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Diferencial de uma função vetorial

Entendendo o diferencial de uma função vetorial. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - Olá, pessoal! Tudo bem? Nos últimos vídeos, aprendemos que podemos descrever uma curva com uma função de vetor posição. Em termos gerais, será a posição "x" como função de tempo, vezes a unidade vetorial na direção horizontal, que chamamos de "i", mais a posição "y" como função de tempo vezes a unidade vetorial na direção vertical, que chamamos de "j". Para visualizar isso um pouco melhor, imagine uma partícula, depois, vamos pensar que o parâmetro "t" representa o tempo. Ao pensar desse jeito, "t" irá descrever para nós onde a partícula está em qualquer tempo que seja dado. Com essa imagem em mente, podemos considerar que ele pode ser aplicado em algumas curvas específicas. Neste caso então, lidamos com r(t), e isso só é aplicável com "a ≤ t ≤ b". E essas informações descrevem para nós uma curva em duas dimensões, como esta que eu desenhei. Eu reforço que isso é só uma revisão do que vimos antes. Pois bem, esta curva é mais ou menos assim. Aqui é onde fica "t = a" e aqui "t = b". Daí você sabe que r(a) será este vetor aqui na esquerda e termina em tal ponto. Você não é realmente obrigado a imaginar "t" como um parâmetro de tempo, porém, ver desse jeito torna bem mais fácil visualizar conforme "t" fica maior. E o que fizemos aqui foi só especificar diferentes pontos do caminho que havia sido apresentado anteriormente. E essa ideia foi abordada no último vídeo, enquanto era estruturado o significado de pegar a derivada de uma função de valor vetorial. E nesse mesmo vídeo, essa ideia mostrou que não era só uma ideia, conseguimos ver que ela é realmente funcional, e chegamos à definição que poderíamos chamar a derivada "i" de "r" primo de "t", e isso seria uma derivada de uma função de valor vetorial, mas será igual ao jeito que definimos anteriormente. x'(t)î + y'(t)ˆj. Para você se familiarizar com isso, eu vou escrever isso de vários outros jeitos possíveis. Agora, dr/dt = dx/dt, e por x(t) ser uma função escalar, isto é uma derivada padrão. Agora, vezes î mais dy/dt vezes ˆj. Parece nebuloso, mas para o diferencial, nesta situação, imagine multiplicar ambos os lados desta equação por um "dt" bem pequeno, ou até mesmo esse de "dt" exato. Você consegue dr = dx/dt vezes dt vezes a unidade vetorial î mais dy/dt vezes dt vezes a unidade vetorial ˆj'. Esses "dt" poderiam se cancelar, mas para a primeira vez, eu vou deixar escrito deste jeito. Um outro jeito de escrever isso é "dr = x'(t)dtî + y'(t)dtˆj". E só para completar, caso tivéssemos cancelado na primeira vez os "dt", um jeito de escrever isso seria "dr = dxî + dyˆj". Isso realmente faz bastante sentido lógico se olharmos em qualquer um dos "dr". Então vamos supor que eu queria ver a mudança entre este vetor e esse vetor. Digamos que essa pequena mudança aqui é nosso "dr" e é feita pelo "dx", a nossa mudança em "x". Aqui na direita, multiplicamos pela unidade vetorial na direção horizontal, mais "dy" vezes a unidade vetorial na direção vertical. Então, ao multiplicar essa distância vezes a unidade vetorial, conseguimos este vetor, e se você multiplica esse aqui, você consegue este outro vetor. Se você juntar os dois, você consegue a mudança no seu vetor posição. E o propósito desta aula é, principalmente, deixar você familiarizado com essas notações e dar uma pequena base sobre tudo isso. Na próxima aula, será aprofundado um pouco mais da lógica disso com a explicação do porquê isso muda com parametrizações diferentes, e também, isso será feito com duas parametrizações distintas. É isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!