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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 5: TransformaçõesTransformações- Parte 3
Aprenda como você pode pensar em uma superfície paramétrica como um certo tipo de transformação. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga.
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar
conversando sobre transformações. Principalmente, porque é importante
compreender isso muito bem antes de seguir para o cálculo
real de múltiplas variáveis. Lembra que no vídeo sobre
superfícies paramétricas eu te mostrei esta função aqui? É uma função de aparência
muito complicada e que tem uma entrada bidimensional
e uma saída tridimensional. Eu falei que você pode pensar nela como se ela estivesse desenhando
uma superfície no espaço tridimensional. Aí, fizemos isto e obtemos
esta rosquinha aqui, que, inclusive, chamamos de toróide. O que eu quero fazer aqui é falar sobre como você pode pensar
nisso como uma transformação. Mas, primeiro, vamos ver se eu entendi
qual é o espaço de entrada aqui. Você pode pensar no espaço de entrada
como todo o plano (t, s), certo? Podemos desenhar isto aqui
como todo o eixo "t" e o eixo "s". E ele mapeia tudo isto aqui. Mas você pode pegar apenas
um pequeno subconjunto disso. Então, se você limitar isso para
"t" maior ou igual a zero, e menor ou igual a 2π. E a mesma coisa com o "s". Ou seja, ter o "s" sendo maior ou igual
a zero e menor ou igual a 2π, nós vamos ter uma espécie de
região quadrada aqui. Aí, apenas se limitando a isso, você realmente vai obter todos os pontos que você precisa para desenhar o toróide. E a razão básica para isso
é que como "t" varia de zero a 2π, o cos(t) vai passar por
todos os valores aqui, antes de começar a se tornar periódico. O sen(t) faz a mesma coisa,
e o mesmo também acontece com "s". Se você deixar o "s" variar de zero a 2π, cobriremos um período completo
do cosseno e um período completo do seno. Então, você não terá nenhuma nova
informação indo para algum outro lugar. Sendo assim, o que podemos fazer é pensar sobre essa porção do plano (t, s) meio que vivendo dentro
do espaço tridimensional como se fosse uma espécie de trapaça, mas é um pouco mais fácil fazer isso do que imaginar mudar de alguma
área separada no espaço. Para visualizar melhor a animação
é mais fácil já começar com isso em 3D. Então, o que nós estamos vendo aqui é que este quadrado está representando
aquele plano (t, s). E esta função está pegando todos os pontos deste quadrado
como sua entrada e produzindo um ponto
em um espaço tridimensional. Você pode pensar nisso como se
estes pontos estivessem se movendo para os pontos de saída correspondentes. Então, eu vou mostrar isto aqui de novo. Começamos com o nosso plano (t, s) aqui e, então, qualquer que seja
o ponto de entrada, se você fosse segui-lo, se fosse segui-lo pela
transformação inteira, o lugar onde o ponto vai parar
será a saída correspondente desta função. Uma coisa que eu tenho
que mencionar aqui é que todos os valores vão se interpolar, enquanto você vai
de um espaço para outro. Mas isso, realmente, não importa. Afinal, a função é realmente uma
coisa muito estática e há apenas uma entrada e uma saída. Agora, se eu estou pensando
em termos de uma transformação, realmente se movendo, teremos um pouco de mágica aqui para fazer uma animação
como essa que eu fiz. Para este caso, eu fiz uma
animação em duas etapas. Primeiro, para enrolar para um lado
e depois para enrolar para o outro. Mas isso, realmente, não importa muito. Além disso, a ideia de começar com
um quadrado e de alguma forma distorcer, é realmente um pensamento muito poderoso. E à medida que a gente avançar
no cálculo de múltiplas variáveis e você começar a pensar de forma
mais profunda sobre superfícies, tudo isso vai ajudar a pensar melhor em como seria o movimento de um ponto
que está no espaço de entrada para algum lugar no espaço de saída. Ou seja, você terá muitas chances
de pensar sobre tudo isso. Por isso que aqui eu só quero
agitar um pouco a sua mente sobre algo legal que eu estou
fazendo com as funções. Eu espero que você tenha compreendido
tudo direitinho o que vimos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar
para você um grande abraço e até a próxima!