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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 1: Introdução ao cálculo multivariávelFunções multivariáveis
Uma introdução à funções multivariáveis e boas-vindas ao conteúdo de cálculo multivariável como um todo. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
- Quais os pré requeisitos que você julga como essencial para o entendimento do calculo multivariado?(1 voto)
- toda matemática básica e calculo diferencial integral e legal ter um pouco de álgebra linear se você souber escrever provas e melhor ainda pois pode te ajudar em analise real e complexa posteriormente pra ter de fato o entendimento do cálculo.(2 votos)
Transcrição de vídeo
RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar
uma série de vídeos falando a respeito do cálculo multivariável. E a primeira coisa que temos que entender
aqui é: o que é multivariável? Quando estamos estudando
cálculo multivariável, nós estamos falando
de funções de multivariáveis. Mas o que isso significa? Simples: nós estamos acostumados
com uma função na qual nós colocamos uma única entrada,
ou seja, um número, e a sua saída é um único número. Isso é o que chamamos de função
de uma única variável, porque nós temos somente
essa variável "x". Agora, nas funções multivariáveis,
você tem diversas variáveis. Por exemplo, eu posso escrever aqui:
f(x, y), ou qualquer outra letra, não importa. Aqui poderia ter "x", "y", "z"... Enfim, diversas variáveis. Mas neste caso, como temos somente
duas variáveis, isso vai produzir duas saídas. E claro, essas saídas podem ser
números ou vetores. Por exemplo, f(x, y) pode gerar também o vetor (3x, 2y). Claro, este vetor eu estou inventando. Não necessariamente esta função
vai gerá-lo. E claro, quando você tem
uma função desse tipo, você pode pensar no "x" e no "y"
como dois números separados. Por exemplo, aqui pode ter uma reta
e o "x" estar aqui, pode ser 5, 10, não importa. E em uma outra reta vai estar o "y", podendo ser 2, enfim, qualquer número. Mas o ideal é você pensar no "x"
e no "y" como coisas diferentes. E é ainda melhor chamar esse cálculo
multivariável de cálculo multidimensional, porque, ao invés de você pensar no "x"
e no "y" como coisas diferentes, você vai pensar neles como um ponto
no plano cartesiano. E aí você pensa nisso como uma função
que pega o ponto e leva a um número, ou então uma função que pega o ponto
e leva a um vetor. Quando você começa a estudar esse cálculo,
você vê muitas coisas interessantes, como derivadas parciais, gradientes, entre outras coisas que nós vamos ver
nos próximos vídeos. Mas, nesta aula, eu só quero pensar
nas diferentes funções multivariáveis. Vamos ver, então,
algumas animações interessantes aqui. A primeira delas é a de um gráfico. Quando você tem funções multivariáveis, os gráficos se tornam tridimensionais. Mas isso só acontece realmente quando você
tem algum tipo de entrada bidimensional. É como se fosse algo vivo aqui
neste plano XY. Isso gera um único número em sua saída, e a altura do gráfico vai corresponder
a essa saída. É muito importante você visualizar
os gráficos dessas funções. E o interessante é que você também pode
visualizar esses gráficos em duas dimensões. Ou seja, você "achata" a figura. Algo mais ou menos assim, onde conseguimos
visualizar todo o espaço de entrada na cor associada com cada ponto. É isso que você vê quando você planifica
o gráfico de uma função bidimensional. Ou seja, uma função na qual você
tem uma entrada bidimensional, e que estamos visualizando,
em um plano XY, todo o espaço de entrada, e a sua saída vai ser um número, quem sabe, um x² aqui. Enfim, é só um exemplo.
Pode ter outras coisas aqui. A cor indica aproximadamente
o tamanho dessa saída. Estas linhas são o que chamamos
de linhas de contorno, e elas informam quais entradas compartilham
de um valor de saída constante. Eu não vou me aprofundar muito nisso
nesta aula, mas, nos próximos vídeos,
eu vou falar com mais calma. Então, vamos seguir aqui.
Eu vou falar também a respeito de superfícies
no espaço tridimensional. Elas se parecem com gráficos,
mas são um pouco diferentes. Você pode pensar nisso
como um mapeamento de duas dimensões. Por exemplo, eu posso planificar esta figura e aí você vai ver que nós temos
algum tipo de entrada bidimensional que, de alguma forma,
se transforma em três dimensões. E aí vamos ficar com algo parecido
com isto. Estas superfícies são chamadas
de superfícies paramétricas. Enfim, eu vou colocar aqui uma animação,
que é de um campo vetorial. Observe que cada ponto da entrada
está associado a um vetor que é a saída da função. Lembre-se: a saída
de uma função multivariável pode ser um número, mas também um vetor. E esta é uma função de entrada bidimensional, ou seja, cada um destes vetores
são bidimensionais. Você pode imaginá-los como um fluido. Observe nesta animação que eles estão
"fluindo" ao longo do gráfico. Este é um dos aspectos do cálculo multivariável. Mas, de novo, nas próximas aulas eu vou
falar com mais detalhes a respeito disso. Eu só estou introduzindo
o que é uma função multivariável. Por isso, pode ficar tranquilo:
isto não faz sentido de uma hora para outra. Mas, com o passar das aulas, você vai ver
a importância desse cálculo multivariável. Por fim, eu tenho um plano cartesiano aqui e eu vou pegar o espaço de entrada. Neste caso, é uma função na qual
você coloca pontos bidimensionais. E a saída também vai estar
em duas dimensões. Eu vou colocar aqui uma animação
do movimento desses pontos. Isto parece um pouco complicado
de observar, não é? Mas, à medida que você vai ganhando
um pouco de conhecimento a respeito do cálculo multivariável, você vai vendo que não é
tão complicado assim. Você vai ver que isso tem uma conexão
bem forte com a álgebra linear. O que eu quero dizer é que, se você
estiver estudando cálculo multivariável, você vai acabar estudando álgebra linear, porque vai acabar utilizando
transformações aqui. Mas enfim, eu vou ficar por aqui e, nas próximas aulas, nós vamos começar
a detalhar melhor essas coisas. Eu espero que esta aula tenha te ajudado
e até a próxima, pessoal!