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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 1: Derivadas parciaisIntrodução às derivadas parciais
Derivadas parciais dizem como uma função multivariável muda conforme você ajusta apenas uma de suas variáveis na sua entrada. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre as derivadas parciais. Para começar a conversar sobre isso, vamos dizer que você tenha uma
função de múltiplas variáveis f(x, y). Ou seja, teremos uma função que tem
uma entrada de duas variáveis. Vamos dizer que esta função
é igual a x² vezes y + sen(y). A função permite apenas
um único número de saída, já que é uma função de valor escalar. A questão é como fazemos a derivada
de uma expressão como esta. Bem, existe um método chamado
de derivada parcial, que é muito parecido com
as derivadas comuns. E eu quero te mostrar que eles
são basicamente a mesma coisa. Para fazer isso,
vamos relembrar aqui como que interpretamos
a notação para derivada comum. Se você tem algum f(x) = x² e digamos que você queira
derivar esta função, a gente começa aqui
colocando a notação df/dx. E aí, vamos supor que a gente queira
avaliar esta função em 2, por exemplo. Eu realmente gosto dessa notação, porque ela sugere bem o
que está acontecendo. Se a gente esboçar um gráfico, este eixo aqui vai representar
a nossa saída e este eixo representa a nossa entrada. E aí, x² vai ter uma forma
de uma parábola. Algo, mais ou menos, assim. Então, vamos para a entrada
em que "x = 2", aqui. Este pequeno "dx" aqui, eu gosto de interpretar apenas como
um pequeno empurrão na direção "x". E é, mais ou menos, este aqui
o tamanho dessa cutucada. E "df" é a variação resultante na saída depois de dar aquele
pequeno empurrão inicial. Então, esta aqui é a variação resultante. Você tem esta ascensão para sua proporção entre
a pequena variação da saída que é causada por uma
pequena variação na entrada. E quando você está pensando
em termos de gráficos, esta é a inclinação. E, claro, isso depende
de onde você começa. Aqui, temos "x = 2". Agora, se você realmente quisesse, você também poderia pensar
sobre isso sem gráficos. Você pode apenas pensar sobre
o seu espaço de entrada como apenas uma linha numérica. E o seu espaço de saída também
como uma reta numérica. A saída de "f" aqui. E aí, você pensa em alguma forma
de mapear números daqui para a segunda reta. Neste caso, seu empurrão inicial,
seu pequeno "dx" inicial, seria algum empurrão nesta reta numérica. E, claro, você deve estar se perguntando como que isso influencia
na própria função. Talvez, isto cause um
empurrão 4 vezes maior. Isso significaria que a derivada
é 4 neste ponto. Eu estou falando sobre isso,
porque, no mundo multivariável, podemos fazer praticamente
a mesma coisa. Você pode escrever df/dx e interpretar isso dizendo: ei, como é que
uma pequena variação em uma entrada na direção "x"
influencia na saída? Só que, desta vez, o caminho para que
você possa visualizá-lo é pensar em seu espaço de entrada. Aqui, eu vou desenhar
como o plano (x, y), só que desta vez esse plano não
é a representação gráfica da função. Aqui cada ponto do plano
é uma entrada. E digamos que você esteja avaliando
isso aqui no ponto (1, 2). Neste caso, você teria
uma entrada igual a (1, 2). E, então, perguntaria como este
pequeno empurrão na entrada, esta pequena variação "dx"
influencia na saída. E, neste caso, a saída
é apenas um número. Para visualizar isso, é melhor fazer um desenho como
uma reta numérica como saída. E, de alguma forma, estamos pensando sobre a função como o ponto de mapeamento no plano
para a reta numérica. Aí você me pergunta: ok, se este é o "dx", quanto
que isto muda na saída? Talvez desta vez varie negativamente. Bem, depende da sua função, e isto aqui seria o "df". Você também pode fazer isso
com a variável "y", certo? Não há razão para você
