Conteúdo principal
Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 3: Visualização de funções de valor escalarRepresentando pontos em 3d
Aprenda como representar e pensar a respeito de pontos e vetores no espaço tridimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.
Quer participar da conversa?
Nenhuma postagem por enquanto.
Transcrição de vídeo
RKA2MP - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo, vamos conversar
sobre funções multivariáveis e representação de pontos em 3D. Muitas das formas que nós representamos
funções multivariáveis é através de pontos em três dimensões
e de vetores em três dimensões. Sabendo disso, eu pensei em fazer
um pequeno vídeo para te mostrar como podemos descrever
pontos e vetores em três dimensões. Mas antes disso, é importante começar descrevendo pontos e vetores
em duas dimensões, considerando que, se você está aprendendo
sobre cálculo multivariável, você pode querer saber em alguns momentos
sobre o ponto que está sendo considerado. Talvez você até já saiba representar
pontos e vetores em duas dimensões, mas é importante a gente começar por aqui. Porque, se você compreender bem
como fazer essas representações, você pode começar a utilizar as ideias
que você aprendeu em duas dimensões para fazer uma representação
em três dimensões, ou até mesmo começar a ver certos padrões
em duas ou três dimensões e como isso poderia se estender
para outras dimensões que a gente não consegue
necessariamente visualizar. Vamos começar a pensar
nisso tudo aqui agora. Por exemplo, se em duas dimensões
temos algum ponto, normalmente representamos isso através
de um eixo "x" e um eixo "y", que são perpendiculares entre si. Além disso, representamos esse ponto
com um par de números. Neste caso aqui,
podemos ter algo como (1, 3). O que isso representa está dizendo
que você precisa se mover uma certa distância ao longo do eixo "x" e depois uma certa distância
ao longo do eixo "y". Então, por exemplo, vamos dizer
que esta distância é igual a 1 e esta distância é igual a 3. Pode não ser exatamente
do jeito que eu desenhei, mas vamos dizer que estas sejam
as coordenadas. Isso significa que cada ponto
no espaço bidimensional pode receber um par de números como este. Você pode pensar neles como instruções
que estão meio que te dizendo a distância para caminhar em uma direção e a distância para caminhar
em outra direção. Claro, você também pode pensar
no inverso disso. A ideia é a mesma. Mas o importante aqui é que,
sempre que você tem um par de coisas, um par de números, você deve pensar nisso
como uma forma bidimensional. E isso é realmente uma ideia
surpreendentemente poderosa, que eu aprecio há muito tempo. Principalmente porque essa relação
de pares de números e pontos no espaço permite que a gente consiga visualizar coisas
que sempre achou que não poderíamos. Ou nos permite, ainda, descrever coisas que são puramente visíveis através
de pares de números. Em três dimensões,
a ideia é praticamente a mesma, mas entre trios de números que representam
um ponto em um espaço tridimensional. Para pensar nisso, vamos colocar um ponto
neste espaço tridimensional. Aqui é um pouco difícil de ter
uma ideia exata, até que você mova as coisas neste espaço. Uma coisa que torna
as três dimensões difíceis é que você não pode realmente
desenhar sem mover ou mostrar a diferença em perspectiva
de várias maneiras. Mas nós descrevemos pontos como este. Então, tudo que a gente faz aqui
é uma representação. Enfim, nós descrevemos pontos como este, novamente, através de um conjunto
de coordenadas. Mas desta vez é um trio de números. E para este ponto em particular,
eu sei que aqui temos (1, 2, 5). E o que estes números estão dizendo é a distância a se mover
de forma paralela a cada eixo. Assim como com duas dimensões,
temos aqui um eixo "x" e um eixo "y", mas agora há um terceiro eixo,
que é perpendicular a ambos. Essa dimensão é o eixo "z". Olhando essa coordenada,
o primeiro número vai nos dizer o quanto precisamos nos mover
na direção "x". Esta é a primeira etapa. O segundo número (2, neste caso) nos diz o quanto precisamos nos mover
