidimensional. Inclusive, a gente vai falar
sobre isso mais tarde. Ou ainda quando você tem uma
função com o valor vetorial. Neste caso, como é a derivada parcial? Imagine uma situação
em que temos 100 entradas. Realmente, não poderemos
ver o gráfico desta situação, mas a ideia geral de dizer que
a derivada parcial é como se fosse um pequeno
passo em uma direção, acaba sendo muito
útil nestes casos. Vamos olhar isto aqui novamente
no contexto deste gráfico? Você está olhando para
o seu ponto aqui e você diz que vamos dar um
pequeno passo na direção "y". Eu vou chamar isso
aqui de parcial "y". E você disse que isso faz algum
tipo de variação, que causa uma variação na função que
você chamará de parcial "f". E quando você imagina isso
sendo realmente muito pequeno, a variação resultante também
acaba sendo muito pequena. Com isso, esta pequena
variação da função sobre a variação na direção "y" acaba te dando a inclinação
da reta tangente. Portanto, esta é apenas uma forma
de interpretar esta proporção. A variação na saída que corresponde
a um pequeno empurrão na entrada. Mas depois a gente vai conversar sobre outras maneiras
diferentes para fazer isso, ok? Eu acho que os gráficos são muito úteis
para pensar sobre essas coisas, mas eles não são a única maneira. E eu não quero que você
se apegue muito aos gráficos, mesmo que eles possam ser úteis no contexto de duas variáveis de entrada
e uma variável de saída. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!