Transformações- Parte 1

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos começar a conversar sobre transformações. Para começar, é bom lembrar que eu já falei sobre muitas maneiras diferentes que você pode visualizar funções de múltiplas variáveis, funções que terão algum tipo de entrada ou saída multidimensional. Isso inclui gráficos tridimensionais, que são muito comuns, mapas de contorno, campos vetoriais, funções paramétricas e diversas outras coisas. Mas aqui eu quero falar sobre uma das minhas formas favoritas de todos os tempos para pensar sobre funções, que é uma transformação. Em algum momento que a gente estiver pensando em alguma função, principalmente se a gente estiver pensando nela de forma bem abstrata, eu gosto de pensar nessa função como algum tipo de espaço de entrada. Eu vou desenhar esse espaço de entrada como uma bolha, embora isso possa ser uma reta dos números reais. Portanto pode ser uma reta ou pode ser um espaço tridimensional. Enfim, isso não importa muito agora. Além disso, também há algum tipo de espaço de saída. E novamente, eu apenas vou pensar nisso como essa bolha, mas isso poderia ser, novamente, a reta dos números reais, o plano xy, um espaço tridimensional e diversas outras coisas. A função é apenas uma forma de levar entradas para as saídas e toda vez que estamos tentando visualizar algo como um gráfico ou um mapa de contorno, você apenas está tentando associar pares de entrada e saída. Então vamos supor que temos uma entrada igual a 3 e que isso nos dê como saída um vetor [1,2]. A pergunta que sempre nos fazemos é como associamos o número 3 com o vetor [1,2]. O pensamento por trás das transformações é que nós vamos observar como os pontos do espaço de entrada se movimentarão para o espaço de saída. Para começar a compreender isso, vamos observar um pequeno exemplo. Isso é apenas uma função unidimensional que tem uma única entrada variável e terá uma única saída variável. Então vamos considerar a função f(x) igual a x² menos 3. E claro, o caminho que estamos acostumados para visualizar algo assim é através de um gráfico. Você pode estar pensando em algo aproximadamente parabólico, que é transladado para baixo em três unidades, mas aqui agora eu não quero pensar em termos de gráficos. Eu apenas quero saber como as entradas se movem para essas saídas. Por exemplo, se for ao zero, você vai ligá-lo ao -3, afinal 0² menos 3 é igual a -3. Então, de alguma forma, queremos ver o zero se movendo para o -3. Da mesma forma, vamos dizer que você conecte o 1 com alguma coisa. Você vai conectá-lo a… 1² menos 3 é -2, então de alguma forma eu vou querer ver esse 1 se movimentando para o -2. Vamos ver mais um caso? Vamos dizer que a gente vai conectar o 3 com alguma coisa. Ele vai ser conectado a… 3² menos 3, que é 6. Então, de alguma forma, nessa transformação, queremos ver o 3 se movendo para o número 6. Com um pouquinho de animação a gente pode ver isso acontecer. Podemos realmente ver o que acontece se todos esses números se moverem para as suas saídas correspondentes. Aqui vamos nós. Cada número se mover até a sua saída. Legal isso, não é? Agora vou limpar isso aqui. Aqui nós observamos o que os números de entradas originais eram, eu escrevi eles aqui, e essa é uma forma de observar para onde eles se moveram. Vamos observar isso novamente. Aqui vamos observar onde cada número do espaço de entrada passa para a saída. Com funções de variável única isso é um pouquinho legal porque dá o sentido de entrada passando para as saídas. Mas isso fica realmente divertido no contexto de funções de múltiplas variáveis. Então, agora, vamos considerar uma função que tem uma entrada unidimensional e uma saída bidimensional. Especificamente será f(x) igual a... A componente x será o cosseno de x e a componente y será x vezes seno de x. Vamos pensar em alguns exemplos. Se você substituir aqui por algo como zero e pensar onde o zero deve ir, você teria f(0) sendo igual ao cosseno de zero, que é 1, e zero vez qualquer coisa, que é zero. Então, de alguma forma, vamos ver o zero passar para o ponto (1,0) e é para cá que esperamos que o zero vá se movimentar. Vamos pensar, agora, sobre π, ou seja, f(π)? O cosseno de π é -1, e aqui temos π vezes seno de π, que é zero. Então isso aqui novamente será zero. Esse pequeno cara aqui vai para este ponto. Esperamos que esse ponto seja onde π vai parar. Se a gente observar isso acontecer, se a gente observar cada elemento do espaço de entrada se movendo para o espaço de saída, nós teremos algo assim, conforme as animação está mostrando. E novamente, essa é uma forma bem legal de pensar sobre o que realmente está acontecendo. Você pode estar fazendo perguntas sobre o espaço acabar ficando esticado ou esmagado, não é? Isso é algo importante de observar. Note também que o gráfico paramétrico desta função seria semelhante a essa representação. Se você interpretar isso como uma função paramétrica, isso é o que você vai obter no final, mas enquanto nos gráficos paramétricos você perde informações de entrada, aqui você pode ver como as coisas se movem, conforme você vai de um para outro. Enfim, no próximo vídeo eu vou falar com você sobre como interpretar funções com uma entrada bidimensional e uma saída bidimensional com uma transformação. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!