paralelo ao eixo "y". Esta é a segunda etapa. E o terceiro número nos diz
o quanto temos que nos mover de forma paralela ao eixo "z"
para chegar a este ponto. E um detalhe legal
é que você pode fazer isso para qualquer ponto no espaço
tridimensional. Qualquer ponto que você tiver, você pode dar as instruções
sobre como se mover ao longo do eixo "x", como se mover ao longo do eixo "y" e como se mover ao longo do eixo "z"
para chegar a esse ponto. Sendo assim, isso significa que existe
uma relação entre o trio de números e o ponto em três dimensões. Então, sempre que você tiver
um trio de coisas (e você verá isso no próximo vídeo, quando a gente começar a falar
sobre gráficos tridimensionais), você saberá, apenas pelo fato
de ter um trio de coisas, que você deve pensar em três dimensões
de alguma forma. E você faz isso da mesma forma
com o bidimensional. Afinal, sempre que você tem pares
de alguma coisa, você deve pensar: "Ah! Isso é uma coisa muito bidimensional!" Agora que conversamos sobre pontos, existe um outro contexto
onde pares de números surgem. Eu estou falando aqui sobre os vetores. Os vetores normalmente são representados
com algo que parece ser uma flecha, mais ou menos deste jeito. Esta flecha é uma representação
de um vetor. Se esse vetor for algo que liga
a origem a um ponto simples, temos as coordenadas desse vetor
sendo exatamente as mesmas do ponto. E aí, por convenção, escrevemos
essas coordenadas em uma coluna. Claro, isso não é uma regra universal, mas normalmente, se você ver números
em uma coluna como esta aqui, você deve pensar nisso como um vetor,
algum tipo de flecha. E, se for um par de parênteses
em torno disso, você apenas pensa nisso
como um ponto. Agora, uma coisa que precisamos
deixar claro é que, apesar desses dois serem formas
de representar um mesmo par de números, a principal diferença entre um vetor
e um ponto é que, em relação a um vetor, você poderia
ter começado em qualquer ponto do espaço. Não precisa começar na origem. Então, se a gente tivesse aqui
este mesmo cara, mas ele começando aqui, ele ainda teria uma componente
à direita igual a 1 e uma componente ascendente igual a 3. Pensamos nisso aqui como o mesmo vetor. Os vetores normalmente representam
algum tipo de movimento e os pontos estão apenas representando
pontos reais no espaço. Uma coisa que você também pode fazer
com vetores é adicionar um com o outro. Então, se você tivesse outro vetor... Digamos que você tenha outro vetor aqui, com uma componente "x"
relativamente grande, mas com uma componente "y" relativamente
pequena e negativa, como este cara. Você pode adicionar este vetor
ao primeiro. E a forma de fazer isso é imaginando que o segundo vetor comece
na ponta do primeiro. Dessa forma, você obtém um novo vetor partindo da origem do primeiro
e indo até o final do segundo. E esse cara seria o que chamamos
de vetor resultante. Ou seja, o vetor resultante da soma
entre estes dois vetores. Com toda certeza, você não pode
fazer isso com pontos, até porque, para pensar
em adicionar pontos, você acaba pensando neles como vetores. Agora que você já compreendeu isso
em duas dimensões, é importante saber que isso acontece
também em três dimensões. Para um determinado ponto,
se você desenhar uma seta da origem até aquele ponto, essa seta seria representada
com o mesmo trio de números, mas você normalmente faria isso
em uma coluna. Um detalhe importante:
eu costumo chamar isto de vetor coluna. E, como eu falei, a diferença
entre um ponto e um vetor é que o vetor pode começar
em qualquer lugar do espaço. Contanto que tenha os mesmos componentes, não importa para onde ele se movimente
paralelamente ao eixo "x", ou ao eixo "y", ou ainda ao eixo "z". Enfim, meu amigo ou minha amiga,
espero que você tenha compreendido tudo direitinho aqui
o que a gente conversou. No próximo vídeo, eu vou te mostrar
como usamos essas três dimensões para começar a representar graficamente
as funções multivariáveis. Quero aproveitar o momento aqui e deixar
para você um grande abraço. Até a próxima!