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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 3: Visualização de funções de valor escalarInterpretando gráficos com fatias
Gráficos em 3d podem ser demais para absorver, mas ajuda imaginá-los fatiados como planos paralelos ao eixo x ou eixo y e relacionar tais planos a gráficos bidimensionais. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a interpretação de gráficos realizando cortes transversais nesses gráficos. Para conversar sobre isso
vamos observar este gráfico tridimensional. Esse gráfico muito acidentado é o gráfico da função
f(x,y) igual a cosseno de x vezes seno de y. Ah, um detalhe: aqui eu poderia dizer também que esse gráfico representa a relação z
igual a tudo isso aqui em cima, principalmente porque podemos pensar na saída da função
como sendo a coordenada z de cada ponto. Pensando nisso, o que eu quero fazer aqui é mostrar como você pode interpretar a relação entre gráficos e as funções realizando cortes nele. Então, por exemplo, vamos dizer que realizamos um corte e pegamos uma espécie de fatia do gráfico,
desse jeito aqui, que é algo
que representa o valor de x igual a zero. Assim você meio que pode ver isso aqui
porque esse é o eixo x. Então quando está aqui em zero no eixo x
você pode passar aqui pela origem e todos os valores de y e z
estarão nesse plano, de forma que você acaba tendo um gráfico com esse formato. Agora vamos dizer que você queira apenas considerar
onde isso corta o gráfico. Vamos limitar nosso gráfico
até o ponto onde nós cortamos e eu vou desenhar isso com uma cor vermelha. Agora o que você pode perceber é que essa linha vermelha
meio que parece uma onda sinusoidal, ou simplesmente uma senoide. Na verdade parece exatamente como a própria função seno,
onde ela passa pela origem e começa subindo. Isso faz total sentido, porque se a gente começar a conectar as coisas com essa função original, se a gente substituir x por zero na função, ainda teremos a variável y para substituir todos os valores. Isso significa que teremos aqui
cosseno de zero vezes seno de y. Quanto é o cosseno de zero? Cosseno de zero é igual a 1. Então temos aqui que toda essa função
vai ser parecer com a função seno quando a gente colocar todos os valores possíveis para y e encontrar uma saída para esses valores
que é representada pela coordenada z. Com isso teremos um gráfico bidimensional como esse aqui,
que já estamos bem familiarizados. Agora vamos tentar isso aqui
em um ponto diferente. Vamos ver o que acontece
se em vez de fixar x igual a zero a gente fixar y igual a zero. Agora dessa vez, antes de representar graficamente
e antes de mostrar tudo o que se passa, vamos apenas tentar descobrir puramente
através da fórmula. Vamos ver o que vai acontecer
quando a gente fixar y igual a zero. Vamos escrever isso aqui do outro lado. Nós teremos f(x), que ainda será uma variável livre, e o y, que vai ser fixado como zero. Isso significa que teremos aqui o cosseno de x, e então talvez a gente espere algo
que se pareça com gráfico do cosseno, só que a gente multiplica isso com o seno de zero. Quanto é o seno de zero? Seno de zero é zero. Sendo assim, ao multiplicar zero com o cosseno de x
nós teremos como resultado zero. Significa que tudo, para qualquer valor de x,
será cancelado devido a esse zero. Sendo assim o que a gente obtém com isso
é uma função constante igual a zero. Vamos ver se a gente vai ter isso mesmo. Então eu vou cortar esse gráfico
em y igual a zero. Ao fazer isso e olhar para o gráfico,
nós vamos observar o que vai acontecer com a superfície. Eu vou cortar o meu gráfico aqui neste ponto e de fato a gente vai ter apenas
uma linha reta, a linha reta que está ao longo do eixo x. Agora, que tal a gente fazer com um valor diferente de y? Vamos apagar tudo isso aqui
para a gente ter um pouquinho mais de espaço e em vez de colocar y igual a zero,
vamos dizer que eu cortei o gráfico em algum outro valor. Nesse caso aqui, eu vou escolher
y igual a π sobre 2. Ao fazer isso parece que a gente vai encontrar uma onda
que se parece com uma cossenoide e você pode ver de onde isso está saindo. A gente pode pegar a função
e colocar π/2 no lugar de y. Assim a gente vai ter cos x
vezes sen π/2. Sen π/2 é igual a 1, e ao substituir isso aqui por 1 teremos que toda a função
vai ser igual ao cosseno de x e novamente nós fixamos a função multivariável em um valor, que nesse caso é y, e deixamos x variar livremente. Assim a gente vai ter algo
que se parece com a função cosseno. Enfim, eu acho que isso é uma ótima maneira
de entender um certo gráfico tridimensional. Mas agora vamos dizer que a gente voltou a olhar o gráfico original quando não tinha nada acontecendo. A gente tem este gráfico que parece ondulado, irregular
e um pouco difícil de entender em um primeiro momento, mas se você apenas pensar em termos
de manter uma variável constante, o gráfico sempre se resume
em um gráfico bidimensional normal e então você pode pensar sobre diferentes cortes realizados e pode fazer isso meio que deslizando o corte
para a frente e para trás, buscando compreender diversas coisas
que estão nesse gráfico, como por exemplo a amplitude da onda
que a gente vai observar. Mas enfim, isso aqui vai se tornar incrivelmente importante
quando a gente introduzir uma noção de derivada parcial. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho
o que conversamos até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!