Interpretando gráficos com fatias

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar sobre a interpretação de gráficos realizando cortes transversais nesses gráficos. Para conversar sobre isso vamos observar este gráfico tridimensional. Esse gráfico muito acidentado é o gráfico da função f(x,y) igual a cosseno de x vezes seno de y. Ah, um detalhe: aqui eu poderia dizer também que esse gráfico representa a relação z igual a tudo isso aqui em cima, principalmente porque podemos pensar na saída da função como sendo a coordenada z de cada ponto. Pensando nisso, o que eu quero fazer aqui é mostrar como você pode interpretar a relação entre gráficos e as funções realizando cortes nele. Então, por exemplo, vamos dizer que realizamos um corte e pegamos uma espécie de fatia do gráfico, desse jeito aqui, que é algo que representa o valor de x igual a zero. Assim você meio que pode ver isso aqui porque esse é o eixo x. Então quando está aqui em zero no eixo x você pode passar aqui pela origem e todos os valores de y e z estarão nesse plano, de forma que você acaba tendo um gráfico com esse formato. Agora vamos dizer que você queira apenas considerar onde isso corta o gráfico. Vamos limitar nosso gráfico até o ponto onde nós cortamos e eu vou desenhar isso com uma cor vermelha. Agora o que você pode perceber é que essa linha vermelha meio que parece uma onda sinusoidal, ou simplesmente uma senoide. Na verdade parece exatamente como a própria função seno, onde ela passa pela origem e começa subindo. Isso faz total sentido, porque se a gente começar a conectar as coisas com essa função original, se a gente substituir x por zero na função, ainda teremos a variável y para substituir todos os valores. Isso significa que teremos aqui cosseno de zero vezes seno de y. Quanto é o cosseno de zero? Cosseno de zero é igual a 1. Então temos aqui que toda essa função vai ser parecer com a função seno quando a gente colocar todos os valores possíveis para y e encontrar uma saída para esses valores que é representada pela coordenada z. Com isso teremos um gráfico bidimensional como esse aqui, que já estamos bem familiarizados. Agora vamos tentar isso aqui em um ponto diferente. Vamos ver o que acontece se em vez de fixar x igual a zero a gente fixar y igual a zero. Agora dessa vez, antes de representar graficamente e antes de mostrar tudo o que se passa, vamos apenas tentar descobrir puramente através da fórmula. Vamos ver o que vai acontecer quando a gente fixar y igual a zero. Vamos escrever isso aqui do outro lado. Nós teremos f(x), que ainda será uma variável livre, e o y, que vai ser fixado como zero. Isso significa que teremos aqui o cosseno de x, e então talvez a gente espere algo que se pareça com gráfico do cosseno, só que a gente multiplica isso com o seno de zero. Quanto é o seno de zero? Seno de zero é zero. Sendo assim, ao multiplicar zero com o cosseno de x nós teremos como resultado zero. Significa que tudo, para qualquer valor de x, será cancelado devido a esse zero. Sendo assim o que a gente obtém com isso é uma função constante igual a zero. Vamos ver se a gente vai ter isso mesmo. Então eu vou cortar esse gráfico em y igual a zero. Ao fazer isso e olhar para o gráfico, nós vamos observar o que vai acontecer com a superfície. Eu vou cortar o meu gráfico aqui neste ponto e de fato a gente vai ter apenas uma linha reta, a linha reta que está ao longo do eixo x. Agora, que tal a gente fazer com um valor diferente de y? Vamos apagar tudo isso aqui para a gente ter um pouquinho mais de espaço e em vez de colocar y igual a zero, vamos dizer que eu cortei o gráfico em algum outro valor. Nesse caso aqui, eu vou escolher y igual a π sobre 2. Ao fazer isso parece que a gente vai encontrar uma onda que se parece com uma cossenoide e você pode ver de onde isso está saindo. A gente pode pegar a função e colocar π/2 no lugar de y. Assim a gente vai ter cos x vezes sen π/2. Sen π/2 é igual a 1, e ao substituir isso aqui por 1 teremos que toda a função vai ser igual ao cosseno de x e novamente nós fixamos a função multivariável em um valor, que nesse caso é y, e deixamos x variar livremente. Assim a gente vai ter algo que se parece com a função cosseno. Enfim, eu acho que isso é uma ótima maneira de entender um certo gráfico tridimensional. Mas agora vamos dizer que a gente voltou a olhar o gráfico original quando não tinha nada acontecendo. A gente tem este gráfico que parece ondulado, irregular e um pouco difícil de entender em um primeiro momento, mas se você apenas pensar em termos de manter uma variável constante, o gráfico sempre se resume em um gráfico bidimensional normal e então você pode pensar sobre diferentes cortes realizados e pode fazer isso meio que deslizando o corte para a frente e para trás, buscando compreender diversas coisas que estão nesse gráfico, como por exemplo a amplitude da onda que a gente vai observar. Mas enfim, isso aqui vai se tornar incrivelmente importante quando a gente introduzir uma noção de derivada parcial. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!