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Compreensão gráfica das derivadas parciais.

Uma das melhores maneiras de pensar nas derivadas parciais é fatiando o gráfico de uma função multivariável.   Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre derivadas parciais e gráficos. Para começar, observe este gráfico aqui de uma função de duas variáveis. O que eu quero falar com você aqui é sobre como você pode interpretar a derivada parcial desta função. Especificamente a função que você está olhando é f(x, y) igual a x² vezes y + sen(y). E a questão aqui é, se eu calcular a derivada parcial desta função, talvez eu esteja olhando aqui para a derivada parcial de "f" em relação a "x". E digamos que eu queira avaliar isso em (-1, 1). Sendo assim, eu vou olhar para a derivada parcial em um ponto específico. Como podemos interpretar isso no gráfico? Primeiro, vamos considerar onde (-1, 1) está. Para visualizar melhor, vamos colocar o eixo "z" apontado para fora da tela. Assim, a gente vai ter o nosso eixo "x" aqui, e aqui o nosso eixo "y". O ponto (-1, 1) está bem aqui. 1 negativo no eixo "x", e 1 positivo no eixo "y". Este é o nosso ponto no gráfico. E a primeira coisa que você quer fazer é que quando estamos calculando a derivada parcial em relação a "x", a gente finge que "y" é uma constante. Então, vamos adiante aqui e avaliar isto. Quando você está fazendo isso, x² é uma variável e "y" é uma constante. Sendo assim, sen(y) também vai ser uma constante. Então, isto vai ser igual a: derivando x², vamos ter 2 vezes "x", vezes "y", que é uma constante. Aí, a derivada do sen(y), que é uma constante, é igual a zero. Não se esqueça que estamos avaliando tudo isso em x = -1 e y = 1. Então, substituindo aqui, temos 2 vezes -1, vezes 1 que, neste caso, é -2. Mas o que isso significa? Nós avaliamos isso e talvez você esteja pensando nisso como uma leve cutucada na direção "x" que provoca um empurrão resultante em "f". Mas o que isso significa para o gráfico? Bem, antes de tudo, quando tratamos "y" como uma constante, nós basicamente estamos fatiando todo o gráfico com o plano que representa um valor "y" constante. Então, este é o eixo "y". E o plano que corta o gráfico de forma perpendicular a este eixo é o que representa um valor "y" constate. Este representa o valor "y" constante igual a 1, mas você pode imaginar este plano deslizando ao longo do eixo "y". E que isso representaria vários valores "y" diferentes. Então, para a derivada parcial geral, você pode imaginar o que você quiser, mas este é y = 1. Então, eu vou fatiar aqui o gráfico neste ponto e desenhar uma linha vermelha. Esta linha vermelha é basicamente todos os pontos no gráfico onde y = 1. É bom enfatizar isto aqui. Onde y = 1. Então, este y = 1. Sendo assim, quando olhamos para isso, podemos realmente interpretar a derivada parcial como uma inclinação, porque estamos olhando para o ponto aqui. Estamos perguntando como a função muda conforme nos movemos na direção "x". Do cálculo de variável única, você pode estar familiarizado pensando nisso como a inclinação de uma reta e estar com as ideias mais solidificadas em relação a isso. Com isso, eu posso dizer que você está começando aqui, aí você considera um empurrão aqui. Apenas um pequeno passo. Eu estou desenhando isso aqui com o tamanho considerável, mas você tem que imaginar isso aqui como um passo muito pequeno, como seu "dx". E aí, a distância para a sua função aqui é a variação no valor da sua função. Eu disse "dx", não foi? Mas o correto é para falar parcial "x" ou ∂x. E aqui parcial "f" ou ∂f. E como aquele pequeno empurrão fica cada vez menor, esta variação aqui vai corresponder com a tangente que a reta faz. E é por isso que você tem esta inclinação com o sentido descendente. E se você olhar o valor e a própria reta, parece que tem uma inclinação