Exemplo de derivada de uma função de valor vetorial

RKA22JL - Olá! Tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática, e nessa aula, vamos resolver um exemplo sobre uma função vetorial. Para isso, teremos como objetivo fazer duas parametrizações da mesma curva, mas, nesse caso, estaremos nos movimentando ao longo da curva com taxas variáveis. Assim, através desse exemplo, teremos uma ideia um pouco melhor do que significa exatamente calcular a derivada de uma função vetorial de posição. Vamos começar isso aqui agora. Vamos dizer que, para a primeira parametrização, eu tenha a função x de t sendo igual a t, e a função y de t sendo igual a t ao quadrado. Isso é válido para todo t maior ou igual a zero e menor ou igual a 2. Como nós vamos fazer duas parametrizações, eu vou colocar aqui x1 e, aqui, y1. Aí, agora, vamos representar isso como uma função vetorial de posição. Eu vou escrever aqui a função vetorial que é denotada por r1. Como eu disse, eu estou numerando tudo isso aqui para depois mostrar outra versão dessa mesma curva, mas, com uma parametrização ligeiramente diferente. Então r1 de t é igual a x1 de t, que é t, vezes i “chapéu”, que é um vetor unitário na direção x, mais y de t, que é t ao quadrado, vezes j “chapéu”, que é o vetor unitário na direção y. Eu vou representar isso aqui em um gráfico. Eu vou traçar com muito cuidado para que a gente consiga visualizar claramente o que significa calcular a derivada disso. Vamos colocar aqui o eixo y. Eu também vou traçar as escalas. Aqui eu tenho um, dois, três, quatro. Também vou fazer o eixo x. Eu quero que x esteja na escala, então eu traço aqui um, dois. Quando o t é igual a zero, temos que as coordenadas x e y são iguais a zero, certo? Esse será o vetor zero. Aqui, onde temos t igual a zero. Agora, para t igual a 1, teremos 1 vezes i, mais 1 vezes j, afinal, 1 ao quadrado é igual a 1, não é? Sendo assim, estaremos aqui, nesse ponto. Em seguida, para t igual a 2, estaremos em 2i. Repare que 2 vezes i é esse vetor bem aqui, 2 vezes i mais 4, afinal, 2 ao quadrado é 4, vezes j. Ou seja, teremos 4 vezes j, que é aqui. Ao somar esses dois vetores pelas extremidades, teremos um vetor cuja extremidade está bem aqui. O vetor será parecido com isso. Para deixar bem claro o que estamos fazendo, esse aqui é o r1 de 2. Aqui, temos r1 de zero e, aqui, r1 de 1. Podemos traçar a trajetória ligando esses pontos, e, aí, essa trajetória vai se parecer com isso aqui. Ou seja, uma parábola. Essa é a trajetória da primeira parametrização. Repare que eu estou traçando com muito cuidado para deixar esse desenho o mais claro possível. Conforme você pode ver, temos uma parábola, ou, pelo menos, uma parte dela. Enfim, essa primeira parametrização vai ter esse formato aqui em um gráfico. Agora, eu vou fazer a próxima parametrização. Eu vou fazer exatamente a mesma curva, só que, dessa vez, ligeiramente diferente. Vamos dizer que x2 de t seja igual a 2t, e que y2 de t é igual a 2t ao quadrado. Nós podemos representar isso aqui também dizendo que é igual a 4 vezes t ao quadrado. Agora, em vez de valores de t entre zero e 2, teremos valores de t entre zero e 1. Você vai ver que a trajetória é a mesma. Sendo assim, a nossa segunda função vetorial de posição, r2 de t, será igual a 2t, vezes i “chapéu”, mais 2t ao quadrado, ou seja, 4 vezes t ao quadrado, vezes j “chapéu”. E o gráfico dessa função... Eu vou fazer os eixos novamente. Será igual ao anterior. Mesmo assim, vale traçar de novo, já que vamos traçar as derivadas depois. Eu vou colocar aqui o eixo y, e, aí, vou traçar as escalas. Um, dois, três, quatro. Aí, eu faço o eixo aqui e também traços escalas, um, dois. Repare que, quando o t é igual a zero, ou r de zero, tudo isso será igual a zero também. Teremos o vetor zero. Tanto o x quanto o y são iguais a zero. Agora, quando o t é igual a ½, o que teremos? ½ vezes 2 é igual a 1 e ½ ao quadrado é igual a ¼, vezes 4, que é igual a 1. Então, em t igual a ½, estaremos no ponto (1,1). Porém, quando o t é igual a 1, estaremos o ponto (2,4). Perceba que a trajetória dessa curva é exatamente a mesma, ou seja, temos uma parábola. As duas trajetórias são idênticas. Agora que vimos isso, vamos imaginar uma coisa interessante aqui. Vamos supor que o parâmetro t represente o tempo, é geralmente assim que o tempo é representado, por isso, é chamado de t. Sendo assim, imaginando que o t seja o tempo, o que está acontecendo em ambas as situações? Na primeira parametrização, quando vamos de zero a dois segundos, cobrirmos essa trajetória. Imagine que, após um segundo, a partícula está aqui, e, em seguida, aqui. Imagine uma partícula se movendo nessa curva. Isso vai levar dois segundos. Nesse outro caso, temos uma partícula se movendo na mesma curva, porém, percorre todo o trajeto em apenas um segundo, e, em ½ segundo, chega nesse ponto. Essa outra levou um segundo para chegar aqui. Após um segundo, essa partícula está aqui. A outra, levou dois segundos para chegar até aqui. Na segunda parametrização, embora a trajetória seja a mesma, as curvas são as mesmas. A partícula, ou seja, o ponto que está aqui se movendo