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Introdução aos campos vetoriais 3d

Campos vetoriais também podem ser tridimensionais, embora sua visualização possa ser mais complicada.   Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos realizar uma introdução aos campos vetoriais em 3D. A gente já conversou em outros vídeos sobre os campos vetoriais no contexto de duas dimensões, mas aqui neste vídeo eu quero fazer o mesmo, só que agora para três dimensões. Portanto, um campo vetorial tridimensional é dado por uma função, uma certa função multivariável que tem uma entrada tridimensional com as coordenadas (x,y,z) e uma saída vetorial tridimensional que têm expressões que são de alguma forma dependentes de (x,y,z). Por enquanto eu vou apenas colocar pontos aqui, mas vamos preencher isso com o exemplo daqui a pouco. A maneira como isso funciona, assim como o caso do campo vetorial bidimensional, é que você vai escolher uma amostra de vários pontos no espaço tridimensional e para cada um desses pontos você vai considerar que a saída da função vai ser algum tipo de vetor tridimensional e aí você desenha esse vetor saindo do próprio ponto. Então para começar, vamos pegar um exemplo muito simples, aquele em que o vetor produzido é na verdade uma constante. Nesse caso eu vou fazer o vetor constante (1,0,0). Esse vetor só tem uma unidade de comprimento na direção x, então este é o eixo x. Sendo assim, todos os vetores vão acabar dessa forma, onde cada vetor tem um comprimento 1 na direção x. Quando fazemos isso em todos os pontos possíveis (bem, nem todos os pontos possíveis, mas em uma amostra de vários pontos), nós teremos um campo vetorial que se parece com isso aqui. Em qualquer ponto do espaço nós temos um desses pequenos vetores azuis e todos eles são iguais. Eles são apenas cópias um do outro, cada um apontando com uma unidade de comprimento na direção x. Esse campo vetorial é um pouquinho chato, que tal, então, a gente deixar as coisas um pouquinho mais emocionantes? Que tal se a gente fizer vetores que dependam do valor de entrada? Então o que eu vou fazer aqui para começar é colocar a entrada [y,0,0]. Os vetores ainda vão apontar na direção x, mas agora vão depender do valor y. Que tal, antes de mudar a imagem, a gente pensar por um segundo sobre o que isso significa? O eixo y é esse aqui e então eu vou colocar aqui o eixo z apontado para fora da tela. Não se esqueça que esse aqui é o eixo y. Conforme y aumenta o valor para 1, 2, 3, o comprimento desses vetores vai aumentar. Teremos vetores cada vez maiores apontados na direção x. Agora, se y for negativo, esses vetores vão apontar para o sentido oposto. Então vamos ver como isso vai ficar? Repare que nesse campo vetorial cor e comprimento são usados para indicar a magnitude do vetor. Os vetores vermelho são muito longos, os vetores azuis são muito curtos e em zero nem mesmo vemos os vetores porque esses são vetores com comprimento zero, e assim como com os campos vetoriais de duas dimensões, quando os desenha, você mente um pouquinho. Isso aqui deveria ter um comprimento igual a 1, não é? Isso deve ter um comprimento de uma unidade, mas aqui nós temos algo muito, muito pequeno e aqui em cima onde y é 5 ou 6 devemos ter um vetor muito grande, mas estamos mentindo um pouco porque se realmente os desenhássemos em escala, a gente realmente confundiria a imagem. Agora repare uma coisa: como a saída do vetor não depende de x ou de z, se você se mover na direção x, que está indo e voltando aqui, os vetores não mudam, e se você se mover na direção z, que é para cima e para baixo, os vetores também não mudam. Ele só mudam quando você se mover na direção y. Beleza, agora estamos começando a ter uma ideia de como o resultado pode depender da entrada. Vamos fazer agora algo um pouco diferente? Vamos dizer que todas as três componentes de entrada dependem de (x,y,z), mas eu vou fazer isso como se fosse uma espécie de função identidade. Em um determinado o ponto (x,y,z) vamos produzir um vetor [x,y,z]. Então vamos pensar aqui sobre o que isso realmente significa. Vamos dizer que você tem um determinado ponto, algum ponto flutuando no espaço. Qual é o vetor de saída para isso? Bem, o ponto tem um certo componente x, um certo componente y, um certo componente z e o vetor que corresponde a [x,y,z] vai sair da origem e ir até esse ponto. Deixe-me desenhar isso aqui saindo da origem e indo até o próprio ponto. Só que em campos vetoriais a gente costuma mover a origem desse vetor para o próprio ponto, porém a principal coisa de tirá-lo daqui é que ele vai apontar para um ponto mais distante da origem e quanto mais longe ele estiver da origem, mais longo será esse vetor. Sabendo disso, vamos dar uma olhadinha aqui no próprio campo vetorial. Novamente você meio que mente ao desenhar isso, mas observando as cores, esses caras vermelhos que saem do final deveriam ser muito longos, porque esses vetores partem de pontos que estão muito longe da origem. Mas para ter um campo vetorial mais limpo, a gente acaba reduzindo as coisas. Observe também que os vetores que estão perto do centro são caras muito, muito pequenos. Além disso, todos os vetores estão apontados para fora da origem. O legal é que esse é um daqueles campos vetoriais que são realmente bonitos, e é bom conhecê-los porque esse tipo de situação aparece de vez em quando e também é legal a gente pensar sobre como uma função identidade se parece em um campo vetorial. No próximo vídeo eu vou te mostrar outro exemplo, um exemplo que é um pouquinho mais complicado do que esse que eu te mostrei, mas ele vai te dar uma ideia muito melhor sobre como a saída pode depender de (x,y,z). Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que nós vimos até aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!