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Curvas parametrizadas

Quando uma função tem uma entrada unidimensional mas a saída é multidimensional, você pode pensar nela como o desenho de uma curva no espaço.  Versão original criada por Grant Sanderson.

Transcrição de vídeo

o Olá meu amigo minha amiga tudo bem com você seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo daqui é na casa dele Brasil e nesse vídeo vamos conversar sobre funções paramétricas para isso vamos dizer que eu tenho uma função que tem uma única entrada te vamos dizer que essa função vai produzir um vetor e o vetor vai depender de ter portanto a componente x será igual a TV seus o cosseno de ter EA componente y será te vezes o seno de ter isso é o que chamamos de função para métrica e talvez eu devo dizer como são para a métrica de um parâmetro e parâmetro é apenas uma palavra bonita para entrada nesse caso aqui ter é o nosso único parâmetro O que torna uma função ser paramétrica é o que pensamos sobre como desenhar uma curva com sua saída sendo multidimensional então você pode pensar quando você visualizar algo assim que significa que isso tem uma única entrada eu tenho uma saída bidimensional não se esqueça que para fazer um gráfico de uma função tridimensional é preciso colocar os três números juntos e protalus mas o que acaba sendo ainda melhor é olhar apenas no espaço de saída Então nesse caso a saída será o espaço bidimensional sabendo disso vamos desenhar um plano de coordenadas aqui e vamos apenas avaliar essa função em alguns pontos diferentes e ver como vai ficar Ok Talvez o lugar mais fácil para avaliá-las seja zero então é que disseram = Em ambos os casos será zero vezes alguma coisa portanto 10 vezes o cosseno de 0 é apenas 100 vezes o seno de 0 também e apenas 0 sendo assim essa entrada corresponde a essa saída você pode pensar nisso como um vetor que é infinitamente pequeno ou apenas um ponto na origem enfim pensa do jeito que você quiser pensar nisso mas que tal agora a gente ver um ponto diferente dá para ver o que mais poderia acontecer eu vou escolher aqui pi sobre 2 Claro motivo de escolher pi sobre 2 é porque eu sei como tirar o seno eo co-seno disso então vamos fazer isso aqui ter pi sobre 2 certo então temos aqui pi sobre 2 vezes o cosseno de pi sobre 2 e aqui temos pi sobre 2 vezes o seno de pi sobre 2 Ok qual é o cosseno de pi sobre 2 e qual é o seno de pi sobre 2 para pensar nisso Talvez seja legal aqui desenhar um pequeno círculo unitário ao fazer isso a gente vem aqui e marca pi sobre 2 que é igual a um quarto aqui da circunferência o cosseno de pi sobre 2 está medindo a componente x disso então só que acaba sendo zero e o seno de pi sobre 2 é a componente Y disso então isso aqui acaba sendo igual a um Isso significa que o vetor como um todo vai ser zero para a componente x e p sobre dois para componente y e como isso seria a componente Y apps sobre Oi tia cerca de 1,7 e não a componente X então você acaba obtendo um vetor como esse e se você fizer isso em todos os diferentes pontos de entrada você pode obter vários diretores diferentes fazendo coisas diferentes aí se você fosse desenhar você não ia querer desenhar apenas as próprias Flechas porque isso vai bagunçar demais as coisas aqui então seria interessante apenas rastrear os pontos que correspondem a saída as pontas de cada vetor vamos fazer isso aqui agora vamos variar o te entre 0 e 10 Então vamos escrever isso aqui o valor te vai começar em 0 e vai até 10 aí veremos quais valores ou quais diretores e osso produz e quais serão as pontas de cada vetor traçado dessa forma encontraremos uma curva como essa aqui uma curva com formato espiral e que vai corresponder a uma variação que vai de 0 a 10 agora uma desvantagem de desenhar coisas se você não tem certeza exatamente de onde estão os valores Mas você meio que Tenta adivinhar Talvez um esteja aqui o 2 em algum lugar aqui afinal você meio que tá esperando que eles estejam espaçados uniformemente Conforme você avança mas você não consegue essa informação você perde as informações de entrada quando obtém a forma da curva sendo assim se você apenas quiseram uma forma analítica de descrever curvas você encontra alguma função para métrica que faça isso porque assim você acaba não se preocupando com diversas coisas como por exemplo a taxa de variação mas apenas para mostrar onde isso pode importar eu vou te mostrar uma função que desenha a mesma curva Só que essa função começa a andar muito rápido e aí depois ela fica mais lenta Conforme você avança sendo assim essa função não é bem ter coçando terça no ter que eu coloquei aqui inicialmente de fato só que significaria aqui bem vamos Apagar esses caras aqui quando como e rápido assim você pode interpretar dizendo Ok Talvez um esteja aqui e talvez o dois possa estar aqui talvez o três esteja aqui já que ainda está indo relativamente rápido Aí talvez perto do fim esteja indo muito devagar por isso talvez a gente tem o 7 é que o jeito aqui e aí vai ficando cada vez mais lento até chegar ao 10 ou seja você pode ter duas funções diferentes desenhando a mesma curva e a palavra bonita que para isso é parametrizar assim as funções parametrizar a uma curva e quando você desenha a função apenas no espaço de saída você obtém uma curva como essa no próximo vídeo vou te mostrar como você pode ter funções com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional E aí desenhar as superfícies no espaço tridimensional eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima