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Introdução aos gráficos em 3d

Gráficos tridimensionais são uma forma de representar funções com uma entrada bidimensional e uma saída unidimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos fazer uma introdução aos gráficos em três dimensões. Sendo assim, o que eu gostaria de fazer aqui é descrever como pensamos sobre os gráficos tridimensionais. Um detalhe importante a falar é que os gráficos tridimensionais são uma forma que representamos uma função multivariável que tem duas entradas, ou melhor, uma entrada bidimensional e uma espécie de saída unidimensional. Para começar, podemos observar aqui a função de "x" e "y", sendo igual a x² + y². E, antes de falar exatamente sobre este gráfico, eu acho que seria útil, por analogia, observar gráficos bidimensionais e lembrar de como eles funcionam. Porque a ideia para gráficos em três dimensões é basicamente a mesma, Só que um pouco mais difícil de visualizar. Os gráficos bidimensionais têm algum tipo de função, que como exemplo podemos ter aqui f(x) sendo igual a x². Sempre que você visualiza uma função, você está tentando entender a relação entre as entradas e as saídas. E aqui são apenas números. Então, você sabe que insere o número, como por exemplo, 2 , e aí você vai produzir um 4. Você também sabe que, se entrar com um número igual a -1, a função vai gerar 1 positivo. E um detalhe legal é que, com essa função, você pode encontrar vários pares de entradas e saídas. E uma forma de conseguir uma boa intuição para cada par de entrada e saída é fazendo isso através de gráficos. Por exemplo: podemos marcar aqui em um gráfico o ponto (2, 4). Para isso, a gente vai colocar aqui as coordenadas no eixo horizontal: 1, 2, e também colocar aqui as coordenadas no eixo vertical: 1, 2, 3, 4. E aí vamos marcar o ponto (2, 4), que é mais ou menos aqui. Isto representa um par de entrada e saída. A gente também pode fazer isso com (-1, 1). A gente vai ter aqui: -1 e 1; e aí marcamos o ponto aqui. Quando você faz isso com cada par de entrada e saída possível, você acaba obtendo algum tipo de curva suave, mais ou menos deste jeito. Normalmente, a gente faz isso tendo o eixo "x" como o lugar onde as entradas estão. Por exemplo, aqui é a entrada 2. E aí pensamos na saída como sendo a altura acima de cada ponto, ou seja, o eixo "y". Mas isso é uma espécie de consequência do fato de estarmos listando todos os pares aqui. Agora, se a gente for para o mundo de funções multivariáveis, a ideia é quase a mesma. Mas inicialmente eu não vou mostrar o gráfico. Eu vou apenas pensar que temos um espaço tridimensional à nossa disposição para fazermos o que quisermos. Ainda queremos entender o relacionamento entre entradas e saídas deste cara. Mas neste caso, entradas são algo que nós pensamos em um par de pontos. Podemos ter, por exemplo, um par de pontos como (1, 2). Aí, a saída será 1² + 2², e isso é igual a 5. Sabendo disso, como podemos visualizar isso em um gráfico? Bem, se a gente quiser emparelhar essas coisas juntas, a maneira natural de fazer isso é pensar em um trio de alguma coisa. Neste caso, a gente vai conectar o trio 1, 2, 5, e fazer isso em três dimensões. Para isso, vamos dar uma olhadinha aqui e colocar 1 na direção "x". Este eixo aqui é o eixo "x", então, queremos nos mover uma distância igual a 1 neste eixo. Também queremos nos mover uma distância igual a 2 aqui no eixo "y". E aí, uma distância igual a 5 no eixo "z". Pronto! Isso vai nos fornecer uma espécie de ponto, não é? A gente pode pensar neste ponto no espaço apenas como um determinado par de entrada e saída. Inclusive, podemos fazer isso várias vezes. Fazendo isso, teremos algo que se parece com isto aqui. O problema é que, ao fazer isso, vamos acabar demorando uma eternidade, porque teremos infinitos pontos. Inclusive, se você traçar aqui as saídas de todos os pares de entradas, não teremos apenas uma linha, mas sim uma espécie de superfície. Neste caso, a superfície se parece com uma espécie de parábola tridimensional. E isso não é coincidência. Isso tem tudo a ver com o fato de estarmos usando x² e y² aqui. Afinal, aqui temos como entrada 1 e 2, que estão no plano xy. Com essas entradas, encontramos a saída, que é algo que corresponde à altura de um ponto acima do plano xy. Isso é muito parecido com o caso em duas dimensões. Primeiro, a gente pensa na entrada, que é como se estivesse em um eixo. E aí, temos como saída a altura. Apenas para dar um exemplo da consequência disso, eu quero que você pense no que pode acontecer se a gente mudar a função multivariável um pouco. Que tal se a gente multiplicasse tudo isto pela metade? Vamos dizer que a gente tenha um função, mas eu vou mudar isto para produzir a metade de x² + y². Sendo assim, qual será a forma do gráfico para esta função? Isto significa que a altura de cada ponto acima do plano xy vai ser cortada pela metade. Na verdade, é apenas a modificação do que já temos. Tudo meio que vai ser movimentar para baixo, para a metade do que era. Neste caso, em vez desta altura ser 5, vai ser 2,5. Vamos mudar isso um pouco mais agora. Em vez de colocar a metade, que tal se a gente dividir tudo isso por 12? Ou seja, multiplicar este (x² + y²) por 1/12? Isso significa que tudo, toda a superfície, ficaria mais perto do plano xy. Significa que o gráfico, estando muito perto do plano xy, deste jeito, corresponde a saídas muito pequenas. Agora, uma coisa que eu quero chamar sua atenção é que é muito tentador pensar em cada função multivariável como um gráfico, principalmente porque estamos muito acostumados com gráficos em duas dimensões. E também estamos muito acostumados a tentar encontrar analogias entre duas e três dimensões de uma forma bem direta. Mas a única razão disso funcionar neste caso é porque pegamos duas dimensões como entrada e uma dimensão como saída. Aí conseguimos pegar esses dados e encaixar tudo isso em um gráfico tridimensional. Mas imagine agora se você tivesse uma função multivariável com uma entrada tridimensional e com uma saída bidimensional. Isso exigiria um gráfico de cinco dimensões, mas não somos muito bons em visualizar coisas assim. Sendo assim, existem diversos outros métodos que podem ser utilizados nesses casos. Por isso, é muito importante ficar atento e abrir sua mente quanto a isso. Em particular, outro método que eu vou te mostrar em breve e que nos permite pensar em gráficos tridimensionais, mas meio que em um cenário bidimensional, é apenas olhar para o espaço de entradas. Esse espaço de entrada é chamado de mapa de contorno. Outro método é obter funções paramétricas, em que você olha apenas o espaço de saída. Tem coisas também como espaço vetorial, em que você olha apenas para as entradas no espaço e obtém todas as saídas. Enfim, existem diferentes formas de trabalhar com funções multivariáveis e nós vamos conhecer todas elas nos próximos vídeos. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que a gente viu até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!