Superfícies parametrizadas

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos conversar sobre superfícies paramétricas. Para começar a conversar sobre isso, observe essa função super complicada que eu tenho aqui. Ela tem uma entrada bidimensional com duas coordenadas diferentes para sua entrada e uma saída tridimensional. Especificamente é um vetor tridimensional e cada um desses tem uma expressão que tem um monte de cossenos e senos que dependem das coordenadas de entrada. No último vídeo nós conversamos sobre como visualizar funções que têm uma única entrada, um único parâmetro, como por exemplo t, e em seguida temos uma saída vetorial bidimensional, ou seja, temos algum tipo de expressão de t. Aqui temos algo bem parecido, só que no caso tridimensional. Sendo assim, o que vamos fazer aqui é visualizar coisas no espaço de saída e vamos tentar apenas pensar em todos os possíveis pontos que poderiam ser saídas. Por exemplo, vamos começar com algo simples. Vamos sentir aqui um pouco dessa função avaliando-a em um par simples de pontos. Sendo assim, vamos avaliar essa função em t igual a zero (acho que, provavelmente, isso aqui seja bem simples de fazer) e em s igual a π. Vamos pensar no que a gente vai obter com isso. Observando aqui temos que em t igual a zero o cosseno de zero é 1, então tudo isso vai ser 1. Seno de zero é zero, então tudo isso aqui vai ser zero. A gente também sabe que o cosseno de π é -1, então isso aqui vai ser -1 e aqui também vamos ter -1. Aqui temos o seno de π, que assim como seno de zero, é zero. Então essa coisa toda na verdade acaba simplificando um pouco, de modo que aqui na primeira linha, que é a componente x, temos 3 vezes 1, que é 3, mais -1, e isso é igual a 2. Temos aqui na segunda linha 3 vezes zero mais zero, então a componente y é apenas zero, e a componente z aqui também é zero. Sendo assim, nós temos uma saída que será o ponto onde temos 2 ao longo do eixo x e não é mais nada nisso. É apenas 2 ao longo do eixo x. Então podemos vir aqui e adicionar este ponto no gráfico. Este ponto corresponde a essa entrada particular (0,π). Você pode fazer isso várias vezes, pode adicionar alguns outros pontos com base em outras entradas que você encontrar, mas isso demoraria uma eternidade para começar a sentir a função como um todo. Porém, uma outra coisa que você pode fazer é dizer: "OK, talvez em vez de pensar em avaliar um ponto particular podemos imaginar que uma das entradas seja constante". Então vamos imaginar que s permaneceu constante em π, mas vamos deixar t variar livremente. Isso significa que vamos ter algum tipo de saída diferente aqui e vamos deixar t apenas ser algum tipo de variável quando a saída s é π. Sendo assim, nós mantemos tudo isso, esse -1, esse -1 e esse zero. Assim a saída agora vai ser 3 vezes o cosseno de t mais o cosseno de t vezes -1. Então nós vamos ter aqui (3 vezes cos t) menos cos t. A próxima parte vai ser (3 vezes sen t) menos 1 vezes sen t, ou seja, vamos ter 3 sen t menos sen t. Por último teremos o zero aqui. Podemos simplificar tudo isso. Teremos (3 vezes cos t) menos cos t, que é apenas 2 vezes cos t. A mesma coisa na segunda linha. Teremos apenas 2 vezes sen t. Então toda essa coisa aqui pode ficar simplificada apenas para essa forma, ou seja, quando estamos deixando s permanecer constante e t variar livremente, nós vamos ter isso aqui. Quando a gente desenhar isso no gráfico, vamos ter algo que se parece com um círculo e você pode perceber aqui que é um círculo porque temos esse padrão de cosseno e seno. É um círculo com raio 2 e faz sentido isso passar por aquele primeiro ponto que avaliamos. Então isso é o que acontece se você deixar apenas uma das variáveis ser executada. Agora a gente pode fazer a mesma coisa, mas pensar no que acontece caso s varie e t permaneça constante. Eu encorajo você a trabalhar nisso sozinho ou sozinha, então eu vou seguir em frente e apenas desenhar isso aqui no gráfico, porque meio que quero dar uma intuição aqui. Neste caso você vai obter um círculo que se parece com isso. Novamente eu encorajo você a tentar parar, pausar este vídeo e pensar nas razões disso. Então imagine que você deixe s correr livremente, mantendo t constante em zero. Por que você encontraria um círculo que se parece com isso? Pense nisso um pouquinho. Agora se você deixar ambos, t e s, correrem livremente, o que vai acontecer? Uma forma boa de visualizar isso é apenas imaginar que esse círculo que representa s vai correr livremente, vai varrer todo o espaço enquanto você deixa t correr livremente. Ao final quando você fizer isso vai acabar tendo uma forma parecida com essa aqui, uma espécie de doughnut, uma rosquinha. A gente tem uma palavra bonita para isso em matemática: nós chamamos essa figura de toroide. Essa função que eu mostrei aqui é uma forma elegante de desenhar um toroide. Em outro vídeo eu vou te mostrar com mais detalhes o que você precisa fazer para encontrar essa função caso recebesse apenas um toroide. e também como você pode obter uma certa intuição para fazer isso. Isso vai envolver passar com um pouco mais detalhes o porquê de quando varre o círculo aqui de fora, você obtém o toroide exatamente assim e também qual é a relação entre esse círculo vermelho e o círculo azul. Mas aqui eu quero dar apenas uma intuição para você sobre como podemos visualizar superfícies que têm uma entrada bidimensional e uma saída tridimensional. Eu espero que você tenha compreendido tudo direitinho o que conversamos aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!