nessa trajetória, é mais rápido. Eu quero que isso fique bem claro para você, para que, ao calcular as derivadas de ambas as funções vetoriais de posição, isso fique mais fácil de visualizar. Lembre que aquela se move mais rapidamente na curva. Para cada segundo, essa partícula, ou ponto, percorre um trajeto maior na curva. É por isso que levou somente um segundo. Enfim, feita essa discussão aqui, vamos observar as derivadas para ambos os casos. No primeiro caso, a derivada é r1 linha de t, que é igual a derivada de cada uma das funções, x1 e y1 em relação a t, multiplicadas pelos vetores unitários. Sendo assim, temos aqui a derivada de t em relação a t, que é 1, vezes o vetor unitário i “chapéu”, mais a derivada de t ao quadrado em relação a t, que é 2 vezes t, vezes o vetor unitário j “chapéu”. Agora, vamos fazer a outra derivada aqui, que é r2 linha de t. A derivada de 2t em relação a t é igual a 2. Então, temos aqui 2 vezes i “chapéu”, mais a derivada de 4, vezes t ao quadrado, que é 8t. 2 vezes 4 é igual a 8, certo? Então temos 8t, vezes j “chapéu”. A pergunta que fazemos agora é: como se parecem os vetores resultantes dessas derivadas em pontos diferentes? Para isso aqui, vamos observar o quão rápido essas partículas se movem quando o tempo é igual a 1. Vamos considerar esse ponto específico, afinal, aqui em cima, nós temos a fórmula geral, mas vamos achar a derivada num ponto específico. Sendo assim, vamos considerar r1 para um tempo igual a 1. Eu quero tomar esse ponto específico na curva e não o ponto específico no tempo. Então, nesse ponto específico na curva, é onde o tempo é igual a 1. Podemos dizer que seja um segundo. Esse ponto bem aqui, exatamente o ponto correspondente, é onde o tempo é igual a ½ segundo. Então, r1 de 1 é igual a... Vamos tomar a derivada aqui. É igual a 1i, é totalmente Independente de t. É igual a 1i, mais duas vezes j, ou seja, mais 2j. Sendo assim, nesse ponto, a derivada da nossa função vetorial de posição será igual a 1i mais 2j. Podemos traçar isso no gráfico, marcamos 1i aqui, e, aqui, 2j. Então, a derivada é isso aqui. Veja como ela se parece, vai ficar desse jeito. Perceba que a direção dessa derivada aparentemente tangencia a curva, ela tem a mesma direção do movimento da partícula nesse ponto. Ou seja, a partícula se move exatamente nesse ponto aqui, nessa direção. Mais para frente, vamos um pouco mais sobre o que significa o comprimento desse vetor derivado, ok? Mas, enfim, isso aqui é o r1 linha. É um vetor que representa a variação instantânea no vetor de posição em relação a t, ou ao tempo, quando o tempo é igual a um segundo. É exatamente isso aqui. Agora, considere nessa mesma posição aqui na nossa curva, mas quando isso ocorre em um tempo diferente nesse caso. Já sabemos que a partícula percorre a trajetória em tempos diferentes, certo? Aqui, agora, a partícula vai estar nesse ponto quando o tempo é igual ½ segundo. Então, aqui temos r2 linha, vamos avaliar isso para o valor ½, já que o tempo é igual a ½ segundo. Sendo assim, teremos aqui 2i, isso é independente do tempo. Então, temos 2i mais 8 vezes o tempo. O tempo aqui é igual a ½, então, temos 8 vezes ½ , que é igual a 4. Ou seja, mais 4j. Como isso vai se parecer? É bom ficar bem claro que isso aqui é a derivada, então temos 2i. Vou marcar no gráfico. 2i está bem aqui, mais 4j, que fica mais ou menos assim. Vem até aqui. Esse vetor aqui é o 4j. Quando somamos as extremidades dos dois vetores, chegamos a uma linha que se assemelha a isso aqui. Eu sei que eu não desenhei tão perfeitamente como eu gostaria, mas perceba uma coisa. Esses dois vetores estão exatamente na mesma direção. Ambos tangenciam a trajetória, ou seja, a curva, mas esse vetor aqui tem um comprimento, um módulo bem maior do que o módulo desse outro. Isso faz sentido. Eu já havia dado a dica quando começamos a falar sobre funções vetoriais e suas derivadas de que o comprimento pode ser visto como rapidez. O comprimento é igual à rapidez. Se você imaginar t como sendo o tempo e essas parametrizações representando uma partícula se movendo ao longo dessas curvas, então, nesse caso aqui, a partícula leva um segundo para chegar até aqui. Nesse ponto da trajetória, ela se move bem mais rápido que a outra partícula. Refletindo sobre isso, se você considerar esse vetor como um vetor de posição, isso aqui vai ser a velocidade, e a velocidade é a combinação de rapidez com direção. Rapidez significa o quão rápido estamos nos movendo e a velocidade é o quão rápido estamos nos movendo em uma determinada direção. Estamos indo rápido, sim, inclusive, você pode calcular essa rapidez com a ajuda do teorema de Pitágoras, mas o que eu quero aqui é que você tenha apenas uma intuição sobre isso. Bem aqui, a partícula está indo rápido assim nessa direção. Aqui, ela está indo ainda mais rápido. O módulo desses vetores é a rapidez, que, apesar de terem módulos diferentes, a direção continua sendo a mesma. Enfim, eu espero que você tenha compreendido a ideia da derivada de um vetor de posição e, mais uma vez, eu quero deixar para você aqui um grande abraço e dizer que encontro você na próxima!