Transformações- Parte 3

RKA3JV - Olá, meu amigo ou minha amiga. Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos continuar conversando sobre transformações. Principalmente, porque é importante compreender isso muito bem antes de seguir para o cálculo real de múltiplas variáveis. Lembra que no vídeo sobre superfícies paramétricas eu te mostrei esta função aqui? É uma função de aparência muito complicada e que tem uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional. Eu falei que você pode pensar nela como se ela estivesse desenhando uma superfície no espaço tridimensional. Aí, fizemos isto e obtemos esta rosquinha aqui, que, inclusive, chamamos de toróide. O que eu quero fazer aqui é falar sobre como você pode pensar nisso como uma transformação. Mas, primeiro, vamos ver se eu entendi qual é o espaço de entrada aqui. Você pode pensar no espaço de entrada como todo o plano (t, s), certo? Podemos desenhar isto aqui como todo o eixo "t" e o eixo "s". E ele mapeia tudo isto aqui. Mas você pode pegar apenas um pequeno subconjunto disso. Então, se você limitar isso para "t" maior ou igual a zero, e menor ou igual a 2π. E a mesma coisa com o "s". Ou seja, ter o "s" sendo maior ou igual a zero e menor ou igual a 2π, nós vamos ter uma espécie de região quadrada aqui. Aí, apenas se limitando a isso, você realmente vai obter todos os pontos que você precisa para desenhar o toróide. E a razão básica para isso é que como "t" varia de zero a 2π, o cos(t) vai passar por todos os valores aqui, antes de começar a se tornar periódico. O sen(t) faz a mesma coisa, e o mesmo também acontece com "s". Se você deixar o "s" variar de zero a 2π, cobriremos um período completo do cosseno e um período completo do seno. Então, você não terá nenhuma nova informação indo para algum outro lugar. Sendo assim, o que podemos fazer é pensar sobre essa porção do plano (t, s) meio que vivendo dentro do espaço tridimensional como se fosse uma espécie de trapaça, mas é um pouco mais fácil fazer isso do que imaginar mudar de alguma área separada no espaço. Para visualizar melhor a animação é mais fácil já começar com isso em 3D. Então, o que nós estamos vendo aqui é que este quadrado está representando aquele plano (t, s). E esta função está pegando todos os pontos deste quadrado como sua entrada e produzindo um ponto em um espaço tridimensional. Você pode pensar nisso como se estes pontos estivessem se movendo para os pontos de saída correspondentes. Então, eu vou mostrar isto aqui de novo. Começamos com o nosso plano (t, s) aqui e, então, qualquer que seja o ponto de entrada, se você fosse segui-lo, se fosse segui-lo pela transformação inteira, o lugar onde o ponto vai parar será a saída correspondente desta função. Uma coisa que eu tenho que mencionar aqui é que todos os valores vão se interpolar, enquanto você vai de um espaço para outro. Mas isso, realmente, não importa. Afinal, a função é realmente uma coisa muito estática e há apenas uma entrada e uma saída. Agora, se eu estou pensando em termos de uma transformação, realmente se movendo, teremos um pouco de mágica aqui para fazer uma animação como essa que eu fiz. Para este caso, eu fiz uma animação em duas etapas. Primeiro, para enrolar para um lado e depois para enrolar para o outro. Mas isso, realmente, não importa muito. Além disso, a ideia de começar com um quadrado e de alguma forma distorcer, é realmente um pensamento muito poderoso. E à medida que a gente avançar no cálculo de múltiplas variáveis e você começar a pensar de forma mais profunda sobre superfícies, tudo isso vai ajudar a pensar melhor em como seria o movimento de um ponto que está no espaço de entrada para algum lugar no espaço de saída. Ou seja, você terá muitas chances de pensar sobre tudo isso. Por isso que aqui eu só quero agitar um pouco a sua mente sobre algo legal que eu estou fazendo com as funções. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!