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Introdução aos campos vetoriais

Campos vetoriais permitem que você visualize uma função com entrada bidimensional e saída bidimensional. No fim, você tem um campo de vetores em diversos pontos em um espaço bidimensional. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - Olá, meu amigo ou minha amiga! Tudo bem com você? Seja muito bem-vindo ou bem-vinda a mais um vídeo da Khan Academy Brasil. Neste vídeo vamos fazer uma introdução sobre campos vetoriais. Esse conceito é algo que surge o tempo todo no cálculo de múltiplas variáveis e é provavelmente porque eles surgem o tempo todo na física. Você vai ver isso em mecânica dos fluidos, em eletrodinâmica e em diversas outras situações. Mas o que é um campo vetorial? O campo vetorial é praticamente uma forma de visualizar funções que têm o mesmo número de dimensões em suas entradas e em suas saídas. Como exemplo eu vou escrever uma função que tem uma entrada bidimensional (x,y), e então sua saída vai ser um vetor bidimensional e cada um dos componentes dependerá de alguma forma de x e y. Aqui nessa primeira linha, que corresponde à primeira componente, eu vou colocar y³ menos 9y e na segunda linha, que corresponde à saída da componente y, será y igual a x³ menos 9x. Eu fiz isso para ser simétrico, parecendo meio semelhante, mas isso não tem que ser assim. Eu é que eu gosto de simetria em tudo o que faço. Se você tentar visualizar uma função como essa em um gráfico será muito difícil, porque você tem duas dimensões na entrada e duas dimensões na saída. Então você teria que, de alguma forma, visualizar essa coisa em quatro dimensões. Então em vez disso, que tal procurar apenas no espaço de entrada? Isso significa que olharemos apenas no plano xy. Sabendo disso, eu vou desenhar esses eixos coordenados e apenas demarcar que esse é o nosso eixo x e esse é o nosso eixo y e para cada ponto de entrada individual, como por exemplo (1,2), eu vou considerar o vetor produzido e anexar esse vetor ao ponto. Vamos então observar um exemplo do que eu quero dizer com isso. Para isso, vamos avaliar f em (1,2), ou seja, temos que x é igual a 1 e y é igual a 2. Substituindo esses valores temos 2³ menos 9 vezes 2, isso na componente x, e na componente y temos 1³ menos 9 vezes 1. 2² é 8, 9 vezes 2 é 18, então temos 8 menos 18, que é -10. Aqui temos 1³, que é 1, 9 vezes 1 é 9, então temos 1 menos 9, que é -8. Agora imagine que a gente desenhe esse vetor aqui partindo da origem. Teremos do lado negativo um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez. Então teremos isso aqui como a componente x e depois teremos -8, ou seja, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete... A gente vai realmente sair da tela pois vai ter um vetor muito grande, então vai ser algo aqui e acaba tendo que sair da tela mesmo. Mas o legal dos vetores é que não importa onde eles começam, então em vez disso podemos começar com o vetor aqui, mas ainda queremos que ele tenha a componente de -10 em x e -8 em y. Então temos aqui um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito negativo, -8 como a componente y, mesmo tendo uma origem em um ponto diferente. Se a gente tiver um plano com o campo vetorial, teremos isso feito não apenas em (1,2), mas também em um monte de pontos diferentes, e então veremos quais vetores se ligam a eles. Claro, se a gente desenhasse todos de acordo com o tamanho que eles têm, nós teríamos uma verdadeira bagunça aqui. Haveria marcas em todo o lugar, e poderíamos ter um vetor enorme ligado a esse ponto, ter um outro vetor enorme ligado a esse ponto aqui também e isso realmente ficaria muito confuso. Mas em vez disso, o que fazemos é apenas reduzir tudo isso. Claro, você meio que está mentindo sobre o que são os próprios vetores, mas você se sentiria muito melhor sobre o que cada coisa corresponde. Outra coisa sobre esse desenho é que isso não é totalmente fiel à função original que temos. Além disso, todos os vetores têm o mesmo comprimento. Eu fiz esse com uma unidade e esse aqui também com a mesma unidade. Aliás, todos eles têm o mesmo comprimento. Mesmo que na realidade os comprimentos dos vetores obtidos por essa função sejam totalmente diferentes uns dos outros. Essa é uma prática comum quando campos vetoriais são desenhados ou até mesmo quando algum aplicativo está desenhando esse campo vetorial para você. Mas a gente tem algumas formas de contornar isso, e uma dessas formas é apenas usar cores diferentes nos vetores. Então eu vou mudar para um campo vetorial diferente, já que nesse aqui a cor usada consegue te dar uma dica do comprimento. Ainda aparece organizado porque todos eles têm o mesmo comprimento, mas a diferença são as cores. O vermelho e as cores mais quentes indicam que esse é um vetor muito longo e o azul indica que ele é muito curto. Outra coisa que você pode fazer é tentar fazer os vetores serem aproximadamente proporcionais ao que eles deveriam ser. Então observe todos os vetores azuis aqui reduzidos a basicamente zero, enquanto que os vetores vermelhos permanecem do mesmo tamanho, embora na realidade isso possa estar sendo representado por uma função onde o verdadeiro vetor deve ser muito longo, ou onde o verdadeiro vetor deveria ter um comprimento médio. Bem, é comum as pessoas apenas reduzirem esses vetores, então isso daqui é uma coisa razoável de se ver. No próximo vídeo eu vou conversar com você sobre fluxo de fluido, um contexto em que campos vetoriais surgem o tempo todo e também é uma ótima forma de sentir um campo vetorial aleatório para o qual você olha e tenta entender o que está acontecendo. Eu espero que você tenha compreendido direitinho o que eu conversei aqui, e mais uma vez eu quero deixar para você um grande abraço e até a próxima!