Funções multivariáveis

RKA2MP - E aí, pessoal, tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar uma série de vídeos falando a respeito do cálculo multivariável. E a primeira coisa que temos que entender aqui é: o que é multivariável? Quando estamos estudando cálculo multivariável, nós estamos falando de funções de multivariáveis. Mas o que isso significa? Simples: nós estamos acostumados com uma função na qual nós colocamos uma única entrada, ou seja, um número, e a sua saída é um único número. Isso é o que chamamos de função de uma única variável, porque nós temos somente essa variável "x". Agora, nas funções multivariáveis, você tem diversas variáveis. Por exemplo, eu posso escrever aqui: f(x, y), ou qualquer outra letra, não importa. Aqui poderia ter "x", "y", "z"... Enfim, diversas variáveis. Mas neste caso, como temos somente duas variáveis, isso vai produzir duas saídas. E claro, essas saídas podem ser números ou vetores. Por exemplo, f(x, y) pode gerar também o vetor (3x, 2y). Claro, este vetor eu estou inventando. Não necessariamente esta função vai gerá-lo. E claro, quando você tem uma função desse tipo, você pode pensar no "x" e no "y" como dois números separados. Por exemplo, aqui pode ter uma reta e o "x" estar aqui, pode ser 5, 10, não importa. E em uma outra reta vai estar o "y", podendo ser 2, enfim, qualquer número. Mas o ideal é você pensar no "x" e no "y" como coisas diferentes. E é ainda melhor chamar esse cálculo multivariável de cálculo multidimensional, porque, ao invés de você pensar no "x" e no "y" como coisas diferentes, você vai pensar neles como um ponto no plano cartesiano. E aí você pensa nisso como uma função que pega o ponto e leva a um número, ou então uma função que pega o ponto e leva a um vetor. Quando você começa a estudar esse cálculo, você vê muitas coisas interessantes, como derivadas parciais, gradientes, entre outras coisas que nós vamos ver nos próximos vídeos. Mas, nesta aula, eu só quero pensar nas diferentes funções multivariáveis. Vamos ver, então, algumas animações interessantes aqui. A primeira delas é a de um gráfico. Quando você tem funções multivariáveis, os gráficos se tornam tridimensionais. Mas isso só acontece realmente quando você tem algum tipo de entrada bidimensional. É como se fosse algo vivo aqui neste plano XY. Isso gera um único número em sua saída, e a altura do gráfico vai corresponder a essa saída. É muito importante você visualizar os gráficos dessas funções. E o interessante é que você também pode visualizar esses gráficos em duas dimensões. Ou seja, você "achata" a figura. Algo mais ou menos assim, onde conseguimos visualizar todo o espaço de entrada na cor associada com cada ponto. É isso que você vê quando você planifica o gráfico de uma função bidimensional. Ou seja, uma função na qual você tem uma entrada bidimensional, e que estamos visualizando, em um plano XY, todo o espaço de entrada, e a sua saída vai ser um número, quem sabe, um x² aqui. Enfim, é só um exemplo. Pode ter outras coisas aqui. A cor indica aproximadamente o tamanho dessa saída. Estas linhas são o que chamamos de linhas de contorno, e elas informam quais entradas compartilham de um valor de saída constante. Eu não vou me aprofundar muito nisso nesta aula, mas, nos próximos vídeos, eu vou falar com mais calma. Então, vamos seguir aqui. Eu vou falar também a respeito de superfícies no espaço tridimensional. Elas se parecem com gráficos, mas são um pouco diferentes. Você pode pensar nisso como um mapeamento de duas dimensões. Por exemplo, eu posso planificar esta figura e aí você vai ver que nós temos algum tipo de entrada bidimensional que, de alguma forma, se transforma em três dimensões. E aí vamos ficar com algo parecido com isto. Estas superfícies são chamadas de superfícies paramétricas. Enfim, eu vou colocar aqui uma animação, que é de um campo vetorial. Observe que cada ponto da entrada está associado a um vetor que é a saída da função. Lembre-se: a saída de uma função multivariável pode ser um número, mas também um vetor. E esta é uma função de entrada bidimensional, ou seja, cada um destes vetores são bidimensionais. Você pode imaginá-los como um fluido. Observe nesta animação que eles estão "fluindo" ao longo do gráfico. Este é um dos aspectos do cálculo multivariável. Mas, de novo, nas próximas aulas eu vou falar com mais detalhes a respeito disso. Eu só estou introduzindo o que é uma função multivariável. Por isso, pode ficar tranquilo: isto não faz sentido de uma hora para outra. Mas, com o passar das aulas, você vai ver a importância desse cálculo multivariável. Por fim, eu tenho um plano cartesiano aqui e eu vou pegar o espaço de entrada. Neste caso, é uma função na qual você coloca pontos bidimensionais. E a saída também vai estar em duas dimensões. Eu vou colocar aqui uma animação do movimento desses pontos. Isto parece um pouco complicado de observar, não é? Mas, à medida que você vai ganhando um pouco de conhecimento a respeito do cálculo multivariável, você vai vendo que não é tão complicado assim. Você vai ver que isso tem uma conexão bem forte com a álgebra linear. O que eu quero dizer é que, se você estiver estudando cálculo multivariável, você vai acabar estudando álgebra linear, porque vai acabar utilizando transformações aqui. Mas enfim, eu vou ficar por aqui e, nas próximas aulas, nós vamos começar a detalhar melhor essas coisas. Eu espero que esta aula tenha te ajudado e até a próxima, pessoal!