Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 2
Lição 4: Cálculo da derivada de curvas paramétricasDiferencial de uma função vetorial
Entendendo o diferencial de uma função vetorial. Versão original criada por Sal Khan.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA8JV - Olá, pessoal!
Tudo bem? Nos últimos vídeos, aprendemos que
podemos descrever uma curva com uma função de vetor posição. Em termos gerais, será a posição "x"
como função de tempo, vezes a unidade vetorial
na direção horizontal, que chamamos de "i", mais a posição "y" como função de tempo vezes a unidade vetorial
na direção vertical, que chamamos de "j". Para visualizar isso um pouco melhor, imagine uma partícula, depois, vamos pensar que o parâmetro "t"
representa o tempo. Ao pensar desse jeito, "t" irá descrever para nós onde a partícula está em qualquer
tempo que seja dado. Com essa imagem em mente, podemos considerar que
ele pode ser aplicado em algumas curvas específicas. Neste caso então, lidamos com r(t), e isso só é aplicável com "a ≤ t ≤ b". E essas informações descrevem para nós uma curva em duas dimensões, como esta que eu desenhei. Eu reforço que isso é só uma revisão
do que vimos antes. Pois bem, esta curva
é mais ou menos assim. Aqui é onde fica "t = a"
e aqui "t = b". Daí você sabe que r(a) será
este vetor aqui na esquerda e termina em tal ponto. Você não é realmente obrigado a imaginar "t" como um parâmetro de tempo, porém, ver desse jeito
torna bem mais fácil visualizar conforme "t" fica maior. E o que fizemos aqui foi só especificar
diferentes pontos do caminho que havia sido
apresentado anteriormente. E essa ideia foi abordada no último vídeo, enquanto era estruturado o significado de pegar a derivada de uma
função de valor vetorial. E nesse mesmo vídeo, essa ideia mostrou
que não era só uma ideia, conseguimos ver que ela
é realmente funcional, e chegamos à definição que poderíamos
chamar a derivada "i" de "r" primo de "t", e isso seria uma derivada
de uma função de valor vetorial, mas será igual ao jeito que
definimos anteriormente. x'(t)î + y'(t)ˆj. Para você se familiarizar com isso, eu vou escrever isso de vários
outros jeitos possíveis. Agora, dr/dt = dx/dt, e por x(t) ser uma função escalar, isto é uma derivada padrão. Agora, vezes î
mais dy/dt vezes ˆj. Parece nebuloso,
mas para o diferencial, nesta situação, imagine multiplicar ambos os lados desta
equação por um "dt" bem pequeno, ou até mesmo esse de "dt" exato. Você consegue
dr = dx/dt vezes dt vezes a unidade vetorial î mais dy/dt vezes dt
vezes a unidade vetorial ˆj'. Esses "dt" poderiam se cancelar, mas para a primeira vez, eu vou deixar escrito deste jeito. Um outro jeito de escrever isso é "dr = x'(t)dtî + y'(t)dtˆj". E só para completar, caso tivéssemos cancelado
na primeira vez os "dt", um jeito de escrever isso seria
"dr = dxî + dyˆj". Isso realmente faz bastante sentido lógico se olharmos em qualquer um dos "dr". Então vamos supor que eu
queria ver a mudança entre este vetor e esse vetor. Digamos que essa pequena
mudança aqui é nosso "dr" e é feita pelo "dx",
a nossa mudança em "x". Aqui na direita, multiplicamos pela
unidade vetorial na direção horizontal, mais "dy" vezes a unidade
vetorial na direção vertical. Então, ao multiplicar essa distância
vezes a unidade vetorial, conseguimos este vetor, e se você multiplica esse aqui, você consegue este outro vetor. Se você juntar os dois, você consegue a mudança
no seu vetor posição. E o propósito desta aula é,
principalmente, deixar você familiarizado
com essas notações e dar uma pequena base
sobre tudo isso. Na próxima aula, será aprofundado
um pouco mais da lógica disso com a explicação do porquê isso muda
com parametrizações diferentes, e também, isso será feito com
duas parametrizações distintas. É isso, pessoal! Eu espero que tenham aprendido, e até a próxima!