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Cálculo multivariável
Curso: Cálculo multivariável > Unidade 1
Lição 4: Visualização de funções vetoriaisFluxo de fluído e campos vetoriais
Uma forma elegante de interpretar um campo vetorial é imaginar que ele representa algum tipo de fluxo de fluído. Versão original criada por Grant Sanderson.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga!
Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda
a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre um caso específico
onde podemos observar um campo vetorial, que é a ideia de fluxo de fluidos. Para começar, imagine que estamos observando
o plano de coordenadas e que eu desenhe para vocês
várias pequenas gotas de água. Vamos supor que essas gotas comecem a fluir de alguma forma. Como você descreveria esse fluxo matematicamente? É importante falar que em cada ponto dado
as partículas estão se movendo de uma maneira diferente. Por aqui elas estão meio que se movendo para baixo
e para esquerda, aqui elas estão subindo rapidamente, por aqui elas estão se movendo mais lentamente
para baixo. Observando isso, o que você pode querer fazer aqui
é atribuir um vetor para cada ponto no espaço mostrando como o fluido está fluindo, não é? Isso não é necessariamente óbvio, mas se você olhar em um determinado ponto aqui do espaço, digamos aqui, toda vez que uma partícula passar por ele parecerá que essa partícula estará com aproximadamente
a mesma velocidade. Você pode até pensar que ao longo do tempo
a velocidade vai mudar, e às vezes muda, principalmente porque em muitos momentos
há algum fluxo de fluido que depende do tempo. Mas para muitos casos
você pode apenas pensar que nesse ponto do espaço qualquer partícula que tiver passando por ele
terá esse vetor de velocidade. Então aqui podemos ter um grande vetor para cima
e aqui ter um vetor menor para baixo. Deixe-me reiniciar a animação
para a gente observar as coisas um pouco melhor. Enfim, se você imaginar fazendo isso
em todos os diferentes pontos do espaço e atribuir um vetor para descrever o movimento de cada partícula do fluido em cada ponto diferente, o que você acaba obtendo é um campo vetorial. Isso aqui é um desenho mais limpo
do que o que eu tenho, e como eu mencionei no último vídeo,
é comum esses vetores não serem desenhados em escala. Mas mesmo esses vetores tendo o mesmo comprimento,
eles te dão um senso de direção. Perceba aqui que cada partícula está fluindo
aproximadamente ao longo desse vetor, então qualquer partícula
que esteja próxima de cada um desses vetores está se movimentando aproximadamente nessas direções. Essa não é apenas uma boa maneira
de entender o fluxo de fluidos como também é uma boa forma de compreender melhor
os próprios campos vetoriais. Sabendo disso, em alguns momentos
você pode acabar recebendo algum novo campo vetorial e então ter uma ideia
do que esse campo se trata, inclusive podendo até mesmo interpretar
as propriedades especiais que ele pode ter. Sendo assim, um campo vetorial é realmente muito útil
para representar diversas coisas, não apenas fluidos, e então imaginar como cada partícula
se movimenta nesse campo. Por exemplo, observe essa animação rodando. Conforme você deixa, as partículas se movem ao longo dos vetores sem que haja mudança na densidade. Em nenhum momento as partículas se aproximam
ou se afastam umas das outras. Elas permanecem se movimentando
separadas pela mesma distância. No futuro a gente vai ver
que isso acaba tendo um certo significado, inclusive em algumas aulas
nós vamos estudar algo conhecido como divergência. Vamos observar este outro caso. Aqui nós estamos vendo um campo vetorial e talvez você possa querer saber
do que se trata esse campo vetorial. É bem útil pensar nisso
como um fluido que empurra tudo para fora. Ele está diminuindo a densidade em torno do centro
e isso também tem um certo significado matemático. E claro, isso também pode levar você
a fazer algumas outras perguntas. Da mesma forma, ao observar novamente o fluxo de fluido
que iniciamos este vídeo, outras perguntas podem surgir em sua mente. Por exemplo, por que parece que essas partículas
estão girando em torno de alguns pontos, no sentido anti-horário em relação alguns pontos e no sentido horário em relação a outros pontos? Isso tem algum tipo de significado matemático? E o fato de parecer ter o mesmo número de partículas
aproximadamente nessa área, mas lentamente se espalhando para fora, tem algum significado matemático também? O que isso implica para a função
que representa todo esse campo vetorial? Você verá muito disso mais tarde, especialmente quando eu falar sobre divergente e rotacional. Mais aqui eu só quero fazer um pequeno aquecimento
sobre como visualizamos funções de múltiplas variáveis. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho e quero deixar aqui para você um grande abraço
e até a próxima!