não poder dizer df/dy. Avaliar neste mesmo ponto (1, 2), só que a gente vai interpretar de uma maneira
totalmente diferente. Desta vez,
em vez de ser "dx", seria uma variação na direção "y". Então, é muito bom aqui enfatizar
que "dx" é uma variação na direção "x". E "dy" é uma variação na direção "y". Aí, talvez, quando você mudar o seu "f"
de acordo com "y", ele faça algo diferente. Talvez a função aumente e aumente muito. Talvez seja mais sensível a "y". Novamente, isto depende da função. Eu vou mostrar como você pode
calcular algo assim daqui a pouco. Mas, primeiro, tem uma
espécie de coisa irritante associada às derivadas parciais
e que não podemos deixar de falar. A gente não costuma escrever este
tipo de derivadas com "d" em "dx", "df". Para isso, os matemáticos criaram
uma nova notação, principalmente para enfatizar o leitor que a equação envolvida
é uma função de várias variáveis. Assim, em vez de
escrever o "d" tradicional, você escreve um "d" que tem
uma espécie de curvatura. Este é o novo símbolo. E as pessoas frequentemente
vão ler isso como parcial. Então, você pode ler
como parcial "f", parcial "y". Agora, se você está se perguntando por que chamamos estas
derivadas de parciais, é que ela não conta
a história toda da função, ela mostra apenas como "f"
varia em relação à direção "x", ou com uma função varia
em relação à direção "y", ou em qualquer outra direção
dependendo da situação. Então, cada derivada parcial
é apenas uma pequena parte da história. Bem, sabendo disso,
vamos avaliar isto aqui agora. Eu vou limpar o quadro aqui
para ter um pouco mais de espaço. Eu acho que a analogia unidimensional é algo que provavelmente já temos. Já temos algumas partes disso. Porém, se você está
realmente avaliando algo assim, eu vou escrever aqui de novo, ok? Queremos a derivada parcial
de "f" em relação a "x". E estamos avaliando isso em (1, 2). Aqui, você só se preocupa com
o movimento na direção "x". Portanto, trate "y"
como uma constante. Nem mesmo se preocupe
com o fato de que "y" muda. No que diz respeito,
"y" é sempre igual a 2. Então, podemos apenas substituir
isto aqui antes de continuar. Agora, eu vou escrever aqui
parcial "f", parcial "x". Esta é a outra maneira de escrever. E aí, a gente coloca a expressão aqui. Eu vou colocar aqui x²,
mas em vez de escrever "y", eu só vou substituir
esta constante de uma vez. Porque quando você está apenas
se movendo na direção "x", é assim que a função
multivariável vê o mundo. Eu vou apenas manter uma pequena nota que estamos avaliando
isso tudo em "x = 1". E aqui isto é realmente
apenas uma derivada comum. Esta é uma expressão
onde temos um "x". E você está perguntando
como isso muda, conforme você muda
em torno de "x". E você sabe como fazer isso. Temos apenas que calcular
a derivada de x² vezes 2. Bem, isto vai ser 4x,
porque a derivada de x² vai ser 2x. E multiplicando por 2,
a gente vai ter 4x. Temos agora derivada de uma constante. Bem, a derivada de sen(2),
que é apenas uma constante, é zero. E é claro, estamos avaliando
isso em "x = 1", então, a resposta geral aqui será 4. Agora, também vamos fazer
a derivada parcial em relação a "y"? Aqui eu vou escrever a mesma coisa. Estamos querendo obter a derivada
parcial de "f" em relação a "y". Estamos avaliando isso
no ponto (1, 2). Agora, desta vez, não nos preocupamos
com o movimento na direção "x". Então, no que diz respeito, aquele "x" apenas permanece
constante em 1. Sendo assim, escrevemos 1² vezes "y",
mais o sen(y). Você escreve aqui,
eu estou avaliando isso em "y = 2". Calculando a derivada, a gente quer a derivada
de 1² vezes "y", que é apenas 1. Agora, também queremos
a derivada de sen(y). Isto é igual ao cos(y). Sendo assim, a resposta
geral aqui é 1 + cos(2). Olha, de cabeça eu não sei
o valor de cos(2). Então, eu deixo
