Curvas parametrizadas

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre funções paramétricas. Para isso vamos dizer que eu tenho uma função que tem uma única entrada "t". Vamos dizer que essa função vai produzir um vetor, o qual vai depender de t. Portanto, a componente x será igual a t vezes cosseno de t e a componente y será t vezes o seno de t. Isso é o que chamamos de função paramétrica. Talvez eu deva dizer função paramétrica de um parâmetro, e parâmetro é apenas uma palavra bonita para entrada. Nesse caso aqui, t é o nosso único parâmetro. O que faz uma função ser paramétrica é o que pensamos sobre como desenhar uma curva com sua saída sendo multidimensional. Então você pode pensar, ao visualizar algo assim, que significa que isso tem uma única entrada e tem uma saída bidimensional. Não se esqueça que para fazer um gráfico de uma função tridimensional é preciso colocar os três números juntos e plotá-los. Mas o que acaba sendo ainda melhor é olhar apenas no espaço de saída. Então nesse caso a saída será um espaço bidimensional. Sabendo disso, vamos desenhar um plano de coordenadas aqui e vamos apenas avaliar essa função em alguns pontos diferentes e ver como vai ficar. Talvez o lugar mais fácil para avaliá-las seja em zero. Então f(0) é igual a... Em ambos os casos será zero vez alguma coisa, portanto zero vezes cossseno de 0 é apenas zero, e zero vezes seno de 0 também é apenas zero. Sendo assim, essa entrada corresponde a essa saída. Você pode pensar nisso como um vetor que é infinitamente pequeno ou apenas um ponto na origem. Enfim, pense do jeito que você quiser pensar nisso, mas que tal agora a gente ver um ponto diferente, só para ver o que mais poderia acontecer? Eu vou escolher π sobre 2. Claro, o motivo de escolher π sobre 2 é porque eu sei como tirar o seno e o cosseno disso. Vamos fazer isso aqui. t é π/2, certo? Então temos aqui π/2 vezes cos π/2 e aqui temos π/2 vezes sen π/2. Qual é o cosseno de π/2 e qual é o seno de π/2? Para pensar nisso talvez seja legal desenhar um pequeno círculo unitário. Ao fazer isso a gente vem aqui e marca π/2, que é igual a ¼ da circunferência. O cosseno de π/2 está medindo a componente x disso, então isso acaba sendo zero e o seno de π/2 é a componente y disso, então aqui acaba sendo igual a 1. Isso significa que o vetor como um todo vai ser zero para a componente x e π/2 para a componente y. E como isso aqui seria? A componente y é π/2, que é cerca de 1,7 e não há componente x. Então você acaba obtendo um vetor como esse. Se fizer isso em todos os diferentes pontos de entrada, você pode obter vários diretores diferentes fazendo coisas diferentes, e se fosse desenhar, você não ia querer desenhar apenas as próprias flechas porque isso vai bagunçar demais as coisas aqui. Então seria interessante apenas rastrear os pontos que correspondem à saída, as pontas de cada vetor. Vamos fazer isso aqui agora? Vamos variar t entre zero e 10. Então vamos escrever isso aqui: o valor t vai começar em zero e vai até 10 e então veremos quais valores ou quais vetores isso produz e quais serão as pontas de cada vetor traçado. Dessa forma encontraremos uma curva como essa aqui, uma curva com formato espiral e que vai corresponder a uma variação que vai de zero a 10. Agora, uma desvantagem de desenhar coisas assim é que você não tem certeza exatamente de onde estão os valores, mas você meio que tenta adivinhar. Talvez o 1 esteja aqui, o 2 em algum lugar aqui, afinal, você meio que está esperando que eles estejam espaçados uniformemente conforme você avança, mas você não consegue essa informação. Você perde as informações de entrada quando obtém a forma da curva. Sendo assim, se apenas quiser uma forma analítica de descrever curvas você encontra alguma função paramétrica que faça isso, porque assim você acaba não se preocupando com diversas coisas, como por exemplo a taxa de variação. Mas apenas para mostrar onde isso pode importar, eu vou mostrar uma função que desenha a mesma curva, só que essa função começa a andar muito rápido e depois ela fica mais lenta conforme você avança. Sendo assim essa função não é bem t cosseno de t, t seno de t que eu coloquei aqui inicialmente. De fato, isso significaria que... Bem, vamos apagar esses caras aqui. Quando começa rápido assim, você pode interpretar dizendo: "OK, talvez 1 esteja aqui, talvez o 2 possa estar aqui, talvez o 3 esteja aqui, já que ainda está indo relativamente rápido, e talvez perto do fim esteja indo muito devagar, por isso talvez a gente tenha o 7 aqui, o 8 aqui, e então vai ficando cada vez mais lento até chegar ao 10", ou seja, você pode ter duas funções diferentes desenhando a mesma curva, e a palavra bonita para isso é "parametrizar". Assim as funções parametrizarão uma curva e quando desenha a função apenas no espaço de saída, você obtém uma curva como essa. No próximo vídeo vou lhe mostrar como você pode ter funções com uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional, e então desenhar as superfícies no espaço tridimensional. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que vimos aqui e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!