Transformações. parte 2

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos continuar conversando sobre transformações. No último vídeo eu apresentei a ideia de transformações e mostrei como você pode pensar sobre funções como pontos que se movimentam de um espaço para outros pontos em outro espaço. Aqui eu quero mostrar um exemplo do que ocorre quando o espaço de entrada é bidimensional. Portanto, esse aqui é o espaço de entrada, é apenas uma cópia do plano xy, e o espaço de saída também é bidimensional. O que eu vou fazer agora é apenas mostrar um exemplo de uma transformação e depois analisar os detalhes da função e como você pode entender o resultado da transformação. Então aqui está essa transformação, aqui está o que vamos fazer. É muito complicado, não é? Muitos pontos se movendo, muitas coisas diferentes estão acontecendo aqui e o que é comum com esse tipo de coisa é que quando você está pensando em mudar de duas dimensões para duas dimensões, dado que realmente é o mesmo espaço, o plano xy, muitas vezes você apenas pensa no espaço de entrada e de saída de uma vez. Mas em vez disso, apenas observe uma cópia desse plano se movendo sobre si mesmo. E por falar nisso, quando eu digo para observar, não estou querendo dizer que você sempre terá uma animação como essa desenrolando na sua frente. Quando eu penso em transformações, geralmente fico com a minha mente vagando em algum lugar, buscando visualizar o que está acontecendo com as coisas. Afinal, isso me ajuda a entender o que realmente está acontecendo com a função. Eu vou falar sobre isso no final, mas primeiro vamos ver que função é essa. Então eu disse ao computador para animar a função f(x,y). x e y são as entradas, e isso é igual ao vetor x² mais y² como a componente x da saída e x² menos y², que é a componente y da saída. Então para ajudar a entender isso vamos dar uma olhada em um ponto relativamente simples, como por exemplo a origem. Então aqui a origem é (0,0) e vamos pensar sobre o que acontece com isso. Temos, então, f(0,0). Bem, x e y são ambos zero, então essa primeira componente é zero, e a mesma coisa acontece com a segunda componente. Também temos isso sendo igual a zero. Isso significa que (0,0) está sendo levado para ele mesmo, o que significa que se você assistir à transformação, (0,0) permanece fixo. Isso é como se você pudesse segurar esse ponto com seu dedo e deixar o restante se movimentar. Nada realmente vai acontecer com ele, e de fato chamamos isso de ponto fixo da função. Esse tipo de terminologia realmente não faz sentido, a menos que você esteja pensando em realizar uma transformação. Que tal agora ver outro caso? Vamos considerar um ponto como (1,1). Então nós vamos ter aqui f(1,1). Aqui no espaço de entrada vamos como que começar tudo de novo para que a gente possa olhar apenas para a entrada. No espaço de entrada o ponto (1,1) está bem aqui e estamos nos perguntando para onde isso vai se mover. Então, substituindo x² mais y² pelas coordenadas do ponto, temos aqui 1² mais 1² na parte superior e na parte inferior, que é x² menos y², temos 1² menos 1², que é zero. Então temos isso aqui sendo igual a 2 e zero, ou seja, (2,0). Isso significa que esperamos que esse ponto se mova para o ponto (2,0) de alguma forma. Se a gente observar a transformação, esperamos ver aquele ponto se movendo para cá, e novamente pode ser difícil de seguir, porque tem muitas partes móveis. Mas se você for cuidadoso ao assistir, o ponto realmente vai até ali e você pode, em princípio, fazer isso para qualquer ponto e entender como isso passa de um espaço para o outro. Mas talvez agora você esteja se perguntando: qual é o sentido de tudo isso? Para que isso serve? Na verdade a gente tem outras formas de visualizar funções que são mais precisas e menos confusas. Campos vetoriais são ótimos para funções como essa. Gráficos também são ótimos para funções com uma entrada e uma saída. Então por que pensar em termos de transformações? O principal motivo é conceitual: não é como se você tivesse uma animação sendo exibida na sua frente, e não é como se você fosse avaliar um monte de pontos a mão e pensar em como eles se movem, mas há muitos conceitos matemáticos diferentes com funções que quando entendê-los em termos de uma transformação, você terá como que uma compreensão mais diversificada, coisas como derivadas ou variações da derivada que você vai aprender em cálculo de múltiplas variáveis. Existem diferentes maneiras de entender isso em termos de dilatação ou compressão de espaço e coisas assim, e realmente não tem algo muito bom para compreender isso em termos de gráficos ou campos vetoriais. Sendo assim, a transformação adiciona uma nova camada ao seu entendimento. Além disso, as transformações são super importantes na álgebra linear, principalmente porque vai chegar o momento em que você vai começar a aprender a conexão entre álgebra linear e cálculo multivariável. Se tiver uma forte concepção de transformações, tanto no contexto da álgebra linear quanto no contexto do cálculo multivariável, você vai estar em uma situação muito melhor para entender a conexão entre esses dois campos da matemática. Enfim, meu amigo ou minha amiga, eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!