de cerca de 2 negativos. Então, isto faz total sentido, porque encontramos este 2 negativo aqui, que é o que estamos vendo aqui. Agora, vamos fazer isso com a derivada parcial em relação a "y". Vamos apagar o que fizemos aqui. Vamos voltar aqui com o gráfico para o que era no início. Vamos, então, nos livrar destes caras aqui. Agora, a gente não vai mais fatiar em relação a "y". Em vez disso, vamos cortar o gráfico em um valor "x" constante. Sendo este aqui o eixo "x", este plano representa o valor constante x = -1. Podemos dividir o gráfico neste ponto. Depois de cortar, eu vou desenhar uma linha vermelha novamente para representar a curva. Desta vez, esta curva representa este valor x = -1. Ou seja, todos os pontos do gráfico onde x = -1. Agora, quando calculamos a derivada parcial, vamos interpretar isso como a inclinação desta reta resultante. Então, esta inclinação acaba ficando assim representado aqui por esta linha azul. Vamos em frente, calcular a derivada parcial de "f" em relação a "y" agora. Eu vou usar uma cor diferente aqui. A derivada parcial de "f" em relação a "y". Aqui que podemos dizer o seguinte. Ok, temos x² vezes "y". Considerando o "x" como uma constante aqui, x² também será uma constante. E isto vai multiplicar "y", que é uma variável agora. Derivando esta relação, ficamos apenas com a constante que neste caso é x². Agora, temos o sen(y). A derivada do sen(y) em relação a "y" é o cosseno de "y". A gente quer avaliar isto no ponto (-1, 1). Ao fazer isso, temos como resposta -1² + cos(1). Bem, eu não tenho certeza qual é o valor do cos(1), mas eu sei que é algo um pouco positivo. Sendo assim, o resultado disso vai ser 1 positivo mais alguma coisa. Eu não sei o que é esta coisa, mas eu sei que é algo positivo. Isso deve fazer sentido, porque quando olhamos aqui para a inclinação desta reta, temos algo um pouco maior que 1. Eu não tenho certeza exatamente do valor, mas é um pouco maior que 1. Você vai ouvir muitas pessoas falando que a derivada parcial é como se fosse a inclinação de uma fatia de um gráfico. O que é ótimo! Principalmente, quando você está olhando para uma função que tem uma entrada de duas variáveis e uma saída de uma variável. Esta ideia é ótima para pensar sobre o gráfico da função, porém em outros contextos este pode não ser o caso. Talvez seja algo que tem uma saída multidimensional. Inclusive, a gente vai falar sobre isso mais tarde. Ou ainda quando você tem uma função com o valor vetorial. Neste caso, como é a derivada parcial? Imagine uma situação em que temos 100 entradas. Realmente, não poderemos ver o gráfico desta situação, mas a ideia geral de dizer que a derivada parcial é como se fosse um pequeno passo em uma direção, acaba sendo muito útil nestes casos. Vamos olhar isto aqui novamente no contexto deste gráfico? Você está olhando para o seu ponto aqui e você diz que vamos dar um pequeno passo na direção "y". Eu vou chamar isso aqui de parcial "y". E você disse que isso faz algum tipo de variação, que causa uma variação na função que você chamará de parcial "f". E quando você imagina isso sendo realmente muito pequeno, a variação resultante também acaba sendo muito pequena. Com isso, esta pequena variação da função sobre a variação na direção "y" acaba te dando a inclinação da reta tangente. Portanto, esta é apenas uma forma de interpretar esta proporção. A variação na saída que corresponde a um pequeno empurrão na entrada. Mas depois a gente vai conversar sobre outras maneiras diferentes para fazer isso, ok? Eu acho que os gráficos são muito úteis para pensar sobre essas coisas, mas eles não são a única maneira. E eu não quero que você se apegue muito aos gráficos, mesmo que eles possam ser úteis no contexto de duas variáveis de entrada e uma variável de saída. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!