Simetria das segundas derivadas parciais.

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vindo a mais um vídeo daquela Academy Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre a simetria das derivadas parciais secundárias nos últimos vídeos eu conversei com você sobre derivadas parciais de funções multivariáveis aqui eu quero falar com você sobre as derivadas parciais secundárias para começar o vou escrever aqui algum tipo de função multivariável Então vamos colocar aqui f de x e y sendo igual ao seno de x e y ao quadrado se você quiser calcular a derivada parcial você tem duas opções já que existem duas variáveis você pode ir por um caminho dizer qual é a derivada parcial sim você pode por exemplo vamos calcular aqui a derivada parcial de f em relação a x para fazer isso você precisa considerar x como uma variável Y como uma constante sendo assim a derivada em relação a x o X é o cosseno de x Como eu disse estamos derivando isso em relação AX aí é multiplicamos isso com a constante que a gente tem nesse caso que no caso é y ao quadrado agora você também pode fazer isso indo na outra direção você pode derivar a função de x e y em relação a y Qual é a derivada parcial em relação à Y nesse caso consideramos Y como uma variável e ficou uma constante sendo assim olhamos para o seno de x como sendo uma constante também então teremos aqui o seno de x que é uma constante multiplicado pela derivada de y ao quadrado que nesse caso vai ser dois y e é isso que você pode chamar de primeira as derivadas parciais não se esqueça que existe uma notação alternativa aqui a gente coloca de Ron d f d ronde Y que a gente vai chamar aqui d.fy aqui a gente faz a mesma coisa a gente coloca o FX aqui também agora cada uma as funções são duas derivadas parciais que também são funções multivariáveis Elas têm duas variáveis e elegeram o escalar sendo assim podemos fazer algo muito semelhante aqui na derivada parcial da função original podemos calcular também a derivada parcial em relação a x = derivada no cálculo comum mas agora estamos fazendo isso de forma parcial e quando a gente faz isso em relação a x o cosseno de x a considerada uma variável e a derivada do cosseno de x nesse caso é oceano negativo DX vezes esse y ao quadrado aqui que nesse caso estamos Considerando o ser uma constante da mesma forma a gente pode descer um outro ramo aqui e calcular a derivada parcial em relação à Y lembre-se que o toda essa função Esse é uma derivada parcial em relação a x porém ao calcular a derivada parcial em relação à Y dessa derivada o y ao quadrado agora é considerado uma variável ele vou pegar a derivada disso que nesse caso é dois Y não se esqueça que isso está sendo X algo que consideramos ser uma constante que nesse caso é o cosseno de x então mantemos o cosseno de x aqui multiplicando 2Y agora vamos nos preocupar com a notação aqui primeiro de tudo assim como em cálculo de uma variável é comum fazer uma anotação para esse tipo de carros escrevendo o d ronde ao quadrado DF e isso dividido pelo de ROM de x ao quadrado A tome cuidado com isso que eu acabei de falar afinal é só uma notação desenvolvida por lábios e é muito interessante de fazer isso só que você precisa tomar cuidado quando pensar nisso Como aquela ideia do empurrãozinho então é melhor pensar nessa parcial o de ronder como operador que você está aplicando duas vezes em relação a x agora aqui as coisas são um pouquinho diferente porque você ainda tem o parcial ao quadrado na parte de cima mas na parte de baixo vocês a parcial Y parcial x e um detalhe eu não estou colocando eles nessa ordem simplesmente porque eu quero essa ordem reflete o fato de que primeiro eu fiz a derivada em relação a x e depois eu fiz a derivada em relação à Y agora podemos fazer o mesmo aqui do outro lado isso pode parecer meio tedioso mas na verdade vale a pena fazer devido ao resultado que acabamos vendo aqui que que eu acho que vai ser um pouco surpreendente na verdade então aqui se a gente seguir o caminho de fazer uma derivada parcial em relação a x não podemos esquecer que estamos fazendo isso como uma derivada parcial em relação à Y da função original para esse caso aqui consideramos o seno x sendo uma variável e o 2Y sendo uma constante aí como resultado acabamos tendo a derivada do seno de x que é o cosseno de x e aí multiplicamos isso com 2 Y existe uma coisa muito legal e que vale apontar aqui e que talvez você acha isso tão surpreendente como quando eu fiz isso pela primeira vez reparou que ambos aqui acabam sendo iguais mesmo tendo sido feitos por caminhos diferentes No primeiro caso primeiro calculamos a derivada parcial em relação a x E aí obtemos o cosseno x e y ao quadrado que é bem diferente descendo x-2y não é aí quando você calcula a derivada em relação à Y você obtém um certo o valor o legal aqui é que quando você segue pelo outro caminho você acaba obtendo o mesmo valor sendo assim a gente pode até escrever isso daqui da seguinte forma eu vou copiar essa parte aqui e colar aqui assim temos que passear ou ao quadrado DF sobre parcial x parcial y é igual ao contrário disso Ou seja quando a gente deriva F primeiro em relação a y e depois em relação a x nós temos algo igual derivando primeiro em relação à e depois em relação à Y sendo assim Esses caras são iguais um ao outro e esse é o resultado muito legal talvez nesse caso devido a função original ser o produto de duas coisas você pode achar que foi apenas uma coincidência isso aqui que eu fiz acaba sendo verdade para quase todas as funções da existe um pequeno critério a ser analisado um critério que precisa ser analisado por um teorema especial chamado o teorema de schwarz o teorema de enjoar diz que se a segunda derivada parcial de sua função é continuar no ponto relevante como o caso que estamos vendo aqui a ordem das derivadas parciais não importa os resultados acabam sendo iguais agora eu aconselho você é brincar com algumas outras funções basta inventar qualquer a função multivariável Talvez um pouquinho mais complicado do que apenas multiplicar duas coisas se separar que depois aí veja se é verdade isso que eu falei aqui talvez você se convença disso Afinal isso é verdade um dos casos Eu acho que isso é um exercício muito bom para você então faça isso bem antes de terminar esse vídeo aqui tem uma coisinha que eu preciso mencionar que está relacionado com a notação que as pessoas normalmente usam existem diversos momentos em relação a segunda derivada parcial quem vez das pessoas escreverem parcial ao quadrado sobre parcial x ao quadrado elas vão apenas escrever a derivada parcial da derivada parcial como fx e aqui nessa outra derivada parcial elas vão colocar fxy porque primeiro a gente faz a derivada em relação a x e depois a derivada em relação a y é importante é saber isso porque a gente acaba lendo isso numa ordem invertida o que fizemos antes Aqui a gente lê da esquerda para direita mas antes quando a gente usou a outra anotação a gente fez a leitura da direita para a esquerda agora aqui do outro lado que esse cara significa significa que primeiro fizemos a derivada parcial em relação à bom e depois fizemos a derivada parcial em relação a x então tenhamos fyx enfim são as mesmas coisas com apenas votações diferentes isso pode acabar sendo mais conveniente do que escreveram parcial quadrado DF sobre o parcial x ao quadrado outras coisas que semelhantes então com esse comentário aqui eu encerro essa aula eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que conversamos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima