Plotagem de contornos

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre os gráficos de contorno. Para começar, observe este gráfico tridimensional. Isso significa que esse gráfico está representando algum tipo de função que tem uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional. Sendo assim, isso pode parecer algo como f(x,y), em que isso é igual apenas a alguma expressão que tem um monte de x e y nele. Um detalhe é que os gráficos são ótimos, mas eles são meio difíceis de desenhar. Quer dizer, certamente você não pode apenas rabiscar para fazê-los. Normalmente se requer algum tipo de aplicativo gráfico. Quando você obtém uma imagem estática dele, nem sempre está claro o que está acontecendo. Sabendo disso, aqui eu vou mostrar uma maneira com que você pode representar essas funções e esses gráficos de uma forma bidimensional, apenas rabiscando em um pedaço de papel bidimensional. Essa é uma forma muito comum que você verá se estiver lendo um livro ou se alguém estiver desenhando em um quadro-negro. Esse tipo de figura que vamos conceber aqui é conhecida como gráfico de contorno e a ideia de um gráfico de contorno é que vamos pegar esse gráfico aqui e fatiar várias vezes. Então o que eu vou fazer aqui é cortar em vários planos que são paralelos ao plano xy. Que tal agora pensar por um momento sobre o que esses caras representam? Esse plano aqui de baixo representa o valor z igual a 2 negativo. Este é o eixo z. Quando fixamos isso aqui para ser -2 e deixamos o x e y correrem livremente, nós vamos obter toda essa seção transversal aqui. Vamos agora aumentar z um pouco e depois fixar novamente? Que tal agora fixar em -1? Temos um novo plano, ainda paralelo em xy, mas está a uma distância de -1 em relação ao plano xy. E o resto desses caras? Todos eles ainda são valores constantes de z. Agora, em termos do nosso gráfico, o que isso significa é que eles representam valores constantes do próprio gráfico, representam valores constantes da própria função. Então pelo fato de sempre representarmos a saída da função com a altura em relação ao plano xy, eles representam valores constantes para a saída. Sendo assim, qual será a aparência disso, ou seja, como que ficarão essas fatias cortadas em um gráfico bidimensional? Eu vou aproveitar todos os pontos onde essas fatias cortam no gráfico e formar algo que chamaremos de linhas de contorno. Ainda estamos em três dimensões, então não terminamos ainda. Sendo assim, o que eu vou fazer aqui agora é pegar todas essas linhas de contorno e vou esmagá-las para baixo no plano xy. O que isso significa? Isso significa que por enquanto cada uma dessas linhas tem um tipo de componente z e então nós vamos eliminar a componente z e colocar todos estes planos juntos no plano xy. Ao fazer isso temos algo bidimensional que ainda representa algumas das saídas de nossa função. Não são todas elas, isso aqui não é perfeito, mas dá uma ideia muito boa. Eu vou mudar para um gráfico bidimensional. Essa é a mesma função que estávamos olhando. Vamos mover um pouquinho mais para o centro, para a gente ter uma ideia um pouco melhor. Portanto, essa é a mesma função que estávamos vendo antes, mas agora cada uma dessas linhas representam uma saída constante da função. Então é importante perceber que ainda estamos representando uma função que tem uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional, só que agora estamos olhando no espaço de entrada dessa função como um todo, então isso aqui ainda é f(x,y) e alguma expressão desses caras, mas essa linha pode representar o valor constante de f quando todos os valores estavam na saída três. Por aqui também. Ambos os círculos juntos dão a você todos os valores onde f produz 3. Esse aqui dirá onde a saída é 2, e claro, talvez você nem possa saber disso olhando apenas para o gráfico de contorno. Então é por isso que normalmente, se alguém está desenhando, é importante que sejam fornecidos os valores específicos e então marcá-los de alguma forma. É importante saber qual o valor a que cada linha corresponde, porque sabendo disso, sabendo por exemplo que essa linha corresponde a zero, você saberá que todo possível ponto de entrada que fica em algum lugar nessa linha será avaliado como zero quando você utiliza a função e isso dá uma sensação muito boa para a forma dessas coisas. Se você gosta de pensar em termos de gráficos, pode imaginar como esses círculos e tudo mais sairiam da página. Você também pode olhar e observar como as linhas são realmente bem juntas aqui, muito, muito próximas umas das outras, mas elas estão um pouquinho mais espaçadas aqui. Como que você interpreta isso? Aqui, isso significa que é preciso dar um passo muito, muito pequeno para aumentar o valor da função em 1, mas aqui é preciso um passo muito, muito maior para aumentar a função pelo mesmo valor. Isso aqui nos fornece uma espécie de inclinação e, sendo assim, se você vir uma distância muito curta entre as linhas de contorno, teremos uma superfície mais inclinada. Caso contrário, teremos uma superfície não muito inclinada, algo quase paralelo ao plano xy. Você pode fazer coisas assim para ter uma sensação melhor para a função como um todo. A ideia de um grupo inteiro de círculos concêntricos geralmente representa um máximo ou mínimo e você acaba vendo muito isso. Outra coisa comum que as pessoas farão com gráficos de contorno para representá-los melhor é colori-los. Esse gráfico aqui, por exemplo, pode se parecer dessa forma, onde as cores mais quentes, como o laranja, correspondem a valores altos e cores mais frias, como o azul, correspondem a valores baixos. As curvas de nível aqui representadas acabam por estar entre o vermelho e o verde, entre verde claro e verde, mais ou menos. Essa é uma outra forma de fazer essa representação. As cores indicam a saída e as linhas de contorno podem ser pensadas como as fronteiras entre cores diferentes. Novamente, essa é uma boa maneira de observar uma função multidimensional apenas olhando para o espaço de entrada. Eu espero que você tenha compreendido direitinho tudo o que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!