a resposta deste jeito. Esta aqui é a derivada
em um ponto, mas em muitos momentos
não é pedido para fazer a avaliação em um ponto. Assim, o que vamos querer obter é uma fórmula geral para que
a gente possa substituir qualquer valor de "x" e "y". E aí, encontrar a resposta. Sabendo disso,
vamos fazer isso aqui. Na verdade, é muito semelhante, mas desta vez, em vez de
substituir algum valor constante, a princípio, vamos apenas fingir
que uma das variáveis é constante. Vamos limpar o quadro aqui. Não precisamos mais disso agora. Mas eu vou deixar o parcial "f",
parcial "x" e o parcial "f", parcial "y". Queremos isso aqui como
uma função geral de "x" e "y". Para isso, a gente vai fazer
basicamente a mesma coisa. Vamos dizer que isto é uma
derivada em relação a "x". E eu estou usando parciais apenas para enfatizar que
é uma derivada parcial. Mas a ideia é a mesma da derivada comum. Agora, escrevemos x²
e vamos colocar aqui também o "y". Lembrando que o "y" aqui vai ser
considerado um valor constante. Aí, a gente coloca mais o sen(y). Como eu falei, aqui estamos
escrevendo a variável "y", mas temos que fingir como
se fosse uma constante. Você vai fingir que
substituiu o "y" por 2 ou por qualquer outro número. Aqui, novamente, calculamos
a derivada de x² que é 2x. Aí, multiplicamos isso por esta
constante que, neste caso é "y". Agora, aqui temos a derivada
de sen(y), que, neste caso, é a derivada
de uma constante. Não se esqueça que a derivada
de uma constante é sempre igual a zero. Então, isto será zero. Sendo assim, temos aqui
uma forma mais geral da derivada parcial
em relação a "x". E aí, se você substituir (1, 2) aqui, vamos chegar ao que
encontramos antes. Vamos fazer agora o mesmo
para a parcial "f", parcial "y". Nós escrevermos todas
as mesmas coisas, mas agora você está
calculando em relação a "y". Eu vou apenas copiar esta
fórmula aqui na verdade. Mas, desta vez, nós vamos considerar
todos os "x" como sendo constantes. Então, neste caso,
quando você calcula a derivada em relação a "y" de "y" sendo multiplicada por
algum tipo de constante, em que a constante
neste caso é x², temos que a derivada vai ser
apenas igual a essa constante. Ou seja, x². Aí, aqui somamos isto com
a derivada do sen(y), não tem nenhum "x" nesta parte. Então, temos apenas que
calcular a derivada do sen(y), que, neste caso, é apenas o cos(y). Esta é uma fórmula geral. Se você substituir (1, 2) aqui, vamos encontrar o mesmo
que encontramos antes. Ou seja, 1 + cos(2). Então, é isso que você precisa fazer
para calcular uma derivada parcial. Você finge que umas das
variáveis é constante, e aí calcula a derivada
do mesmo jeito que já fez antes. Talvez, agora você tenha chegado
a uma conclusão que isto tudo faz sentido, porque ao calcular a derivada parcial, você está vendo o que acontece
em uma direção com a entrada que eu
vou colocar na função. Ou seja, você pode ver como esta
entrada vai influenciar em cada uma das direções
que você estiver observando com a derivada parcial. No próximo vídeo, eu vou mostrar para você
o que isso significa em termos de gráficos
e inclinações. Mas é importante saber
que gráficos e inclinações não são as únicas formas
de entender derivadas. Porque assim que você começar
a pensar sobre funções vetoriais, ou funções com entradas
de dimensões superiores, há apenas duas, você não pode mais pensar
em termos de gráficos. Mas esta ideia de dar
um empurrão na entrada em alguma direção vendo
como isso influencia no resultado, e aí, obter a proporção
deste empurrão na saída em relação
ao empurrão de entrada, é uma coisa mais geral
e legal de ver as coisas. E isso vai ser muito útil à medida que a gente for
avançando nossos estudos em cálculos de múltiplas variáveis. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que
a gente viu aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço, e até a próxima!