Simetria das segundas derivadas parciais.

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a simetria das derivadas parciais secundárias. Nos últimos vídeo, eu conversei com você sobre derivadas parciais de funções multivariáveis. Aqui eu quero falar com você sobre as derivadas parciais secundárias. Para começar, eu vou escrever aqui algum tipo de função multivariável. Então, vamos colocar aqui f(x, y) sendo igual ao sen(x) vezes y². Se você quiser calcular a derivada parcial, você tem duas opções, já que existem duas variáveis. Você pode ir por um caminho e dizer qual é a derivada parcial? Sim, você pode. Por exemplo, vamos calcular aqui a derivada parcial de "f" em relação a "x". Para fazer isso, você precisa considerar "x" como uma variável e "y" como uma constante. Sendo assim, a derivada em relação a "x" do sen(x) é o cos(x). Como eu disse, estamos derivando isso em relação a "x". Aí, multiplicamos isso com a constante que a gente tem neste caso, que no caso é y². Agora, você também pode fazer isso indo na outra direção. Você pode derivar a função de "x" e "y" em relação a "y". Qual é a derivada parcial em relação a "y"? Neste caso, consideramos "y" como uma variável e "x" como uma constante. Sendo assim, olhamos para o sen(x) como sendo uma constante também. Então, teremos aqui o sen(x) que é uma constante multiplicado pela derivada de y² que neste caso vai ser 2y. E é isso que você pode chamar de primeiras derivadas parciais. Não se esqueça que existe uma notação alternativa aqui. A gente coloca ∂f/∂y que gente vai chamar aqui de Fy. Aqui a gente faz a mesma coisa. A gente coloca o Fx aqui também. Agora, cada uma das funções são duas derivadas parciais que também são funções multivariáveis. Elas têm duas variáveis e elas geram o escalar. Sendo assim, podemos fazer algo muito semelhante. Aqui, na derivada parcial da função original, podemos calcular também a derivada parcial em relação a "x". É igual à derivada no cálculo comum. Mas, agora, estamos fazendo isso de forma parcial. E quando a gente faz isso em relação a "x", o cos(x) é considerado uma variável. E a derivada do cos(x), neste caso, é o seno negativo de "x" vezes este y² aqui que, neste caso, estamos considerando ser uma constante. Da mesma forma, a gente pode descer um outro ramo aqui e calcular a derivada parcial em relação a "y". Lembre-se que toda esta função em si é uma derivada parcial em relação a "x". Porém, ao calcular a derivada parcial em relação a "y" desta derivada, o y² agora é considerado uma variável. Então, a gente vai pegar a derivada disso que neste caso é 2y. Não se esqueça que isso está sendo multiplicado por algo que consideramos ser uma constante que, neste caso, é o cosseno de "x". Então, mantemos o cos(x) aqui multiplicando 2y. Agora, vamos nos preocupar com a notação aqui? Primeiro de tudo, assim como no cálculo de uma variável, é comum fazer uma notação para este tipo de caso escrevendo o ∂²f e isto dividido pelo ∂x². Tome cuidado com isso que eu acabei de falar, afinal esta é uma notação desenvolvida por Leibniz. E é muito interessante de fazer isso, só que você precisa tomar cuidado quando pensar nisso como aquela ideia do empurrão. Então, é melhor pensar nesta parcial, o ∂, como o operador que você está aplicando 2 vezes em relação a "x". Agora, aqui, as coisas são um pouco diferentes, porque você ainda tem o parcial ao quadrado na parte de cima. Mas na parte de baixo, você escreve parcial "y", parcial "x". E um detalhe, eu não estou os colocando nesta ordem simplesmente porque eu quero. Esta ordem reflete o fato de que primeiro eu fiz a derivada em relação a "x" e depois eu fiz a derivada em relação a "y". Agora, podemos fazer o mesmo aqui do outro lado. Isto pode parecer meio tedioso, mas na verdade vale a pena fazer devido ao resultado que acabamos vendo aqui, que eu acho que vai ser um pouco surpreendente, na verdade. Então, aqui, se a gente seguir o caminho de fazer uma derivada parcial em relação a "x", não podemos esquecer que estamos fazendo isso como uma derivada parcial em relação a "y" da função original. Para este caso aqui, consideramos o sen(x) sendo uma variável e o 2y sendo uma constante. Ai, como resultado, acabamos tendo a derivada do sen(x), que é o cos(x). E aí, multiplicamos isto com o 2y. Existe uma coisa muito legal e que vale apontar aqui. Um detalhe é que talvez você ache isso tão surpreendente como quando eu fiz isso pela primeira vez. Você reparou que ambos aqui acabam sendo iguais, mesmo tendo sido feitos por caminhos diferentes? No primeiro caso, primeiro calculamos a derivada parcial em relação a "x". E aí, obtemos o cos(x) vezes y² que é bem diferente de sen(x) 2y. E aí, quando você calcula a derivada em relação a "y", você obtém um certo valor. O legal aqui é que quando você segue pelo outro caminho, você acaba obtendo o mesmo valor. Sendo assim, a gente pode até escrever isto aqui da seguinte forma. Eu vou copiar esta parte aqui e colar aqui. Assim, temos que parcial ao quadrado de "f" sobre parcial "x" parcial "y", é igual ao contrário disso. Ou seja, quando a gente deriva "f" primeiro em relação a "y" e depois em relação a "x", nós temos algo igual derivando primeiro em relação a "x" e depois em relação a "y". Sendo assim, estes caras são iguais um ao outro e este um resultado muito legal. Talvez, neste caso, devido a função original ser o produto de duas coisas, você pode achar que foi apenas uma coincidência. Isto aqui que eu fiz acaba sendo verdade para quase todas as funções. Só existe um pequeno critério a ser analisado, um critério que precisa ser analisado por um teorema especial chamado Teorema de Schwarz. O Teorema de Schwarz diz que se a segunda derivada parcial de sua função é contínua no ponto relevante, como o caso que estamos vendo aqui, a ordem das derivadas parciais não importa. Os resultados acabam sendo iguais. Agora, eu aconselho você a brincar com algumas outras funções. Basta inventar qualquer função multivariável. Talvez um pouco mais complicado do que apenas multiplicar duas coisas e separar depois. Aí, veja se é verdade isso que eu falei aqui. Talvez você se convença disso, afinal isso é verdade em muitos caso. Eu acho que isso é um exercício muito bom para você. Então, faça isso! Bem, antes de terminar este vídeo aqui, tem uma coisa que eu preciso mencionar que está relacionado com a notação que as pessoas normalmente usam. Existem diversos momentos em relação à segunda derivada parcial que em vez das pessoas escreverem parcial ao quadrado sobre parcial x², elas vão apenas escrever a derivada parcial da derivada parcial como Fxx. E aqui nesta outra derivada parcial, elas vão colocar Fxy. Porque primeiro a gente faz a derivada em relação a "x" e depois a derivada em relação a "y". É importante saber isso, porque a gente acaba lendo isso em uma ordem invertida ao que fizemos antes. Aqui a gente lê da esquerda para a direita, mas antes, quando a gente usou a outra notação, a gente fez a leitura da direita para a esquerda. Agora, aqui do outro lado, o que este cara significa? Significa que primeiro fizemos a derivada parcial em relação a "y" e depois fizemos a derivada parcial em relação a "x". Então, temos Fyx. São as mesmas coisas com apenas notações diferentes. Isto pode acabar sendo mais conveniente do que escrever o parcial ao quadrado de "f" sobre o parcial x², ou outras coisas semelhantes. Então, com este comentário aqui, eu encerro esta aula. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!